利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．
一、利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件．二、數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．三、構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍
對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解
命題點(diǎn)1　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法(1)數(shù)形結(jié)合法：先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的要求數(shù)形結(jié)合 求解；(2)分離參數(shù)法：由 f ( x )＝0分離出參數(shù) a ，得 a ＝φ( x )，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) y ＝φ( x )的 單調(diào)性、極值和最值，根據(jù)直線 y ＝ a 與 y ＝φ( x )的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得參數(shù) a 的取值 范圍；(3)分類討論法：先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合 題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的范圍
(1)當(dāng) a ＝0時(shí)，求 f ( x )的最大值；
(2)若 f ( x )恰有一個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.
2.[2022全國(guó)卷乙]已知函數(shù) f ( x )＝ln(1＋ x )＋ ax e－ x .(1)當(dāng) a ＝1時(shí)，求曲線 y ＝ f ( x )在點(diǎn)(0， f (0))處的切線方程；
(2)若 f ( x )在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.
∵ f (0)＝0，∴ f ( x 1)＞ f (0)＝0，當(dāng) x →－1時(shí)， f ( x )＜0，∴ f ( x )在(－1， x 1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即 f ( x )在(－1，0)上存在一個(gè)零點(diǎn).∵ f (0)＝0，當(dāng) x →＋∞時(shí)， f ( x )＞0，∴ f ( x )在( x 2，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即 f ( x )在(0，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上， a 的取值范圍是(－∞，－1).
命題點(diǎn)2　探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)
探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)圖象法：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值， 確定函數(shù) f ( x )的圖象草圖， 判斷圖象與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般要結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理處理.(2)分離法：設(shè) f ( x )＝ g ( x )－ h ( x )，則 f ( x )的零點(diǎn)個(gè)數(shù)? g ( x )與 h ( x )圖 象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
例 1.[全國(guó)卷Ⅰ]已知函數(shù) f ( x )＝ sin x －ln(1＋ x )， f '( x )為 f ( x )的導(dǎo)數(shù)，證明：
(2) f ( x )有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
(iv)當(dāng) x ∈(π，＋∞)時(shí)，ln( x ＋1)＞1，所以 f ( x )＜0，從而 f ( x )在(π，＋∞) 上沒有零點(diǎn).綜上， f ( x )有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
(2)設(shè) x 0是 f ( x )的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線 y ＝ln x 在點(diǎn) A ( x 0，ln x 0)處的切線也是曲線 y ＝e x 的切線.
1. [2024安徽六校聯(lián)考]已知函數(shù) f ( x )＝ a e x － x (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù) f ( x )的單調(diào)性；
[解析]　(1)由已知，得 f '( x )＝ a e x －1.
①當(dāng) a ≤0時(shí)， f '( x )＜0， f ( x )在R上單調(diào)遞減；
②當(dāng) a ＞0時(shí)，令 f '( x )＝0，得 x ＝－ln a ，當(dāng) x ∈(－∞，－ln a )時(shí)， f '( x )＜0，所以 f ( x )在(－∞，－ln a )上單調(diào)遞減，當(dāng) x ∈(－ln a ，＋∞)時(shí)， f '( x )＞0，所以 f ( x )在(－ln a ，＋∞)上單調(diào)遞增.
(2)若 g ( x )＝ a e x ( x －1)－ln x ＋ f ( x )有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
[解析]　 (2)原問題等價(jià)于 g ( x )＝ ax e x －(ln x ＋ x )＝ ax e x －ln( x e x )( x ＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)，
令 t ＝ x e x ( x ＞0)，則易得 t ＞0，
又當(dāng) t → 0時(shí)， h ( t )→－∞，當(dāng) t →＋∞時(shí)， h ( t )→ 0，
所以 h ( t )的大致圖象如圖，
(1)若 b ＝ c ＝0，討論 f ( x )的單調(diào)性；
①若 a ≤0，則f'( x )＜0，所以 f ( x )在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
(2)已知 x 1， x 2是 f ( x )的兩個(gè)零點(diǎn)，且 x 1＜ x 2，證明： x 2( ax 1－1)＜ b ＜ x 1( ax 2－1).
綜上可得： x 2( ax 1－1)＜ b ＜ x 1( ax 2－1).
[解析]　 f '( x )＝1＋ a cs x .

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