均值不等式及其應用求最值求取值范圍等
函數(shù)恒成立存在求參題型的應用
利用函數(shù)性質，利用求導比大小時不等式綜合應用
課標全國卷的線性規(guī)劃及其應用
易錯點1：忽視（漏）運用均值不等式是否滿足“一正二定三相等”
易錯點2：忽視（漏）連續(xù)使用均值不等式是否保證相等一致
易錯點3：忽視（漏）不等式性質正確應用
易錯點4：忽視（漏）在求解轉化不等式時保持“等價”
易錯點5：忽視（漏）一元二次不等式軸與定義域區(qū)間的關系
易錯點6：忽視（漏）解分式不等式時直接把分布當“正數(shù)”去分母
易錯點7：忽視（漏）對形如[a，b]范圍取絕對值時直接定為[|a|，|b|]
易錯點8：忽視（漏）對含參數(shù)不等式討論時分類不當討論不當
易錯點9：忽視（漏）線性規(guī)劃開放性區(qū)域圖形的“平行線”特性
易錯點10：忽視（漏）恒成立（存在）求參時“取大還是取小”的依據(jù)
易錯點11：忽視（漏）不等式恒成立（存在）求參時主變量與參變量的選擇
一、單選題
1．（2023春·高三模擬）已知是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性將條件進行轉化，利用不等式的解法即可得到結論．
【詳解】由是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，
則，
即，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
2．（上?！じ呖颊骖}）已知集合，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解絕對值不等式可得集合M，解分式不等式可得集合P，即可求得.
【詳解】集合，解絕對值不等式，可得，
集合，解分式不等式，可得，
則，
故選：B.
【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，絕對值不等式與分式不等式的解法，屬于基礎題.
3．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式不等式的解法和對數(shù)函數(shù)定義域的求法求出集合，再求其交集即可.
【詳解】，
因此.
故選：C.
4．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)x，y滿足，，則的最小值為（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】C
【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)對應的直線進行平移，找到取最小值的點即可計算．
【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖所示及其內部，
將直線平移，當直線經(jīng)過點時，目標函數(shù)有最小值，最小值為.
故選：C
5．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意知是方程的兩實數(shù)根，由韋達定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.
【詳解】由不等式的解集為，
知是方程的兩實數(shù)根，
由根與系數(shù)的關系，得，解得：，
所以不等式可化為，解得：或，
故不等式的解集為：.
故選：D.
6．（2023·全國·高三專題練習）若實數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性質，通過逐一分析判斷各選項，即可判斷出結果.
【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；
對于B，因為，當時，，故B錯誤；
對于C，因為，所以，，所以，即，即，故C正確；
對于D，若，顯然有，故D錯誤．
故選：C．
7．（2022北京·高三強基計劃）設x，y，z是大于零的實數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求代數(shù)式的最大值.
【詳解】設題中代數(shù)式為M，則
，
等號當
故選：A.
8．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，
故選：C.
【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
二、多選題
9．（2023·廣東深圳·深圳中學統(tǒng)考模擬預測）已知a，b都是正實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB選項，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯誤；C選項，作差法比較出大小關系；D選項，先變形后利用基本不等式進行求解.
【詳解】A選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，
當且僅當，即時，等號成立，A正確；
B選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，
當且僅當，即時，等號成立，B錯誤；
C選項，，故恒成立，C正確；
D選項，a是正實數(shù)，故，其中，
故，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.
故選：AC
10．（2023春·浙江金華·高三校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．在中，若，則
B．在銳角中，不等式恒成立
C．在中，若，則必是等腰直角三角形
D．在中，若，，則不是等邊三角形
【答案】ABD
【分析】A .利用大角對大邊以及正弦定理邊化角來判斷；
B.利用以及余弦函數(shù)的性質來判斷；
C.先利用正弦定理邊化角，然后利用倍角公式變形得關系，進而可得三角形的形狀；
D.直接根據(jù)來判斷.
【詳解】對于A：，，由正弦定理可得，A正確；
對于B：在銳角中，，，，B正確；
對于C：在中，若，由正弦定理可得，
，或，或，則是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；
對于D：在中，若，則不是等邊三角形，D正確.
故選：ABD.
11．（2023·云南昆明·昆明市第三中學?？寄M預測）已知函數(shù)的定義域為R，且對任意，都有，且當時，恒成立，則（ ）
A．函數(shù)是R上的減函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．若，則的解集為D．函數(shù)()+為偶函數(shù)
【答案】ABC
【分析】利用單調性定義結合可判斷A；利用特殊值求出，從而證明可判斷B，根據(jù)條件求出，進而利用單調性解不等式可判斷C，利用奇偶性的定義可判斷D.
【詳解】設，且，，則，
而
，
又當時，恒成立，即，，
函數(shù)是R上的減函數(shù)，A正確；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函數(shù)的定義域為R，
故函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；
令可得，解得，
因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，
由，可得，
因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，所以，C正確；
令，易知定義域為R，
因為，顯然不恒成立，所以不是偶函數(shù)，D錯誤.
故選：ABC.
12．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)有兩個極值點
B．若關于的方程恰有1個解，則或
C．函數(shù)的圖像與直線可能有2個交點
D．若，且，則存在最小值
【答案】ABD
【分析】化簡函數(shù)，作出圖像，根據(jù)圖像分析選項A，.根據(jù)方程根與零點關系結合圖像即可分析選項B，由圖像交點的條件及圖像分析構造函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)分析即可得選項C，選項D結合條件利用構造函數(shù)對函數(shù)求導，利用導數(shù)分析即可求得的最小值.
【詳解】由函數(shù)，
可得，
則函數(shù)的圖像如圖所示：
對于A選項，由圖可知，和是函數(shù)的兩個極
值點，故A正確；
對于B選項，若函數(shù)恰有1個零點，
即函數(shù)與的圖像僅有一個交點，可得或，
故B正確；
對于C選項，因為函數(shù)在點處的切線為，
函數(shù)在處的切線為，
如圖中虛線所示，易知當，即時，
的圖像與直線恰有一個交點；
當，即時，
令，得，
令，
則，
由二次函數(shù)的圖像及零點存在定理可知，
方程有且只有一個實數(shù)根；
當，即時，
令，
設，
則（僅當時取等號），
即函數(shù)在上單調遞增，
由于，
，
所以函數(shù)有且僅有一個實數(shù)根；
故C錯誤.
對于D選項，由，
則，
則，
設，
則，
設，
所以
當時，，
所以在上單調遞增，
且，所以存在，
使，且當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以存在最小值，
故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
13．（2020·山西臨汾·統(tǒng)考模擬預測）已知為實數(shù)，則下列各式是的充分不必要條件的有______．（只需填序號）
①；②；③；④．
【答案】①
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，以及不等式的性質，逐項判斷，即可得出結果.
【詳解】等價于；
①若，則，，所以能推出；
但由，只能得到同號，故是的充分不必要條件；
②由可得，不能推出，故不是的充分條件；
③若，當時，無意義；當時，可得：，因此或，
因此由不能推出，即不是的充分條件；
④若，當時，無意義，故不是的充分條件；
故答案為：①.
【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判定，涉及不等式的性質，屬于基礎題型.
14．（2023·河南·開封高中校考模擬預測）已知實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】根據(jù)不等式的性質判斷與的大小關系是否滿足不等式，從而可結合線性規(guī)劃求目標函數(shù)的取值范圍.
【詳解】實數(shù)，滿足，且，
若，則，所以，又，所以，
則，即，則，所以與已知矛盾，
故，要滿足，則，
即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：
設目標函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，
由可行域可得直線經(jīng)過時得縱截距的最大值，無最小值，又，所以，故，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2021·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知關于的方程有兩個實根，，則下列不等式中正確的有______.（填寫所有正確結論的序號）
①； ②
③； ④.
【答案】①
【分析】解方程得到，，，再利用作差法和基本不等式得解.
【詳解】因為，所以或，
所以或，
因為關于的方程有兩個實根，，
所以，，
對于①②，
，
所以，所以①正確，②錯誤.
對于③④，，
因為.
,
所以或者.
所以③④錯誤.
故答案為：①
16．（2021·全國·統(tǒng)考模擬預測）已知不為的正實數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是 _____.（將所有正確答案的序號都填在橫線上）
①；② ；③；④；⑤．
【答案】④⑤.
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性先分析出的大小關系，然后結合函數(shù)性質以及不等式的性質逐項分析.
【詳解】因為且不為，由對數(shù)函數(shù)的單調性可知，
①當時，，所以，故①不一定成立；
②因為，由指數(shù)函數(shù)的單調性可知,故②不成立；
③當時，，所以，故③不一定成立；
④因為，所以，故④一定成立；
⑤因為，所以，故⑤一定成立；
故答案為：④⑤.

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