2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤要及時(shí)尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題03 均值不等式及不等式綜合

目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4151" 題型一：公式直接用 PAGEREF _Tc4151 \h 1
\l "_Tc5251" 題型二：公式成立條件 PAGEREF _Tc5251 \h 3
\l "_Tc30746" 題型三：對(duì)勾型湊配 PAGEREF _Tc30746 \h 6
\l "_Tc3537" 題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型 PAGEREF _Tc3537 \h 7
\l "_Tc5479" 題型五：“1”的代換：有和有積無(wú)常數(shù)型 PAGEREF _Tc5479 \h 9
\l "_Tc17894" 題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型 PAGEREF _Tc17894 \h 10
\l "_Tc14928" 題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無(wú)條件型 PAGEREF _Tc14928 \h 12
\l "_Tc30799" 題型八：分母構(gòu)造型：分離型型 PAGEREF _Tc30799 \h 14
\l "_Tc9675" 題型九：分母構(gòu)造型：一個(gè)分母構(gòu)造型 PAGEREF _Tc9675 \h 16
\l "_Tc31577" 題型十：分母構(gòu)造型：兩個(gè)分母構(gòu)造型 PAGEREF _Tc31577 \h 17
\l "_Tc25438" 題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型 PAGEREF _Tc25438 \h 19
\l "_Tc10551" 題型十二：換元構(gòu)造型 PAGEREF _Tc10551 \h 21
\l "_Tc30242" 題型十三：分母拆解湊配型 PAGEREF _Tc30242 \h 23
\l "_Tc11117" 題型十四：萬(wàn)能“K”型 PAGEREF _Tc11117 \h 26
\l "_Tc4378" 題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小 PAGEREF _Tc4378 \h 27
\l "_Tc596" 題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型 PAGEREF _Tc596 \h 30
\l "_Tc28437" 題型十七：因式分解型 PAGEREF _Tc28437 \h 32
\l "_Tc12786" 題型十八：三元型不等式 PAGEREF _Tc12786 \h 34
題型一：公式直接用
基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
基本不等式成立的條件：a>0，b>0；
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.
基本不等式的變形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；
②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；
1．（22-23高三·北京·階段練習(xí)）若，且，則在下列四個(gè)選項(xiàng)中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】（1）先判斷，可得，所以，排除A、D，再用作差法比較B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證排除.
【詳解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故選：C.
方法二：因?yàn)榍遥扇。?
則：，，因?yàn)?
故選：C.
2．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡(jiǎn)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，顯然有，故A正確；
而，所以，故B正確；
又，所以，故C正確；
不妨令則，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
3．（22-23高一下·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）設(shè)，，且，則的最小值為（ ）
A．18B．9C．6D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.
【詳解】∵
∴，（當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”）
故選：C.
4．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確．
【詳解】因?yàn)?，所以，則，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，?，則，即，所以，即，則B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，由B選項(xiàng)可知，所以，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
5．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，則的最大值為
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)榍?，則，
解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，
則，
即的最大值為
故答案為：
題型二：公式成立條件
利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
1．（23-24高三·遼寧本溪·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
舉反例可判斷A錯(cuò)誤；由基本不等式可得B正確；由基本不等式和正弦函數(shù)的值域可判斷C錯(cuò)誤；由基本不等式和完全平方可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】
A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；
C：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
D：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，又，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
2．（23-24高三·安徽六安·開學(xué)考試）設(shè)，，則“”是“”的 （ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
根據(jù)基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.
【詳解】∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
若時(shí)，，則，
即“”是“”的必要不充分條件，
而無(wú)法推出，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：.
3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，則
C．若，則
D．對(duì)任意，均成立.
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A
4．（多選）（23-24高三·四川眉山·期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項(xiàng)，利用特殊值法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)， 若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，取，則，D錯(cuò).
故選：ABC.
5．（多選）（23-24高三·重慶南岸·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)的最小值是2
C．函數(shù)的最小值是6D．若，則的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根據(jù)基本不等式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，，
當(dāng)無(wú)實(shí)數(shù)解，所以等號(hào)不成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，由基本不等式得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
6．（多選）（23-24高三·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．若，則函數(shù)的最小值等于
C．若，則的取值范圍是
D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式知識(shí)即可判斷，需注意“一正二定三相等”.
【詳解】當(dāng)時(shí)，重要不等式成立，故A正確；
選項(xiàng)中對(duì)于均值不等式的運(yùn)用出錯(cuò)，不滿足“一正二定三相等”中的“積為定值”條件，故B錯(cuò)誤；
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
因此，
即的取值范圍是，故正確；
由于，
根據(jù)均值不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即有最大值為，故D正確.
故選：ACD.
題型三：對(duì)勾型湊配
1.對(duì)勾型結(jié)構(gòu)：
容易出問(wèn)題的地方，在于能否“取等”,如，
2.對(duì)勾添加常數(shù)型
對(duì)于形如，則把轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化
1．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
故選：B.
2．（23-24高三 ·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由可得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故選:D
3．（21-22高二上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的最大值為（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】C
【分析】令之后用基本不等式求函數(shù)的最值.
【詳解】令
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得.
故選：C
4．（23-24高三·吉林·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.
【詳解】由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為.
故選：C
5．（23-24高三·廣東佛山·模擬）函數(shù)，的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】利用配湊法結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)，的最小值為.
故選：C.
題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型
“1”的代換
.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換
1．（2022高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）若，，且，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【詳解】將展開利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因?yàn)榍?，所以?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2.
故選：A.
2．（23-24高三·貴州黔南·階段練習(xí)）已知且，則的最小值為（ ）
A．B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為9.
故選：C
3．（23-24高三·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）若，，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】利用常數(shù)代換的思想和基本不等式即可求得.
【詳解】因，，故由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.由解得：
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值為4.
故選：B.
4．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最小值為（ ）
A．B．4C．9D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：D
5．（22-23高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】結(jié)合基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B
題型五：“1”的代換：有和有積無(wú)常數(shù)型
有和有積無(wú)常數(shù)
形如，可以通過(guò)同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解
1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，，由得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：A
2．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（ ）
A．B．10C．9D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【詳解】由可得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
所以的最小值為9，
故選:C.
3．（2022·四川樂(lè)山·一模）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.
【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為.
故選：A
4．（21-22高三·山西太原·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，
∴的最小值為，
故選：D．
5．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題干等式變形得出，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)榍?，，所以?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.
因此，的最小值是.
故選：C.
題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型
有和有積有常數(shù)
形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：
1．（23-24高三·廣西·模擬）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最大值為4.
故選：B
2．（23-24高三·甘肅·模擬）若正數(shù)a，b滿足，則ab的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.
【詳解】，
，即.
，又因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以.
，即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故的取值范圍是.
故選：C.
3．（23-24高三·江蘇·模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】注意到不等式，所以可將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次不等式，從而即可得解.
【詳解】注意到，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
從而，
因?yàn)?，是正?shí)數(shù)，
所以解得或（舍去），
即的最小值是4，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
故選：C.
4．（23-24高三·安徽阜陽(yáng)·模擬）已知正實(shí)數(shù)滿足，記的最小值為；若且滿足，記的最小值為.則的值為（ ）
A．30B．32C．34D．36
【答案】C
【分析】由條件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代換可求得的最小值，可得的值，進(jìn)而得解.
【詳解】根據(jù)題意，∵
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
令，有 ，
解得 ，即，；
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
；
故選：C.
5．（23-24高三·福建莆田·模擬）已知，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】由，得，又，，即，，
則，即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：C.
題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無(wú)條件型
無(wú)條件分母和定型
型，滿足（定值），則可以構(gòu)造
1．（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）的最小值為（ ）
A．2B．16C．8D．12
【答案】B
【分析】先構(gòu)造，再利用均值不等式求最值即可.
【詳解】解：∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)“=”成立，
故的最小值為16.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了構(gòu)造均值不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.
2．（21-22高三·福建莆田·期末）當(dāng)時(shí)，的最小值為（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】利用， 借助基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所?,
因?yàn)椋?br>所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值.
故選：B.
3．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值，
故選：D．
4．（22-23高三·江蘇南通·模擬）函數(shù)（）的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由展開后，運(yùn)用基本不等式可得所求最小值，注意取值條件.
【詳解】由，可得，
，
僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.
故選：B
5．（23-24高三·四川成都·期中）若，則的最小值為（ ）
A．12B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意確定，且，將變形為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故選：D
題型八：分母構(gòu)造型：分離型型
對(duì)勾分離常數(shù)型（換元型）
型，可以通過(guò)換元分離降冪，轉(zhuǎn)化為對(duì)勾型
1．（21-22高三·遼寧沈陽(yáng)·模擬）若不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，所以，
設(shè)，，
函數(shù)在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以函?shù)在時(shí)，最大值為，
要想不等式在區(qū)間上有解，只需，
故選：C
2．（23-24高三·海南?？凇るA段練習(xí)）若函數(shù)在是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
令，故，，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足要求，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足要求，
當(dāng)，即時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，
故，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
3．（2020高三·河北石家莊·階段練習(xí)）已知，則 的最大值是（ ）
A．B．C．2D．7
【答案】A
【分析】化簡(jiǎn) 為，利用均值不等式求解即可.
【詳解】
，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以 的最大值為
故選：A
4．（20-21高三·遼寧大連·模擬）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得當(dāng)時(shí)，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意知，可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，
當(dāng)時(shí)，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：關(guān)于的不等式有解時(shí)，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.
故選：A.
5．（20-21高三·浙江紹興·期中）若 ，則有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】將給定函數(shù)化簡(jiǎn)變形，再利用均值不等式求解即得.
【詳解】因，則，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A
題型九：分母構(gòu)造型：一個(gè)分母構(gòu)造型
單分母
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來(lái)求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配。
1．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】依題意可得且，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)滿足，
顯然，則，所以，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：B
2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋傻茫?br>且，，可知，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為1.
故選：B.
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】實(shí)數(shù)，，由，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：B
4．（23-24高三·浙江·模擬）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，以與為基本量加以整理，化簡(jiǎn)后利用基本不等式算出答案.
【詳解】由得，其中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為9.
故選：D
5．（23-24高三·廣東肇慶·模擬）已知，，，則的最小值為（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】通過(guò)配湊，借助基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，有最小值.
故選：C.
題型十：分母構(gòu)造型：兩個(gè)分母構(gòu)造型
雙分母
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來(lái)求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配。
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡(jiǎn)得出.進(jìn)而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．故選：C．
2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，則的最小值為（ ）
A．1B．C．9D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故選：C．
3．（23-24高三·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得當(dāng)時(shí)，，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
【詳解】易知
，所以可得；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
依題意需滿足，所以.故選：D
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，利用基本不等式“1”的代換求其最小值，注意取值條件.
【詳解】非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D
5．（23-24高三·湖北·階段練習(xí)）若，且，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【詳解】可變形為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，故選：C
題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型
對(duì)于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過(guò)常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來(lái)求解
分離常數(shù)技巧：
1．（23-24高三·廣東佛山·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則．
因?yàn)椋?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是．
故選：A.
2．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：D
3．（23-24高三·全國(guó)·期末）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)題意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.
【詳解】由于，，且，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.故選：C.
4．（23-24高三·湖北武漢·模擬）已知且，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】將已知化為，，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】，，，

，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為.故選：A
5．（22-23高一下·云南·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理得出，由已知變形可得，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】因?yàn)?，，則，因?yàn)椋瑒t，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.故選：B.
題型十二：換元構(gòu)造型
若已知（定值），型，則可通過(guò)線性換元，令，反解出代入條件等式中，換元為簡(jiǎn)單的條件不等式
1．（23-24高三上·四川巴中·開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
令，則，
由得，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，
也即，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為9，
故選：B
2．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先得出，再根據(jù)基本不等式“1”的妙用求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
則且，解得.
所以，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即且，
解得.
故選：B.
3．（21-22高三·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用雙換元法化簡(jiǎn)后，根據(jù)基本不等式計(jì)算
【詳解】，
令，，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故有最小值．
故選：B
4．（22-23高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結(jié)果.
【詳解】，
令，，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，故有最小值.
故選：D.
5．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.
【詳解】令，，則，
即，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
故選：A.
題型十三：分母拆解湊配型
湊配拆解型
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來(lái)求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配
1．（22-23高三上·河北保定·階段練習(xí)）不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，則有，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
，
，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：C
2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．12D．10
【答案】B
【分析】利用得出，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，而?br>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
3．（19-20高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知的值域?yàn)椋?dāng)正數(shù)滿足時(shí)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)值域計(jì)算，變換，利用均值不等式得到答案.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，故；
即，
，
當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：A
5．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）已知，均為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先將化為，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【詳解】因?yàn)椋鶠檎龑?shí)數(shù)，且，得，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.
故選：B.
題型十四：萬(wàn)能“K”型
一般情況下的“萬(wàn)能K法”
設(shè)K法的三個(gè)步驟：
⑴、問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；
⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值。
求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，構(gòu)造方程用均值
1．（22-23高三上·江蘇南京·模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【詳解】因?yàn)椋?
所以，
即
所以，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)
，解得 或時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)有最大值為9.
故選:D.
2.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
則有，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，取到最小值.
故選：B.
3.（2022秋·四川成都·高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎龜?shù)滿足，則的最大值是 .
【答案】
【分析】令，則，，利用基本不等式，并結(jié)合一元二次不等式的求法可得的范圍，進(jìn)而得到答案.
【詳解】令，因?yàn)?，，所?
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以，即，解得，
所以的最大值為.
故答案為：.
4.（21-22高三上·湖北襄陽(yáng)·期中）若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由題意可得，化簡(jiǎn)利用基本不等式可得，從而可求出的最小值.
【詳解】解：，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，解得，
的最小值為故選：C
題型十五：均值不等式應(yīng)用比大小
幾個(gè)重要不等式
（1）_（）；
（2） （）；
（3）2（）；
（4）__ 或（）；
（5）
1．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.
【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以，，，
，
所以，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.
2．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用作差法、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式及基本不等式可比較與，再運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可比較與.
【詳解】∵，
，
∴，所以.
∵
∴比較與的大小，即比較與的大小.
令，則.
令，則.
所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)椋?br>所以，即.所以，即.
綜上所述，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.
3．（22-23高三·江蘇常州·模擬）若且，設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先將與常數(shù)進(jìn)行比較，然后通過(guò)與比較大小，再通過(guò)基本不等式進(jìn)行放縮，最后通過(guò)放縮
【詳解】，可得：，，
可得：且
由基本不等式，可得：
又，可得： ，且，
可得：，即
故選：A
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)已知等式兩邊分別取對(duì)數(shù)求出a，b，c，然后通過(guò)換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．
【詳解】分別對(duì)，，兩邊取對(duì)數(shù)，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故選：D．
5．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判斷出，，然后根據(jù)作差法結(jié)合基本不等式比較.
【詳解】由題意，，，，
由換底公式，，
，
由于，根據(jù)基本不等式，，
故，即，于是.故選：A
題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型
恒成立：
①若在上恒成立，則；
②若在上恒成立，則；
③若在上有解，則；
④若在上有解，則；
函數(shù)最值，符合均值不等式條件的，可以構(gòu)造均值不等式放縮求最值
1．（22-23高三·福建廈門·階段練習(xí)）已知不等式對(duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來(lái)），從而由題設(shè)條件證得，結(jié)合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數(shù)的最小值.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以由得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即，
因?yàn)閷?duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由為正數(shù)得，
所以正數(shù)的最小值為.
故選：B.
2．（23-24高三·甘肅蘭州·期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】
首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件是且，
得且，此時(shí)第一次使用基本不等式，說(shuō)明兩次基本不等式能同時(shí)取得，
所以的最小值為，
即，則，
所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時(shí)，需變形為，再通過(guò)兩次基本不等式求最值.
3．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）不等式對(duì)所有的正實(shí)數(shù),恒成立，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.
【詳解】解：因?yàn)?為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.
4．（22-23高三上·河南鄭州·模擬）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.
【詳解】依題意，．又，而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為
故選：
題型十七：因式分解型
如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過(guò)對(duì)分解后因式雙換元來(lái)轉(zhuǎn)化求解
1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常見的因式分解：
1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是 ．
【答案】10
【解析】將已知等式化為，所求式子化為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：10
2.（22-23高三上·江西吉安·模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，變形為，設(shè)，利用基本不等式得到，進(jìn)而化為求解.
【詳解】解：由，變形為，設(shè)，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即，
∴，∴，即，，∴，∴，
此時(shí)，，即，時(shí)，的最大值為8.故選：B.
3.（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.
【詳解】因?yàn)?，由，可得，又?br>可得，化為，
解得，則的取值范圍是.故選：A.
4.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】設(shè)，由已知推出，將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
，
則，則，
即有，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，
驗(yàn)證，時(shí)，，則，符合題意，；
時(shí)，，則，，符合題意，
故選：C
5.（22-23高三上·吉林·開學(xué)考試）已知，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】對(duì)原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是4.
故選：D.
題型十八：三元型不等式
一般地，處理多元最值問(wèn)題的思考角度有以下幾個(gè)：
從元的個(gè)數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；
從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；
從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號(hào)取到的條件.
1.（20-21高三上·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不對(duì)
【答案】A
【分析】
利用基本不等式可求最大值.
【詳解】
，，，
所以，
，
因此所求代數(shù)式的最大值為1．
故選：A.
2．（21-22高三·浙江溫州·模擬）已知且，，，則的最小值為
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【詳解】∵，∴，
∵，
即,即，
∴，
即解得或(舍)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故選A.
點(diǎn)睛：由≥b≥c，+b+c=12可得≥4，利用（-b）（-c）≥0得出，故而45≥bc+（12-）=，從而解出的范圍．
3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，
所以有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，
故選：C
4．（22-23高三·江蘇常州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，結(jié)合分式的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為1，故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用因式分法，得到是解題的關(guān)鍵.
5．（22-23高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>因?yàn)椋傻?，故?dāng)時(shí)，取最大值.
故選：A.

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