四川省南充高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：150分）
考試范圍：必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）
A. 2B. C. 2＋D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，可得答案.
【詳解】由題意，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部是，
故選：A.
2 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義，求出集合的交集即可.
【詳解】∵，∴.
故選：B.
3. 已知，，則下列不等式一定成立的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，且，可得，正負(fù)不確定.取特值可得AD錯(cuò)誤；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判定BC項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，?br>則，所以，.
AD選項(xiàng)，令，滿(mǎn)足條件，，
但，則，故AD錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由，則，故B正確；
C選項(xiàng)，由，則，故C錯(cuò)誤.
故選：B.
4. 已知函數(shù)，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】，，解得：.
故選：C.
5. 定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，有，且，，則不等式的解集為（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)以及求出，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域即可求解.
【詳解】解：
，
即，
，
，可轉(zhuǎn)化為：，
即，
即，
滿(mǎn)足，且，有，
在上單調(diào)遞增，
即，
解得：，
即不等式的解集為：.
故選：C.
6. 已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【詳解】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，
或舍去，即
所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4.
故選：B.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.
7. 函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值為（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖像，先求出，再求出，然后得到，進(jìn)而求出，最后，直接求函數(shù)值即可.
【詳解】由圖得，，，
，得，
所以，，
則，
得，
由得，，
則，
所以，.
故選：A.
8. 已知，，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的點(diǎn)且滿(mǎn)足，當(dāng)取最小值時(shí)，的外接圓的面積為（）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，則，，由數(shù)量積計(jì)算分析即可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出，利用正弦定理求解外接圓半徑求解面積即可.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，
過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，∵，∴所在的直線(xiàn)為，設(shè)，
則，，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)，
又∵，所以，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，
所以，所以，
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 如圖，在三棱錐的平面展開(kāi)圖中，，分別是，的中點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為2，則在三棱錐中（）
A. 的面積為B.
C. 平面平面D. 三棱錐的體積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接求的面積可判定A，連接交于G，根據(jù)條件證平面即可判定B，判定的夾角是否為直角可判定C，利用棱錐的體積公式可判定D.
【詳解】
對(duì)于A，易知，故A正確；
對(duì)于B，連接交于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)易知，
所以有，
又平面，所以平面，
平面，所以，故B正確；
對(duì)于C，由上可知為平面與平面的夾角，
易知，則不垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意可知兩兩垂直，
則，故D正確.
故選：ABD
10. 在中，下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則為等腰三角形
B. 若，則是直角三角形
C. 若，則是鈍角三角形
D. 若，則是等邊三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)AB；正弦定理角化邊余弦定理得角的范圍判斷選項(xiàng)C；正弦定理結(jié)合倍角公式化簡(jiǎn)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，中，若，則有或，
當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形；
當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，
故A選項(xiàng)不正確，
對(duì)于B，中，若，則或，
即或，因此不一定是直角三角形，故B選項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，中，若，則根據(jù)正弦定理得，
余弦定理得，則為鈍角，是鈍角三角形，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，中，若，則，即，
由，得，
所以，，是等邊三角形，故D選項(xiàng)正確．
故選：CD．
11. 沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.下列說(shuō)法正確的是（）
A. 沙漏中的細(xì)沙體積為
B. 沙漏的體積是
C. 細(xì)沙全部漏入下部后，此錐形沙堆的高度約為
D. 該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）
【答案】ACD
【解析】
【分析】A．根據(jù)圓錐的體積公式直接計(jì)算出細(xì)沙的體積；B．根據(jù)圓錐的體積公式直接計(jì)算出沙漏的體積；C．根據(jù)等體積法計(jì)算出沙堆的高度；D．根據(jù)細(xì)沙體積以及沙時(shí)定義計(jì)算出沙時(shí).
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的截面圖可知：細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，
所以細(xì)沙的底面半徑，體積，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，沙漏的體積，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知：，
所以，所以，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，因?yàn)榧?xì)沙的體積為，沙漏每秒鐘漏下的沙，
所以一個(gè)沙時(shí)為：秒，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示代入即可得出答案.
【詳解】解析：本題考查平面向量垂直以及數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
因，所以，則.
故答案為：.
13. 某校按分層隨機(jī)抽樣的方法從高中三個(gè)年級(jí)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，從三個(gè)年級(jí)中抽取的人數(shù)比為如圖所示的扇形面積比，已知高二年級(jí)共有學(xué)生1200人，并從中抽取了40人，則從高一年級(jí)中抽取____________人．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)總?cè)藬?shù)為，得到，求得，再結(jié)合分層抽樣的計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題圖中數(shù)據(jù)可知高二年級(jí)所占的角度為，設(shè)總?cè)藬?shù)為，
則，可知，故該校的總?cè)藬?shù)為，
由高一、高二、高三年級(jí)人數(shù)的比為，
可知高一年級(jí)人數(shù)為，
則抽樣時(shí)應(yīng)從高一年級(jí)抽(人).
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則不等式的解集為_(kāi)_____.
【答案】或
【解析】
【分析】由已知可得在上遞增，再由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，則可得，再對(duì)數(shù)的性質(zhì)要求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以在上遞增，
因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，
所以由，得，
所以，
所以或，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集為或.
故答案為：或.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E.且交AC于點(diǎn)F，
（1）求的值
（2）求的最小值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意找到其他邊長(zhǎng)，對(duì)所求進(jìn)行平方結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出；（2）將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，
，
，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
，
.
【小問(wèn)2詳解】
，，
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
16. 某校高一年級(jí)有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學(xué)生的身高信息，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取總樣本為30的樣本，并觀(guān)測(cè)樣本的指標(biāo)價(jià)（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的身高平均數(shù)為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)；
記抽取的第i個(gè)女生的身高為（，2，3，…，10），樣本平均數(shù)，方差.
參考數(shù)據(jù)：，，.
（1）若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)該校高一女生身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；
（2）用總樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別估計(jì)該校高一學(xué)生總體身高的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求，的值；
（3）如果女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱(chēng)為離群值，試剔除離群值后，計(jì)算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.
【答案】（1）40；（2）；
（3）平均數(shù)為159，方差為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)在范圍內(nèi)的占比易求得女生總體在此范圍內(nèi)的人數(shù)；
（2）先利用加權(quán)平均數(shù)公式求出總樣本的平均數(shù)，再利用混合樣本的方差公式計(jì)算,最后對(duì)，進(jìn)行估計(jì)即可；
（3）先判斷169為離群值，再由平均數(shù)公式計(jì)算剩余9人身高平均數(shù)，利用方差公式求出，再由公式計(jì)算出方差.
【小問(wèn)1詳解】
因女生樣本中，身高在范圍內(nèi)的占比為，
故該校高一女生身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為；
【小問(wèn)2詳解】
記總樣本的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
由題意，設(shè)男生樣本（20人）的身高平均數(shù)為，方差為，
女生樣本（10人）的身高平均數(shù)為，方差，
則，
，
故；
【小問(wèn)3詳解】
因，，則，即，
約為，由樣本數(shù)據(jù)知，，為離群值，
剔除169后，女生樣本（9人）的身高平均數(shù)為：；
由可得，，
則剔除169后，女生樣本（9人）的身高的方差為：.
17. 如圖，在梯形中，，．
（1）若，求周長(zhǎng)的最大值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）9 （2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理結(jié)合基本不等式求出最值；
（2）設(shè)，在和中使用正弦定理，聯(lián)立得到，由正弦和角公式得到，從而得到，求出的值.
【小問(wèn)1詳解】
在中，
，
即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故周長(zhǎng)的最大值是9．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，則，．
在中，，
在中，，兩式相除得，，
因?yàn)椋?br>∴，故．
18. 已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)，，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
∵是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，
∴，解得，
∴時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
即在上的解析式為．
∴函數(shù)的解析式為
【小問(wèn)2詳解】
∵時(shí)，，
∴在有解，
整理得，
令，顯然與在上單調(diào)遞減，
∴在上單調(diào)遞減，則，
∴
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
19. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
（1）求證：平面.
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，再利用空間向量夾角公式、線(xiàn)面角的定義進(jìn)行求解即可；
（3）要使平面，則，由此列式求解可得.
【小問(wèn)1詳解】
∵平面平面，且平面平面，
且，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；
【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)為，連接，
又∵，∴．則，
∵，∴，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由，得，令，則．
設(shè)與平面的夾角為，
則；
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面.
設(shè)，，
由（2）知，，，，則，，
，
由（2）知平面的一個(gè)法向量．
若平面，則，
解得，又平面，
故在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，此時(shí).
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163

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