本試題卷共4頁(yè).時(shí)量120分鐘，滿分150分.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由因式分解分別求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的運(yùn)算得出兩個(gè)集合的交集。
【詳解】∵
∴
∵
∴
∴
故選：A
2. 已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由空間中線面關(guān)系以及線面平行的判定定理逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，由可得或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由可得或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可得，故C正確；
對(duì)于D，由可得相交或，故D錯(cuò)誤；
故選：C
3. 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. 第673項(xiàng)B. 第674項(xiàng)
C. 第675項(xiàng)D. 第676項(xiàng)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開式為 ，
令，解得，此時(shí)，
所以二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng).
故選：D.
4. 銅鼓是流行于中國(guó)古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺(tái)構(gòu)成，上下底面的半徑均為25cm，公共底面的半徑為15cm，銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為，現(xiàn)有青銅材料1000kg，則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為（ ）（注：）

A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算求解銅鼓的體積，然后根據(jù)材料體積求解即可.
【詳解】依題意圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，
所以銅鼓的體積，
又，故可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為3.
故選：C
5. 已知定義在上的函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，令，可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，，可得結(jié)論.
【詳解】由題意可得，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?br>所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
又，故與2的大小關(guān)系不確定.
故選：D.
6. 已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得，進(jìn)一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.
【詳解】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，
與的方程聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，故的方程為.

由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，
聯(lián)立拋物線與直線，化簡(jiǎn)得，
由得與相離.
分別是過點(diǎn)向準(zhǔn)線、直線以及過點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，
所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，
所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線0的距離，即.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，對(duì)于任意的，，都恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（ ）
A. 3B. 9C. 3或9D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性先確定周期的取值范圍，從而縮小的取值范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性可得符合的的取值為或9，分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，因此．
由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則①．
由知圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則②．
②①得，令，則，
結(jié)合可得或9．
當(dāng)時(shí)，代入①得，又，所以，
此時(shí)，因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，代入①得，，又，所以，
此時(shí)，因?yàn)椋?br>故在上不是單調(diào)遞增的，所以不符合題意，應(yīng)舍去．
綜上，的值為3．
故選：A.
8. 如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，將長(zhǎng)方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線與的夾角，可得繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，求直線與的夾角，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，利用三角函數(shù)知識(shí)求解即可.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，，則直線與的夾角等于直線與的夾角．
長(zhǎng)方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，
則，又，
所以是等邊三角形，故直線與的夾角為．
則繞直線旋轉(zhuǎn)軌跡為圓錐，如圖所示，．
因?yàn)橹本€與所成的角為，，所以直線與的夾角為．
在平面中，作，，使得．
結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為，
易知．
設(shè)直線與的夾角為，則，故當(dāng)時(shí)最小，
而
，
故直線與的夾角的正弦值的最小值為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題中在平面中，作，，使得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為是關(guān)鍵.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動(dòng)化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（滿分：100分），測(cè)得組性能得分為：，組性能得分為：，則（ ）
A. 組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高
B. 組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小
C. 組性能得分的極差比組性能得分的極差大
D. 組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)計(jì)算公式分別計(jì)算兩個(gè)小組的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、第75百分位數(shù)，再對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】由題意可得組性能得分的平均數(shù)為，
組性能得分的平均數(shù)為，
所以組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高，A說法正確；
組性能得分的中位數(shù)為，
組性能得分的中位數(shù)為，
所以組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)大，B說法錯(cuò)誤；
組性能得分的極差為，組性能得分的極差為，
所以組性能得分的極差比組性能得分的極差小，C說法錯(cuò)誤；
組性能得分共個(gè)數(shù)據(jù)，，
所以組性能得分的第75百分位數(shù)為，比組性能得分的平均數(shù)大，D說法正確；
故選：AD
10. 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個(gè)部分長(zhǎng)成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截面，如圖所示，其中分別為兩個(gè)截面橢圓的長(zhǎng)軸，且都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上，是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上?下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為，則能夠保證的的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合離心率公式可得，即可根據(jù)得，逐一代入即可求解.
【詳解】設(shè)且，
故
故，
故，
由于，故，故，即，
對(duì)于A，，滿足，故A正確，
對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，，故D正確，
故選：AD
11. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】BD
【解析】
【分析】由，可得，可得，故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的是否為最大值即可，利用函數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，進(jìn)而再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷CD．
【詳解】由，可得，即，
若，可得，符合題意，
若，可得，不符合題意，
若，可得，不符合題意，
若，可得，不符合題意，
綜上所述，，可得，
故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的是否為最大值即可．
對(duì)于A，B，由題知，而，
，所以．
（點(diǎn)撥：函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)），
對(duì)于A，；對(duì)于B，，故A錯(cuò)誤，B正確．
對(duì)于C，D，
（將0.9轉(zhuǎn)化為，方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)，
則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?br>即，所以．（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷與的大小即可）
，
構(gòu)造函數(shù)，則，
因?yàn)?，所以，令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br>所以，即單調(diào)遞減，又，所以，
即，所以．
綜上，．對(duì)于C，；對(duì)于D，，故C錯(cuò)誤，D正確．
（提醒：本題要比較0.09與的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，
即，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?br>即，所以）
故選：BD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查定義新運(yùn)算類的題目，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值比較數(shù)的大小.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.
【詳解】由于復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，
故，
故答案為：
13. 寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列an的通項(xiàng)公式______.
①是常數(shù)，且；②；③an的前項(xiàng)和存在最小值.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特征，不妨選擇等差數(shù)列，然后根據(jù)題目條件利用等差基本量的運(yùn)算求解通項(xiàng)公式，即得解.
【詳解】由題意，不妨取數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
由②可知，則，又是常數(shù)，滿足①，
由③an的前項(xiàng)和存在最小值，故等差數(shù)列an單調(diào)遞增，取，則，
故，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，an的前項(xiàng)和取到最小值為，
所以同時(shí)滿足條件①②③的數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式.
故答案為：（答案不唯一）
14. 清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有__________種不同的走法.

【答案】 ①. 35 ②. 14
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的意義即可得到結(jié)果，結(jié)合卡特蘭數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.
【詳解】
從左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，
故只需確定哪3步向上走即可，共有種不同的走法；
若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），
則由卡特蘭數(shù)可知共有種不同的走法，
又到達(dá)右上角必須最后經(jīng)過，所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.
故答案為：35；14
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知M為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直x軸，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心為G.
（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是的垂心，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)為的重心，得，代入，化簡(jiǎn)即可求解.
（2）根據(jù)垂心的概念求得，設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，利用得，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，則，因?yàn)榈闹匦模?br>故有：，解得，代入，化簡(jiǎn)得，
又，故，所以的軌跡方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)榈拇剐?，故有?br>又，所以，故設(shè)直線的方程為，
與聯(lián)立消去得：，
由得，
設(shè)，則，
由，得，所以，
所以，
所以，化簡(jiǎn)得，
解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.
16. 如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45°，母線長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)．
（1）已知圓內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，作出點(diǎn)的軌跡（寫出解題過程）；
（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不同于，），，求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，過作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，過作的平行線，交圓于，，即可求出結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，求出平面和平面，利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
是的中點(diǎn)，．
要滿足平面，需滿足，
又平面，平面平面
如圖，過作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，
過作的平行線，交圓于，，則線段即點(diǎn)的軌跡．
【小問2詳解】
易知可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
母線長(zhǎng)為，母線與底面所成角為45°，，，，，
取的位置如圖所示，連接，
，，即，
則，，，，，
則，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，．
設(shè)平面與平面所成的角為，則
，
．
17. 素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對(duì)于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義．為推進(jìn)音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某校開設(shè)了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂班和一個(gè)器樂班，已知聲樂班的學(xué)生有24名，器樂班的學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂素養(yǎng)過關(guān)測(cè)試，且每人是否通過測(cè)試是相互獨(dú)立的．
（1）聲樂班的學(xué)生全部進(jìn)行測(cè)試．若聲樂班每名學(xué)生通過測(cè)試的概率都為（），設(shè)聲樂班的學(xué)生中恰有3名通過測(cè)試的概率為，求的極大值點(diǎn)．
（2）器樂班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測(cè)試．若器樂班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂班的學(xué)生中抽取7人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測(cè)試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求出概率，再利用導(dǎo)數(shù)求極值；
（2）先借助分層抽樣確定隨機(jī)變量的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.
【小問1詳解】
24名學(xué)生中恰有3名通過測(cè)試的概率，
則，，
令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故的極大值點(diǎn)．
【小問2詳解】
利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，
則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名，
所以的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
則隨機(jī)變量的分布列為
．
18. 已知數(shù)列an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且，，.
（1）求an，bn的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合共有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若數(shù)列中，，，求證：.
【答案】（1），
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為，數(shù)列bn的公差為，由已知易得，，可求，；
（2）設(shè)數(shù)列，可求得，，進(jìn)而可得，可得，可求的取值范圍為.
（3），進(jìn)而計(jì)算可得不等式成立.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列an的公比為，數(shù)列bn的公差為，
則由，，所以，所以，
，即，所以，
所以；
【小問2詳解】
設(shè)數(shù)列，
則，
所以
，
，
令，
，
可得，
故當(dāng)時(shí)，最大，
且，
所以，即的取值范圍為.
【小問3詳解】
由，
則當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
所以，
，
所以原不等式成立.
19. 設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．
（1）若，寫出一個(gè)向量，使得．
（2）令．若，證明：為偶數(shù)．
（3）若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）證明見解析 （3），答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義寫出滿足條件的即可；
（2）根據(jù)，結(jié)合定義，求出，即可得證；
（3）利用反證法求證.
【小問1詳解】
由定義，只需滿足，不妨取（答案不唯一）．
【小問2詳解】
對(duì)于，，2，，，存在，，，，使得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．令，．
所以．
所以為偶數(shù)．
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，可猜測(cè)互相正交4維向量最多有4個(gè)，即．
不妨取，，，，
則有，，，，，．
若存在，使，則或或．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故找不到第5個(gè)向量與已知的4個(gè)向量互相正交．0
1
2
3

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