一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 已知向量，滿足，，且，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空間向量，則下列向量可以與構(gòu)成空間向量的一組基底的是（ ）
A. B. C. D.
3. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A B. C. D.
4. 如圖，在棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
6. 若存在實(shí)數(shù)a，使得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
8. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)，若，則（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A. 開口向下，準(zhǔn)線方程為
B. 開口向下，焦點(diǎn)為
C. 開口向左，焦點(diǎn)為
D. 開口向左，準(zhǔn)線方程為
10. 已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 若或，則直線與圓相切
B. 若，則圓關(guān)于直線對稱
C. 若圓與圓相交，且兩個(gè)交點(diǎn)所在直線恰為，則
D. 若，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則
11. 在直平行六面體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)均在球的球面上，則（ ）
A. 平面
B. 存點(diǎn)，使平面
C. 存在點(diǎn)，使的周長為
D. 球的表面積為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，，三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若．且，，，四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)_____．
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),點(diǎn)P到A與B的距離之和為8，則點(diǎn)P的軌跡為________.
14. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為14，且，則的最小值為_______________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已如空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)都在平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)的值.
16 .①
.②
③
④
觀察上面各組數(shù)，你能從運(yùn)算角度發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？
17. 已知點(diǎn)和點(diǎn)是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．
18. 已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于
（1）求圓的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
19. 如圖，在直四棱柱中，的中點(diǎn)分別為.

（1）證明：.
（2）求二面角的正弦值.
20. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)短軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）連線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
（i）證明：點(diǎn)在以為直徑的圓外：
（ii）在上是否存在點(diǎn)使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.
球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期2月月考（普通班）
數(shù)學(xué)
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 已知向量，滿足，，且，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，且?br>則，
且，所以與的夾角為．
故選：D.
2. 已知空間向量，則下列向量可以與構(gòu)成空間向量的一組基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基底的定義，判斷是否共面即可逐一求解.
【詳解】對于A，由于基底向量不能是零向量，故A錯(cuò)誤，
對于B，由于與不共面，符合基底要求，故B正確，
對于C，，故共面，不符合要求，C錯(cuò)誤，
對于D，，故共面，不符合要求，D錯(cuò)誤，
故選：B
3. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方程確定即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，可知，
所以漸近線方程為：．
故選：A
4. 如圖，在棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得和數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可求解.
【詳解】，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，，且，
則
，
所以，
即直線和夾角的余弦值為，所以正弦值為.
故選：C
5. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，故公差.
故選：D
6. 若存在實(shí)數(shù)a，使得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線性質(zhì)列式計(jì)算得解.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，
由直線與圓相切，得對于實(shí)數(shù)a有解，
由，解得：或，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是.
故選：D.
7. 已知雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，結(jié)合求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程可得.
【詳解】由題知，，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，
聯(lián)立，解得，則，
所以直線的方程為，
設(shè)，則①，
因?yàn)榈慕瞧椒志€與y軸平行，所以，
即，整理得②，
聯(lián)立①②解得，代入雙曲線方程得，即.
故選：A
8. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)，若，則（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)結(jié)合，得出，根據(jù)圖形特征得出即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)直線的傾斜角為，作垂直于點(diǎn)，作垂直于點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，
同理，
因?yàn)?，那么，解得?br>所以，，
所以是的中位線，所以.
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A. 開口向下，準(zhǔn)線方程為
B. 開口向下，焦點(diǎn)為
C. 開口向左，焦點(diǎn)為
D. 開口向左，準(zhǔn)線方程為
【答案】AB
【解析】
【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程即可判斷.
【詳解】由題設(shè)，拋物線可化為，
開口向下，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.所以AB正確，CD錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 若或，則直線與圓相切
B. 若，則圓關(guān)于直線對稱
C. 若圓與圓相交，且兩個(gè)交點(diǎn)所在直線恰為，則
D. 若，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用圓心到直線距離等于半徑求解；B選項(xiàng)，由圓心在直線上求解；C選項(xiàng)，由兩個(gè)圓的方程相減，得公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，由圓心到直線距離的范圍求解.
【詳解】即，圓心，
對A，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，則，
解得或，故A錯(cuò)誤；
對B，若圓關(guān)于直線對稱，則直線通過圓心，則有，
解得，故B正確；
對C，圓與圓方程作差得，即，
則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)圓，滿足，
則，故C錯(cuò)誤；
對D，若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則圓心到直線的距離，即，
即，且，解得，故D正確.
故選：BD．
11. 在直平行六面體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)均在球的球面上，則（ ）
A. 平面
B. 存在點(diǎn)，使平面
C. 存在點(diǎn)，使的周長為
D. 球的表面積為
【答案】BD
【解析】
【分析】連接，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷A；根據(jù)平面平面，即可判斷B；將平面與平面沿展平，求出周長的最小值即可判斷C；設(shè)為的外心，連接，由，求出球心坐標(biāo)，即可求出球的半徑，從而可判斷D.
【詳解】由題意知直平行六面體的底面為菱形，
且為等邊三角形，如圖，連接，交于點(diǎn)，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，
過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，．
因?yàn)椋矫?，所以與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；
對于B，連接，
因?yàn)榍遥?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
同理，
又平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，
所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，故B正確；
將平面與平面沿展平，

可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為，
所以周長的最小值為，故C錯(cuò)誤；
設(shè)為的外心，連接，則底面，
設(shè)，則由，得，
解得，
所以球的半徑為，
所以球的表面積為，故D正確．

故選：BD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，，三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若．且，，，四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷向量共面，可得解.
【詳解】由題知，
即
又，，，四點(diǎn)共面，
所以，解得.
故答案為：.
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),點(diǎn)P到A與B的距離之和為8，則點(diǎn)P的軌跡為________.
【答案】線段
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得 ，則P點(diǎn)在線段上，
所以點(diǎn)P的軌跡為線段，
故答案為：線段
14. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為14，且，則的最小值為_______________.
【答案】10
【解析】
【分析】利用累加法求通項(xiàng)公式，并注意檢驗(yàn)首項(xiàng)，然后用基本不等式求最小值，并考慮取等號(hào)條件即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，，…，，
將以上各式左右分別相加，
得，
所以，
又滿足上式，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即最小值為10.
故答案為：10.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已如空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)都在平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)共面，由平面向量基本定理列方程即可解出；
方法二：先求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)即可求出.
【詳解】方法一：，
由題意知四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，滿足：
，，而.
方法二：，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，
取，則，
，解得.
16. .①
.②
③
④
觀察上面各組數(shù)，你能從運(yùn)算角度發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？
【答案】從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)
【解析】
【分析】觀察相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而歸納得出結(jié)論.
【詳解】對于①：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于7；
對于②：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于；
對于③：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于0.5；
對于④：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于2；
綜上，它們的共同特點(diǎn)為：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；
17. 已知點(diǎn)和點(diǎn)是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出圓心，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離得出半徑，進(jìn)而得出圓的方程；
（2）先應(yīng)用斜率乘積為得出斜率，再點(diǎn)斜式得出切線方程.
【小問1詳解】
由題意可得的中點(diǎn)，
∴圓心，故半徑，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
∵為圓切線，∴，則，
∵，∴，
∴過點(diǎn)的切線方程為，即切線的方程為．
18. 已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于
（1）求圓的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；
(2) 過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程
【小問1詳解】
易知到直線的距離為圓A半徑r，
所以，
則圓A方程為
【小問2詳解】
過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知
當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，
顯然合題意，
當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，
由到距離為知得，
代入解之可得，
所以或?yàn)樗蠓匠蹋?br>19. 如圖，在直四棱柱中，中點(diǎn)分別為.

（1）證明：.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算，得證；
（2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解.
【小問1詳解】
在直四棱柱中，因?yàn)?，所以兩兩垂直?br>又因?yàn)?，所以?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，所以?br>則，
從而，
所以；
【小問2詳解】
根據(jù)題意，可知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
所以
易知二面角的正弦值為.

20. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)短軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）連線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
（i）證明：點(diǎn)在以為直徑的圓外：
（ii）在上是否存在點(diǎn)使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）存在，或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)來確定方程參數(shù)；
（2）（i）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系通過向量的數(shù)量積來實(shí)現(xiàn)；（ii）利用直線與橢圓方程聯(lián)立得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)建立等式求解直線方程.
【小問1詳解】
由題意得，所以，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
【小問2詳解】
（i）由題意得，，
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此時(shí)以為直徑的圓的方程為，顯然在此圓外；
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由可得，，
恒成立，
設(shè)，
則
故在以為直徑的圓外.
（ii）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，此時(shí)到距離為1，故不存在等邊三角形，當(dāng)斜率為0時(shí)，易得不存在等邊三角形，
當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)中點(diǎn)為，又，由（i）得，
，由于在直線上，所以
直線的斜率為，所以.
，
因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，則
解得，即，
故直線的方程為或.

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四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一（普通班）下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

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四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試（普通班）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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