湖南省平江縣頤華高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，
故選：D
2. 已知向量滿足，且，則（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>又因?yàn)椋?br>所以，
從而.
故選：B.
3. 已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
4. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【詳解】，
又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故選：B.
5. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
6. 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．
由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即．
故選：D．
7. 已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.
【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，
可知，
設(shè)正三棱臺(tái)的為，
則，解得，
如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，
則，，
可得，
結(jié)合等腰梯形可得,
即，解得，
所以與平面ABC所成角的正切值為；
解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，
則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，
因?yàn)?，則，
可知，則，
設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，
取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，
所以與平面ABC所成角的正切值.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出的圖象，令，則，由題意結(jié)合圖象可知方程有兩個(gè)不相等的根，且，或，，令，則結(jié)合一元二次方程根分布情況可求得結(jié)果.
【詳解】的圖象如下圖，
令，則，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以由函數(shù)圖象可知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，或，，
令，
若，則
，即，解得，
若，，則，無解，
綜上，，
故選：C
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說法正確的是（）
A. 是數(shù)列的最小項(xiàng)B. 是數(shù)列的最大項(xiàng)
C. 是數(shù)列的最大項(xiàng)D. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)第項(xiàng)為an的最大項(xiàng)，根據(jù)列出不等式組，求解即可判斷BCD，利用數(shù)列的單調(diào)性及范圍判斷A．
【詳解】設(shè)第項(xiàng)為an的最大項(xiàng)，
則，即，所以，
又，所以或，
故數(shù)列an中與均為最大項(xiàng)，且，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列an遞減，故BCD正確，
當(dāng)趨向正無窮大時(shí)，無限趨向于0且大于0，且，
所以不是數(shù)列an的最小項(xiàng)，且數(shù)列an無最小值，故A錯(cuò)誤.
故選：BCD
10. 點(diǎn)O在ΔABC所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有
A. 若,則點(diǎn)O為ΔABC的重心
B. 若,則點(diǎn)O為ΔABC的垂心
C. 若,則點(diǎn)O為ΔABC的外心
D. 若,則點(diǎn)O為ΔABC的內(nèi)心
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.
【詳解】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為ΔABC的重心；
選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為ΔABC的內(nèi)心；
選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為ΔABC的外心；
選項(xiàng)D，由得，
∴，即，
∴．同理可證，
∴，，，即點(diǎn)O是ΔABC的垂心；
故選：AC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．
11. 設(shè)函數(shù)，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C. 存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸
D. 存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡
，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，
由題意也是對(duì)稱中心，故，
即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>，
，
所以，
所以．
13. 在邊長為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】解法一：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義即可求解；解法二：建立直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解．
【詳解】解法一：由題意可知：，
因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
則，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，
可得
，
又因?yàn)?，可知：?dāng)時(shí)，取到最小值．
解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
可得，
因點(diǎn)在線段上，設(shè)，
且為中點(diǎn)，則，
可得
則，且，
所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為．
故答案為：．
14. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.
【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當(dāng)，則，則為：
，
，
故有16種，
當(dāng)，則，同理有16種，
當(dāng)，則，同理有10種，
當(dāng)，則，同理有2種，
共與的差的絕對(duì)值不超過12時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？
（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）
（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？
（附：其中，．）
【答案】（1）
（2）
（3）有
【解析】
【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；
（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，
則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為．
【小問2詳解】
估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為
．
則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).
【小問3詳解】
由題列聯(lián)表如下：
提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．
其中．
．
則零假設(shè)不成立，
即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．
16. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小問1詳解】
因?yàn)椋矗?br>而，所以；
【小問2詳解】
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
17. 如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
（1）若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)?，故，故?br>故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】（1）極小值為，無極大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.
（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取極小值且極小值為，無極大值.
【小問2詳解】
，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，故在上增函數(shù)，
故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上f'x

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