2024.6
命題：高二數(shù)學組 審核：高二數(shù)學組
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則，，…，的方差為（ ）
A.3B.5C.6D.12
2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（ ）
A.B.C.D.
3.圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的表面積是（ ）
A.B.C.D.
4.已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，若，則等于（ ）
A．2B．C．4D．
5.已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A.若，，，則B若，，，則
C.若，，，則D.若，，，則
6.如圖，曲柄連桿機構中，曲柄繞C點旋轉時，通過連桿的傳遞，活塞做直線往復運動.當曲柄在位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點在處.設連桿長，曲柄CB長，則曲柄自按順時針方向旋轉53.2°時，活塞移動的距離（即連桿的端點移動的距離）約為（ ）
（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
7.設點是所在平面內(nèi)一點：①若，則點是邊的中點；②若，則點在邊的延長線上；③若，且，則是面積的一半；④若，則直線一定過的內(nèi)心．
則上述說法正確的個數(shù)為
A.0B.1C.2D.3
8.已知互不相同的20個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若，則下列選項錯誤的是（ ）
A．
B.剩下的18個樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變
C．
D．剩下18個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9.新式茶飲是指以上等茶葉的萃取濃縮液為底，再根據(jù)消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調制而成的飲料．如圖為2023年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．根據(jù)所給統(tǒng)計圖，下列結論中正確的是（ ）
A．每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%
B．每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%
C．月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比超過50%
D．月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%
10.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同以外其余完全相同的號簽．其中，甲袋中有編號為1，2，3的三個號簽；乙袋有編號為1，2，3，4，5，6的六個號簽．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響．記事件：從甲袋中抽取號簽1；事件：從乙袋中抽取號簽6；事件：抽取的兩個號簽和為3；事件：抽取的兩個號簽編號不同．則下列選項中，正確的是（ ）
A．B．事件與互斥
C．事件與事件相互獨立D．事件與事件相互獨立
11．如圖，正方形棱長為1，是線段上的一個動點（含端點），則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為
B．當在線段上運動時，三棱錐的體積不變
C．的最小值為
D．以點為球心，為半徑的球面與面的交線長為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.如圖，已知直三棱柱底面的直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長，若該直三棱柱的側棱長為4，則該直三棱柱的體積為______．
13.已知向量，且，則在上的投影向量的坐標為______．
14.2023年亞運會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預定，亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為，兩檔，當預定檔未成功時，系統(tǒng)自動進入檔預定，已知獲得檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得檔門票；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲想要一張開幕式門票（、檔皆可），他預定了一張檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預定了兩張賽事門票．則甲獲得的門票數(shù)比乙多的概率為______．
四、解答題（本題共5題，共77分）
15.（12分）已知復數(shù)，，，為虛數(shù)單位．
（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）若，求．
16.（12分）在直角梯形中，已知，，，點是邊上的中點，點是邊上一個動點（含端點）.
（1）若，求，的夾角的余弦值；
（2）求的取值范圍.
17.（17分）某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差（質量差＝生產(chǎn)的產(chǎn)品質量－標準質量，單位）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
（1）求樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；（精確到0.01）
（2）公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質量差進行分揀，若質量差在范圍內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品．其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差，計算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．
①若產(chǎn)品的質量差為，試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品；
②假如公司包裝時要求，3件一等品和2件二等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出2件產(chǎn)品進行檢驗，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率．
18.（18分）如圖，四邊形為矩形，四邊形為梯形，平面平面，，，.
（1）若為的中點，求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的大小；
（3）設平面平面，試判斷與平面能否垂直？并證明你的結論．
19.（18分）請從：①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．
（如未作出選擇，則按照選擇①評分）
在中，，，分別是角，，的對邊，若________，
（1）求角的大?。?br>（2）若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；
（3）若為銳角三角形，，求的取值范圍．
參考答案
一、單選題
DADCDBCD
二、多選題
ACADABD
三、填空題
12. 13. 14.
四、解答題（本題共5題，共77分）
15.（1），，
所以，
因為是純虛數(shù)，所以，得.
（2）由（1）知，，
因為，所以，得，
所以，所以.
16.（1）由圖知：，，
所以，
所以
法二：建系，，，，則
∴
（2）設，
∴
17.（1）由于前2組的頻率和為0.3，前3組的頻率和為0.75，
所以可知70%分位數(shù)一定位于內(nèi)，
設70%分位數(shù)為x，則，解得
（2）①
所以，又，
可知該產(chǎn)品屬于一等品．
②記三件一等品，，，兩件二等品為，，
摸出兩件產(chǎn)品總基本事件共10個，分別為：
，，，，，，，，，，
設：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個一等品，包含的基本事件共9個，分別是：
，，，，，，，，，
所以.
答：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個一等品的概率為
18.（1）證明：連接，交于點，連接，
∵四邊形為矩形，
∴為的中點，
在中，，分別為，的中點，
∴，
∵平面，平面，
∴平面
（2）法一：設點到平面的距離為
由等體積法，
所以
法二：補形成長方體，
可證與平面所成角為
（3）與平面垂直．證明如下：
∵四邊形為矩形，∴，
∵平面平面，
又平面，平面平面，∴平面，
∴，，
∵四邊形為矩形，∴，
∵平面，平面
∴平面
∵平面，平面平面，
∴
∴，
，平面，
所以平面
19.（1）若選①，
因為，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，
即，
因為，所以.
若選②，
由，
化簡得.
由正弦定理得，
即，所以.
因為，所以.
若選③，
因為，由正弦定理得，
即，
因為，所以，
所以，所以，
又因為，
所以，所以
（2）因為角的平分線為，由等面積法：
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圓的面積，
（3）在中，由正弦定理，
得，，
由（1）知，，
又，代入上式得，，
所以
因為為銳角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以.

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