2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)梅村高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）在平行四邊形中，　　A． B． C． D．2．（5分）在中，若，，則的值為　　A． B． C．4 D．23．（5分）已知向量，，若，則　　A． B． C． D．4．（5分）某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和一帶一路”的學(xué)習(xí)征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．又已知全市高一年級(jí)共交稿2000份，則高三年級(jí)的交稿數(shù)為　　A．2800 B．3000 C．3200 D．34005．（5分）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及共運(yùn)算具有了幾何意義，例如，，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，是純虛數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則與之間的最小距離為　　A． B．1 C． D．26．（5分）高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對(duì)全國100個(gè)城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為，則，分別為　　A．， B．， C．， D．，7．（5分）有一道解三角形的題，因?yàn)榧垙埰茡p，在括號(hào)地方有一個(gè)已知條件看不清．具體如下：在中角，，所對(duì)的邊長分別為，，，已知角，，　　，求角．若已知正確答案為，且必須使用所有已知條件才能解得，請你選出一個(gè)符合要求的已知條件．A． B． C． D．8．（5分）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為　　A．18 B．24 C．36 D．48二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是　　A． B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 C． D．10．（5分）下列結(jié)論正確的是　　A．在中，若，則 B．在銳角三角形中，不等式恒成立 C．在中，若，，則為等腰直角三角形 D．在中，若，，三角形面積，則三角形外接圓半徑為11．（5分）某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各6場比賽得分情況如表：場次123456甲得分31162434189乙得分232132113510則下列說法正確的是　　A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差小于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差 B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)小于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù) C．甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均值 D．甲運(yùn)動(dòng)員的成績比乙運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定12．（5分）下列命題正確的是　　A．已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，，且垂直，則實(shí)數(shù) B．非零向量和不共線，若，，，則、、三點(diǎn)共線 C．若平行四邊形滿足，，則該四邊形一定是正方形 D．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，若，則點(diǎn)為的垂心三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則　　．14．（5分）平面向量兩兩夾角都相等，且，則　　．15．（5分）古希臘數(shù)學(xué)家海倫著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積．若三角形的三邊分別為、、，則其面積，這里，已知在中，，．當(dāng)面積最大時(shí)　　．16．（5分）已知內(nèi)接于以為圓心，1為半徑的圓，且，則　　．四、解答題：（本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知向量，．（1）若______，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求．18．（12分）已知復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位）（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知，，是平面上不共線的三點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)，滿足，（1）用，表示；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，用向量方法證明四邊形是梯形．20．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知向量，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且滿足，，，求的面積．21．（12分）已知燈塔與海洋觀測站的距離為，燈塔在觀測站的北偏東方向，燈塔在觀測站的正西方向，燈塔在燈塔的南偏東方向．在觀測站與燈塔，構(gòu)成的三角形中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足．（1）求燈塔與燈塔的距離；（2）求的面積．22．（12分）中國獨(dú)有的文書工具，即筆、墨、紙、硯，有文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期．其中宣紙是文房四寶的一種，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙．宣紙按質(zhì)量等級(jí)分為：正牌（優(yōu)等品）、副牌（合格品）、廢品三等．某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作，年產(chǎn)宣紙10000刀刀張），該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)給宣紙確定等級(jí)如表所示：的范圍，，，，，質(zhì)量等級(jí)副牌正牌廢品在該公司所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)生產(chǎn)了一刀進(jìn)行檢驗(yàn)，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌宣紙的利潤為15元，副牌宣紙利潤為8元，廢品的利潤為元．（Ⅰ）試估計(jì)該公司的年利潤；（Ⅱ）市場上有一種售價(jià)為100萬元的機(jī)器可以改進(jìn)宣紙的生產(chǎn)工藝，但這種機(jī)器的使用壽命為一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不能增加宣紙的年產(chǎn)量；據(jù)調(diào)查這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)如表所示：的范圍，，頻率0.68270.9545其中為質(zhì)量指標(biāo)的平均值，但是由于人們對(duì)傳統(tǒng)手工工藝的認(rèn)可，改進(jìn)后的正牌和副牌宣紙的利潤都將下降3元張，請?jiān)摴臼欠褓徺I這種機(jī)器，請你為公司提出合理建議，并說明理由．（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)梅村高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可得出，從而得出正確選項(xiàng)．【解答】解：是平行四邊形，．故選：．2．【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解．【解答】解：，，由正弦定理得，則．故選：．3．【分析】根據(jù)即可得出，然后解出的值即可．【解答】解：，且，，解得．故選：．4．【分析】計(jì)算高三所占的扇形圓心角度數(shù)，再根據(jù)比例關(guān)系求得高三年級(jí)的交稿數(shù)．【解答】解：根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖知，高三所占的扇形圓心角為，且高一年級(jí)共交稿2000份，則高三年級(jí)的交稿數(shù)為（份．故選：．5．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為0求得，可得，再由幾何意義求解．【解答】解：，為純虛數(shù)，，即．，則，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，其軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，則與之間的最小距離為．故選：．6．【分析】利用平均數(shù)、方差的性質(zhì)直接求解．【解答】解：共享單車使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為，掃碼支付使用的人數(shù)分別為，，，，，它們的平均數(shù)為，方差為，則，．故選：．7．【分析】若給出的是角，求角用不到邊，若給出，使用正弦定理求出的角不唯一，由得到，得到的角不是，使用所有已知條件才能解得此三角形，由于正確答案為，故，根據(jù)正弦定理，解得，此時(shí)由算得．【解答】解：由于正確答案為，故，根據(jù)正弦定理，解得．故一個(gè)符合要求的已知條件可以是．而選項(xiàng)中沒有該選項(xiàng)，但由，即，得．也就是給出，使用所有已知條件能解出正確答案為．故選：．8．【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，其中點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【解答】解：據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形．點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則，，．圓的方程為，可設(shè)，所以，．故．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）9．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，錯(cuò)誤，又，正確，所以，錯(cuò)誤，，正確．故選：．10．【分析】①直接利用正弦定理求出結(jié)果．②直接利用余弦定理求出結(jié)果．③直接利用余弦定理和關(guān)系式的變換求出結(jié)果．④直接利用三角形的面積公式的應(yīng)用和三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：在中，若，根據(jù)大邊對(duì)大角，所以，利用正弦定理，所以，則，故選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，故不等式恒成立，故選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)：在中，，，整理得：，可得，所以，由于，所以，所以，所以，所以，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：在中，若，，三角形面積所以，解得，所以，由正弦定理，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．11．【分析】分別求出甲、乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差、中位數(shù)、平均數(shù)，能判斷，，的正誤，由統(tǒng)計(jì)表得乙的數(shù)據(jù)相對(duì)分散，甲的數(shù)據(jù)相對(duì)集中，得到甲運(yùn)動(dòng)員的成績比乙運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定．【解答】解：在中，甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差為：，乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差為：，甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差等于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差，故錯(cuò)誤；在中，甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為：，乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為：，甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)小于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)，故正確；在中，甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)為：，乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)為：，甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均值等于乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均值，故錯(cuò)誤；在中，由統(tǒng)計(jì)表得乙的數(shù)據(jù)相對(duì)分散，甲的數(shù)據(jù)相對(duì)集中，甲運(yùn)動(dòng)員的成績比乙運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定，故正確．故選：．12．【分析】直接利用單位向量，向量的垂直和向量共線的充要條件，向量的加法和向量的減法運(yùn)算判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于：已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，，且，解得，故正確；對(duì)于：非零向量和不共線，若，，，則，所以、、三點(diǎn)共線，故正確；對(duì)于：平行四邊形滿足，，則該四邊形可能是菱形或正方形，故錯(cuò)誤；對(duì)于：點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，若，則點(diǎn)為的內(nèi)心，故錯(cuò)誤；故選：．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可直接求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，，則．故答案為：1．14．【分析】由于三個(gè)平面向量兩兩夾角相等可得任意兩向量的夾角是或，由于三個(gè)向量的模已知，可采取平方的方法求三個(gè)向量的和向量的模．【解答】解：因?yàn)橛深}意三個(gè)平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，因?yàn)?/span>，當(dāng)夾角為時(shí)；則，；當(dāng)夾角為時(shí)，；故答案為：1或5．15．【分析】由已知三角形面積公式可表示，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求取得最大值時(shí)，，，然后結(jié)合余弦定理可求．【解答】解：設(shè)，則，，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，，，故答案為：．16．【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得到和，然后以為原點(diǎn)，，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，表示出、、，進(jìn)而可求出的坐標(biāo)，最后根據(jù)可求出答案．【解答】解：．則：，．以為原點(diǎn)，，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)為，，，．，．故答案為：．四、解答題：（本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．【分析】（1）結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及向量平行，垂直及向量數(shù)量積性質(zhì)分別建立關(guān)于的方程，可求；（2）結(jié)合向量相等的條件可建立關(guān)系，的方程，求出，，結(jié)合向量模長公式可求．【解答】解（1）因?yàn)?/span>，，所以，，若選①；則，解得；若選②；則，解得；若選③，所以，解得或；（2）且，所以，所以，則．18．【分析】（1）由復(fù)數(shù)，，則，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，則復(fù)數(shù)可求；（2）直接把代入進(jìn)行化簡，再由復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，列出不等式組，求解即可得答案．【解答】解：（1）復(fù)數(shù)，，；（2），復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．【分析】（1）利用平面向量的加法法則即可用，表示；（2）由，可證明為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，利用向量關(guān)系證明向量與向量成倍數(shù)關(guān)系即可得，那么四邊形是梯形．【解答】解：（1）由題意：直線上有一點(diǎn)，，，所以為的中點(diǎn)；由：①，②，代入①可得：③由②③消去可得：．（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，則．由：④⑤，由①④⑤可得：，所以，故得四邊形是梯形．20．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出的值，（Ⅱ）利用向量的幾何意義和向量的模的計(jì)算以及余弦定理和三角形的面積公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）向量，，且，，由正弦定理可得，，，，，，，（Ⅱ），，，，，兩邊平方得，（1），，（2），由（1），（2）可得，．21．【分析】（1）直接利用余弦定理的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用正弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）在中，利用余弦定理，由于且滿足．所以，化簡為，由于，所以，即，當(dāng)時(shí)，，且．所以，故燈塔和燈塔之間的距離為．（2）由題意知：，，，所以利用正弦定理：，解得．．所以的面積為．22．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖得：一刀宣紙有正牌張，有副牌張，有廢品張，由此能估計(jì)該公司的年利潤．（Ⅱ）由頻率分布直方圖能求出，從而得到這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布表，從而一刀宣紙中有正牌的張數(shù)估計(jì)為，廢品的張數(shù)估計(jì)為：，副牌的張數(shù)為：，由此得到公司改進(jìn)后該公司的利潤為：萬元，從而建議該公司購買這種機(jī)器．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得：一刀宣紙有正牌張，有副牌張，有廢品張，該公司一刀宣紙的利潤的估計(jì)值為：元，估計(jì)該公司的年利潤為520萬元．（Ⅱ）由頻率分布直方圖得：．這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)如下表所示： 的范圍   頻率 0.6827 0.9545一刀宣紙中有正牌的張數(shù)估計(jì)為，廢品的張數(shù)估計(jì)為：，副牌的張數(shù)為：，一刀宣紙的利潤為：元，公司改進(jìn)后該公司的利潤為：萬元，萬元萬元，建議該公司購買這種機(jī)器．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:14:02；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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