2020-2021學(xué)年江蘇省無(wú)錫市濱湖區(qū)太湖高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（5分）已知，，，則　　A． B． C．或 D．大小無(wú)法確定2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）如圖正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積　　A． B．1 C． D．4．（5分）已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是　　A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，則5．（5分）已知在中，，，，則　　A． B． C． D．6．（5分）已知向量，，向量在方向上的投影向量為　　A． B．， C．， D．，7．（5分）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為　　A． B． C． D．8．（5分）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．若點(diǎn)在線段上，且滿(mǎn)足平面，則的值為　　A．1 B．2 C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．（5分）設(shè)向量，，則　　A． B． C． D．與的夾角為10．（5分）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中正確的命題是　　A．若，則一定是等邊三角形 B．若，則一定是等腰三角形 C．若，則一定是等腰三角形 D．若，則一定是銳角三角形11．（5分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是　　A．直線與為異面直線 B．平面 C．正方體的外接球的表面積為 D．三棱錐的體積為12．（5分）已知，是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，在該平面上，且，則下列結(jié)論中正確的有　　A． B． C． D．，的夾角是鈍角三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．（5分）已知且，則取值范圍為　　．14．（5分）若圓錐的軸截面是等邊三角形，側(cè)面積是，則該圓錐的體積是　　．15．（5分）海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)的距離為　　．16．（5分）已知向量、滿(mǎn)足，，則的最小值是　　，最大值是　　．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）（1）若，求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)的值．18．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．19．（12分）已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，求的面積．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若在棱上，平面，求的值．21．（12分）在直角梯形中，已知，，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的最小值．22．（12分）在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿(mǎn)足，燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；（2）求燈柱的高（用表示）；（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．
2020-2021學(xué)年江蘇省無(wú)錫市濱湖區(qū)太湖高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．【分析】直接利用等角定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：已知，，，當(dāng)角的方向相同時(shí)，，當(dāng)角的方向相反時(shí)，，故選：．2．【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后可得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，從而可得答案．【解答】解：，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：．3．【分析】由題意求出直觀圖中的長(zhǎng)度，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，求出原圖形平行四邊形的高，即可求出原圖形的面積．【解答】解：由題意正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為：，所以原圖形的面積為：．故選：．4．【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系判斷；由直線與平面平行的性質(zhì)判斷．【解答】解：若，，則或，故錯(cuò)誤；若，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；若，，，由直線與平面平行的性質(zhì)可得，故正確；若，，則或與異面，故錯(cuò)誤．故選：．5．【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【解答】解：，．故選：．6．【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量．【解答】解：，，在方向上的投影為，在方向上的投影向量為，．故選：．7．【分析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓，可得圓心為正方體上底面正方形的中心．設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于，而圓的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于的方程并解出，用球的體積公式即可算出該球的體積．【解答】解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓，則圓心為正方體上底面正方形的中心．如圖．設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于，而圓的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得，解出，根據(jù)球的體積公式，該球的體積．故選：．8．【分析】連接，交于，連接，由平面，得到，由點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，得到是的重心，由此能求出結(jié)果．【解答】解：連接，交于，連接，如圖，平面，平面平面，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．是的重心，．故選：．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．【分析】可以求出，從而判斷錯(cuò)誤；容易得出，從而判斷錯(cuò)誤，正確；可以求出，從而判斷正確．【解答】解：，錯(cuò)誤；，，，錯(cuò)誤，正確；，且，的夾角為，正確．故選：．10．【分析】根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于，若，則，即，即，即是等邊三角形，故正確；對(duì)于，若，則由正弦定理得，即，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，即，則是等腰三角形，故正確；對(duì)于，中，，角為銳角，但不一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤；故選：．11．【分析】判斷兩條直線是否是異面直線判斷；直線與平面平行的判斷定理判斷；求解外接球的表面積判斷；求解棱錐的體積判斷．【解答】解直線與為異面直線，滿(mǎn)足異面直線的定義，所以正確；，平面，平面，平面，所以正確；正方體的外接球的半徑為：，所以正方體的外接球的表面積為：，所以正確；三棱錐的體積為：，所以不正確．故選：．12．【分析】畫(huà)出圖形，建立坐標(biāo)系，說(shuō)明在該平面上的軌跡，結(jié)合選項(xiàng)判斷正誤即可．【解答】解：，是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，如圖：，，距離坐標(biāo)系如圖，，，，，可得，所以，在以為直徑的圓上，所以．所以不正確；，所以正確；的最大值為：，所以正確；，的夾角是銳角，所以不正確．故選：．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：，利用，，令，則，能求出的取值范圍．【解答】解：根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：，，，令，則，，即的取值范圍為，，故答案為：，．14．【分析】由題意畫(huà)出圖形，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長(zhǎng)為，由側(cè)面面積求得，再由圓錐體積公式求解．【解答】解：如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長(zhǎng)為，高為．則其側(cè)面積，解得．圓錐的高為．其體積，故答案為：．15．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，中利用正弦定理求出，中利用等角對(duì)等邊求出，在中由余弦定理求出．【解答】解：如圖所示： 中，，，，所以，由正弦定理得，解得，中，，，，所以，所以，中，由余弦定理得，所以，即、兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：．16．【分析】通過(guò)記，利用余弦定理可可知、，進(jìn)而換元，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：記，則，如圖，由余弦定理可得：，，令，，則、，其圖象為一段圓弧，如圖，令，則，則直線過(guò)、時(shí)最小為，當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)最大，由平面幾何知識(shí)易知即為原點(diǎn)到切線的距離的倍，也就是圓弧所在圓的半徑的倍，所以．綜上所述，的最小值是4，最大值是．故答案為：4、．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．【分析】（1）推導(dǎo)出，從而，由此能求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．（2）推導(dǎo)出，由此能求出實(shí)數(shù)的值．【解答】解：（1）復(fù)數(shù) 為虛數(shù)單位），，，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．（2）復(fù)數(shù)是關(guān)于 的方程一個(gè)虛根，，整理，得：，解得．18．【分析】（1）利用二倍角公式，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得的值，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由已知利用余弦定理解得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，可得，所以，所以，整理可得，可得，因?yàn)?/span>，可得．（2）因?yàn)?/span>，，且，所以由余弦定理，可得，解得，所以的面積．19．【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，列不等式求出的取值范圍，注意去掉夾角為平角的情況．（2）利用平面向量的數(shù)量積公式和三角形面積公式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）由，，所以，；令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，與方向相反，夾角為平角，不合題意；所以，所以若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．（2）設(shè)，面積為，則；因?yàn)?/span>，所以；所以．20．【分析】（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面；（2）推導(dǎo)出，從而是線段的中點(diǎn)，由此能求出的值．【解答】解：（1）證明：點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，交于，則是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）平面，平面，平面平面，，又是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，．21．【分析】方法一（1）根據(jù)，，得到；再把轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步整理即可得到結(jié)論；（2）令，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論求出的值；再把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；方法二以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；（1）直接求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：方法一（1）在梯形中，因?yàn)?/span>，，所以，；（2）令，則，即，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．方法二（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；則，，，；則，由相似三角形易得．設(shè)，則，．得．則，．（2）設(shè)，顯然，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．22．【分析】（1）由題意可求出，所以為正三角形，則，在中由正弦定理可求出，從而求出四邊形的面積．（2）根據(jù)條件可得，，，在中由正弦定理可得，再在中由正弦定理即可表達(dá)出．（3）在中由正弦定理求出，從而求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)的取值范圍求出的最小值．【解答】解：（1），，，又，，又，所以為正三角形，則，在中，因?yàn)?/span>，所以，故四邊形的面積．（2）因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)闊糁?/span>與地面垂直，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，在中，因?yàn)?/span>，所以，在中，因?yàn)?/span>，所以．（3）在中，因?yàn)?/span>，所以，則，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:12:19；用戶(hù)：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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