湖南省平江縣頤華高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 已知，，，則
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計算a-b即可打出a與b的大小關(guān)系，再由，，，即可得出答案．
【詳解】.
∴，∵，，∴.選B.
【點(diǎn)睛】本題考查不等式，比較數(shù)的大小關(guān)系，一般采用作差法、作商法、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題
2. 設(shè)向量，，則（）
A. B. C. －D. －
【答案】A
【解析】
【分析】利用數(shù)量積和兩角和與差的余弦的求解.
【詳解】,
故選:A
3. 若，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】判斷的關(guān)系，即可求解.
【詳解】由可得，由可得或，
則p可推出q，反之推不出，故是的充分不必要條件，
故選：A
4. 如圖，長方體中，，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角是（）．
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】D
【解析】
【分析】連接，由長方體的結(jié)構(gòu)特征易得，從而是異面直線與所成角，然后在中求解.
【詳解】如圖所示：
連接，由長方體的結(jié)構(gòu)特征得，
所以是異面直線與所成角，
因?yàn)椋?
所以，
即，
所以，
故異面直線與所成角
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，，40，50；乙組：24，，33，44，48，52．若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對應(yīng)相等，則（）
A. 60B. 65C. 70D. 75
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的定義，分別求得兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)和第50百分位數(shù)，列出方程組求解即得.
【詳解】由題意可得解得：故
故選：C.
6. 1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式
（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被普為“數(shù)學(xué)中的天橋”.下列說法正確的是（）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，逐項計算后可得正確的選項.
【詳解】對于A，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，故不一定成立，選項A錯誤；
對于B，，所以B錯誤；
對于C，由，，所以,得出,選項C正確；
對于D，由C選項的分析得，得出，選項D錯誤.
故選：C.
7. 若一個圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個圓柱的體積為（）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出球半徑，再由圓柱的內(nèi)切球與圓柱的關(guān)系可得圓柱的底面圓半徑和高，然后代入體積公式計算即得.
【詳解】設(shè)球的半徑為r，則，解得，
因半徑為r的球是圓柱的內(nèi)切球，則圓柱的高h(yuǎn)等于其內(nèi)切球直徑2r，圓柱底面圓直徑等于球的直徑2r，
于是得圓柱的底面圓半徑為1，高h(yuǎn)=2，則，
所以這個圓柱的體積為.
故選：C
8. 已知直角梯形中，是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線，分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、和的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)向量模的計算公式，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最小值.
【詳解】如圖，以直線，分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，
則，，，
，
即當(dāng)時，取得最小值5.
故選：D

二、多選題（本大題共3小題，共18分．在每小題有多項符合題目要求）
9. 對于，有如下判斷，其中正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則是鈍角三角形
D. 若，則符合條件的有兩個
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性判斷B；根據(jù)余弦定理判斷D；根據(jù)正弦定理，余弦定理可得的值正負(fù)，即可判斷C．
【詳解】對于A，若，則，由正弦定理，可知，故A正確；
對于B，若，由單調(diào)遞減可知，則為等腰三角形，故B正確；
對于C，若，則根據(jù)正弦定理得，可得，可得為鈍角，故為鈍角三角形，故C正確．
對于D，若，，，由余弦定理得，則，
所以符合條件的有一個，故D錯誤；
故選：ABC．
10. 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若函數(shù)的從小到大的四個不同的零點(diǎn)依次為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)圖象過可得，作出函數(shù)圖象，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)特征可得，，，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】因?yàn)?，的圖象過點(diǎn)，
所以，解得，
所以
因?yàn)楹瘮?shù)從小到大的四個不同的零點(diǎn)依次為，
所以關(guān)于的方程從小到大的四個不同的實(shí)根依次為，
即函數(shù)的圖象與直線有四個交點(diǎn)，四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為．
作出函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示，由圖易知．易知，所以，所以，所以，故A正確．
易知，即，故B正確．
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故C不正確．
，
設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故D不正確．
故選：AB．
11. 如圖，正方體的棱長為4，M是側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）

A. 沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為
B. 保持與垂直時，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡長度為
C. 若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡長度為
D. 平面被正方體截得截面為等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的軌跡是圓弧，即可判斷C；作出正方體被平面所截的截面即可判斷D.
【詳解】對于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接，則，故A錯誤；
對于B，如圖：

因?yàn)槠矫?，平面，，又?br>，，平面，
所以平面，平面 .
所以'，同理可得，，，平面 .
所以平面 .
所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，
由，可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
則平面平面.
設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，
所以，故B正確；
對于C，如圖：

若，則在以為球心，為半徑的球面上，
過點(diǎn)作平面，則，此時.
所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為.
點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度，故C正確；
對于D，如圖：

延長，交于點(diǎn)，連接交于，連接，
所以平面被正方體截得的截面為.
，所以.
，所以，
所以，所以，且，
所以截面為梯形，
，所以截面為等腰梯形.
故D正確.
故選：BCD.
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12. 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【詳解】由知，，而
.
當(dāng)時，，即，此時成立
當(dāng)時，，即，由，得
解得.又，故得.
綜上，有.
故答案為
13. 已知二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間[1，3]上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式，解不等式求得的取值范圍.
【詳解】由于為二次函數(shù)，所以，其對稱軸為，
要使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則需其對稱軸在區(qū)間兩側(cè)，
即或，
解得，或，或，
所以的取值范圍是
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
14. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形；為中點(diǎn)．若，，，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時，點(diǎn)到平面的距離為__________．

【答案】##0.3
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體性質(zhì)結(jié)合體積分割求解三棱錐的體積，在根據(jù)等體積法可求解點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】由題可得，當(dāng)?shù)酌鏁r，三棱錐的體積取到最大值
如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接

因?yàn)榈酌?，為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，所以，
所以底面，則
又由底面，底面，所以
因?yàn)榫匦?，則，又平面，所以平面
又為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，所以，，則平面
則
又
所以
又，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又平面，所以?br>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
所以，則.
故點(diǎn)到平面的距離為.
故答案為：.
四、解答題（本大題共5個小題，，13+15+15+17+17=77分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）
15 已知，，．
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大值為3，最小值為0．
【解析】
【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再利用整體的思想.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及的范圍求出的范圍，從而計算出函數(shù)的最值.
【詳解】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
由可得：
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為
故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0．
16. 已知ΔABC中，分別為角的邊，且，且
（1）求角的大??；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)余弦定理得角C范圍，最后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值得結(jié)果，（2）先根據(jù)正弦定理將化為角的關(guān)系式，再根據(jù)配角公式化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得結(jié)果.
【詳解】（1）
因此
（2）
,
因?yàn)?br>因此
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及配角公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
17. 定義在(0,+∞)上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．
（1）求；
（2）證明在(0,+∞)上單調(diào)遞減；
（3）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用賦值法即可求解.
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可證明.
（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，進(jìn)而參數(shù)分離即可求解.
【詳解】解：（1），
令，
則（1）
（1）；
證明：（2）由
可得，
設(shè)，，，
，即
，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞減；
（3）因?yàn)椋?br>所以，由（2）得恒成立，
令，則可化為對任意恒成立，且，
，又，
∴，即，
．
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn).
（1）求三棱錐的體積；
（2）求證：平面；
（3）求平面與平面的夾角的大小.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，易知且底面，由此即可求出答案；
（2）由題意易證面，則可得，再結(jié)合，利用線面垂直的判定定理即可得證；
（3）由題意易知是平面與平面的夾角，且，分別求出的值，利用，即可求出答案.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，
在中，分別為中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴，且，
又∵，
∴
∵底面，
∴底面，
∴；
【小問2詳解】
∵底面，且面
∴，
∵底面是正方形，
∴，
又,面,
∴面,
又面
∴
∵，且，
∴是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，
∴，
又,面,
∴面，
∵面
∴,
∵,
又,面
∴平面；
【小問3詳解】
由（2）可知，
故是平面與平面的夾角，
∵
∴，
在中，，，，
又面，
∵面
∴,
在中，，
∴，
故平面CPB與平面PBD的夾角的大小.
19. 某校象棋社團(tuán)組織了一場象棋對抗賽，參與比賽的40名同學(xué)分為10組，每組共4名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)比賽．已知甲、乙、丙、丁4名同學(xué)所在小組的賽程如表．規(guī)定：每場比賽獲勝的同學(xué)得3分，輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學(xué)可以獲得獎勵．若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負(fù)者前面），且抽簽時每人勝利的概率均為．假設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為．丁同學(xué)的水平較弱，面對任意一名同學(xué)時自己勝、負(fù)、平的概率都分別為．每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求丁同學(xué)的總分為5分的概率；
（2）已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)能獲得獎勵的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，若丁同學(xué)總分為5分，則丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平，利用相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；
（2）根據(jù)題意，分析甲獲得獎勵的情況，利用相互獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解．
【小問1詳解】
丁同學(xué)總分為5分，則丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平，
記第輪比賽丁同學(xué)勝、平的事件分別為，，
丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平的事件為，
則，
即丁同學(xué)的總分為5分的概率為．
【小問2詳解】
由于丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，
則在第二、三輪比賽中，丁同學(xué)對戰(zhàn)乙、甲同學(xué)均獲勝，
故丁同學(xué)總分為7分，且同丁同學(xué)比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分、0分、1分，
若甲同學(xué)獲得獎勵，則甲最終排名為第二名．
①若第一、二輪比賽中甲同學(xué)均獲勝，則第三輪比賽中無論乙、丙兩位同學(xué)比賽結(jié)果如何，
甲同學(xué)的總分為6分，排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率．
②若第一輪比賽中甲同學(xué)獲勝，第二輪比賽中甲、丙2名同學(xué)平局，
第三輪比賽中乙、丙2名同學(xué)平局或乙同學(xué)獲勝，甲同學(xué)的總分為4分，排第二名，
可以獲得獎勵，此時的概率．
③若第一輪比賽中甲、乙2名同學(xué)平局，第二輪比賽中甲同學(xué)獲勝，
第三輪比賽中當(dāng)乙、丙2名同學(xué)平局時，甲同學(xué)的總分為4分，排第二名，
可以獲得獎勵，此時的概率
第三輪比賽中當(dāng)乙、丙同學(xué)沒有產(chǎn)生平局時，甲同學(xué)與第三輪比賽乙、丙中的勝者的總分均為4分，
需要進(jìn)行抽簽來確定排名，當(dāng)甲同學(xué)抽簽獲勝時甲同學(xué)排第二名，可以獲得獎勵，
此時的概率．
綜上，甲同學(xué)能獲得獎勵的概率第一輪
甲—乙
丙—丁
第二輪
甲—丙
乙—丁
第三輪
甲—丁
乙—丙

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多