TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22068" 【題型1 根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】 PAGEREF _Tc22068 \h 1
\l "_Tc26035" 【題型2 巧用分配律簡化運(yùn)算】 PAGEREF _Tc26035 \h 2
\l "_Tc1746" 【題型3 有理數(shù)的乘法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識的綜合】 PAGEREF _Tc1746 \h 2
\l "_Tc6032" 【題型4 關(guān)于有理數(shù)乘法的新定義問題】 PAGEREF _Tc6032 \h 3
\l "_Tc8242" 【題型5 利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc8242 \h 4
\l "_Tc20520" 【題型6 巧用分配律進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc20520 \h 5
\l "_Tc13153" 【題型7 利用有理數(shù)的四則混合運(yùn)算解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc13153 \h 6
\l "_Tc32344" 【題型8 巧用倒數(shù)解有關(guān)有理數(shù)除法的問題】 PAGEREF _Tc32344 \h 7
\l "_Tc5571" 【題型9 運(yùn)用有理數(shù)的除法化簡分?jǐn)?shù)】 PAGEREF _Tc5571 \h 8
\l "_Tc9216" 【題型10 與有理數(shù)的混合運(yùn)算有關(guān)的分類討論問題】 PAGEREF _Tc9216 \h 8
【知識點(diǎn)1 有理數(shù)乘法的法則】
①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．
②任何數(shù)同零相乘，都得0．
③多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)
時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．
乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)；若a≠0，則a的倒數(shù)是1a.
【題型1 根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】
【例1】（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如果a+b=a?b>0，ab0，b>0B．a(chǎn)>0，b0、b>0B．a(chǎn)0
C．a(chǎn)?1b+10
【題型2 巧用分配律簡化運(yùn)算】
【例2】（2023春·河南焦作·七年級焦作市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ?jì)算：
(1)4×?198×?0.25×199
(2)?76+34?112×24
(3)?5×?713+7×?713??12×?713
(4)997172×?36
【變式2-1】（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算?0.125×20×?8×?0.8=?0.125×?8×20×?0.8=?16，運(yùn)算中運(yùn)用的運(yùn)算律為（ ）．
A．乘法交換律B．乘法分配律
C．乘法結(jié)合律D．乘法交換律和乘法結(jié)合律
【變式2-2】（2023春·七年級單元測試）用簡便方法計(jì)算：
(1)91315×?30；
(2)?5×(?3611)+?7×(?3611)+12×(?3611)．
【變式2-3】（2023春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期中）簡便計(jì)算：
(1)-24×(-12+34-13)
(2)(-65)×(--23)+(+173)×(-65)-65
【題型3 有理數(shù)的乘法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識的綜合】
【例3】（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習(xí)）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，求|a+b|+4m?3cd的值．
【變式3-1】（2023春·重慶萬州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，|x?4|=3，求cd2x+a+bx?2x的值．
【變式3-2】（2023春·吉林白城·七年級統(tǒng)考期中）已知a，b互為相反數(shù)，且a≠0，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值是最小的正整數(shù)，求m2?ab+2021a+b2022?cd的值．
【變式3-3】（2023春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習(xí)）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求m+2cd?a+b的值．
【題型4 關(guān)于有理數(shù)乘法的新定義問題】
【例4】（2023春·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“※”，對于任意的兩個(gè)有理數(shù)a，b，a※b=?3ab．
(1)若m與?2互為倒數(shù)，n與5互為相反數(shù)，求m※n的值；
(2)求(?3)※[6※(?4)]的值．
【變式4-1】（2023春·重慶石柱·七年級重慶市石柱中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）a，b為有理數(shù)，若規(guī)定一種新的運(yùn)算“⊕”：定義a⊕b＝a×b﹣6×（b﹣a）﹣5，
例如：2⊕3＝2×3﹣6（3﹣6）﹣5＝6﹣6﹣5＝﹣1．
請根據(jù)“⊕”的定義計(jì)算：
(1)﹣6⊕4；
(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．
【變式4-2】（2023春·全國·七年級期末）在學(xué)習(xí)完《有理數(shù)》后，小奇對運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣．對有理數(shù)a、b、c，在乘法運(yùn)算中滿足①交換律：ab=ba；②對加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b=a×b+2×a．
(1)求2⊕?1的值；
(2)求?3⊕?4⊕12的值；
(3)試用學(xué)習(xí)有理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和方法來探究這種新運(yùn)算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．
【變式4-3】（2023春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）對于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a?b＝a×b+|a|﹣b．
(1)計(jì)算（﹣5）?4的值；
(2)求[2?（﹣3）]?4的值；
(3)填空：3?（﹣6）______（﹣6）?3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【題型5 利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題】
【例5】（2023春·廣東深圳·七年級深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)?？计谥校┠吵鲎廛囇厝嗣衤窎|西方向行駛，如果把人民公園站臺記為0，向東行駛記為正，向西行駛記為負(fù)，這輛車從人民公園站臺出發(fā)以后行駛的路程如下表（單位：km）
(1)這輛車離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)是 千米；
(2)這輛車在上述過程中一共行駛了多少路程？
(3)若汽車耗油量為4升/千米，共耗油多少升？
【變式5-1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：
(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn) 輛；
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 輛；
(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
【變式5-2】（2023春·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如下表：
(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？
(2)這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量多或少了多少千克？
(3)大米的單價(jià)是每千克5.5元，食堂購進(jìn)大米總共花了多少錢？
【變式5-3】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）某水果超市最近新進(jìn)了一批百香果，每斤8元，為了合理定價(jià)，在第一周試行機(jī)動(dòng)價(jià)格，賣出時(shí)每斤以10元為標(biāo)準(zhǔn)，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負(fù)，超市記錄第一周百香果的售價(jià)情況和售出情況：
(1)第一周超市售出的百香果單價(jià)最高的是星期___________，最高單價(jià)是___________元；
(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數(shù)）？
(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：
方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售價(jià)10元；
為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計(jì)算說明哪種方式購買更省錢．
【知識點(diǎn) 有理數(shù)除法的法則】
①有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).
②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．
【題型6 巧用分配律進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】
【例6】（2013秋·七年級單元測試）用簡便方法計(jì)算：99989÷(?119)；
【變式6-1】（2023春·湖南郴州·七年級?？计谥校┖啽氵\(yùn)算：?16+34?112÷148．
【變式6-2】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：
(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;
(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.
【變式6-3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小剛在課外書中看到這樣一道有理數(shù)的混合運(yùn)算題：
計(jì)算：136÷14+112?718?136+14+112?718?136÷136
她發(fā)現(xiàn)，這個(gè)算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關(guān)系，利用這種關(guān)系，他順利地解答了這道題．
（1）前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？
（2）先計(jì)算哪步分比較簡便？并請計(jì)算比較簡便的那部分．
（3）利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果．
（4）根據(jù)以上分析，求出原式的結(jié)果．
【題型7 利用有理數(shù)的四則混合運(yùn)算解決實(shí)際問題】
【例7】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）有一個(gè)水庫某天8:00的水位為?0.1米（以警戒線為基準(zhǔn)，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個(gè)時(shí)刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：0.5，?0.8，0，?0.2，?0.3，0.4．
(1)經(jīng)這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？
(2)現(xiàn)在由于下暴雨，水庫水位以0.1米/小時(shí)速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現(xiàn)在水庫勻速泄水，可使靜態(tài)水位按0.2米/小時(shí)速度下降，為達(dá)到指揮部最低要求，求水庫需放水的時(shí)間．
【變式7-1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）明屹加油站周年慶，開展了加油每滿10L立返現(xiàn)金5元（不足10L不返現(xiàn)金）的活動(dòng)，出租車司機(jī)李師傅只在東西走向的路上開車接送乘客，他7:00從甲地出發(fā)（向東行駛的里程數(shù)記作正數(shù)），到8:00為止，他所行駛的里程記錄如下（單位：公里）
+4；?3；?6；+13；?10；?4；+5．
(1)計(jì)算到8:00時(shí)，李師傅在甲地的哪個(gè)方向，距甲地多遠(yuǎn)？
(2)求從7:00開始到8:00為止，李師傅距甲地的最遠(yuǎn)距離．
(3)若李師傅當(dāng)日工作至17:00為止，每小時(shí)行駛的里程相同，該車每百公里耗油8L，每升油7元，若李師傅今天出車時(shí)油箱是滿的，中間沒有加油，收工時(shí)想加滿油箱，則李師傅當(dāng)日在該加油站加油共花費(fèi)多少元？
【變式7-2】（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）2022年國慶節(jié)期間，若順德長鹿農(nóng)莊在9月30日的游客人數(shù)為3萬人，下表為7天假期中每天接待游客的人數(shù)與前一天相比的變化情況(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))：
(1)請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少萬人？
(2)與9月30日相比，10月7日客流量是上升了還是下降了？變化了多少？
(3)求這7天每天平均人數(shù)是多少萬人？
【變式7-3】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）為鼓勵(lì)人們節(jié)約用水，某市居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：用戶每月用水量在20噸及以內(nèi)的為第一級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格收取，超過20噸且不超過30噸的部分為第二級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格的1.5倍收取，超過30噸的部分為第三級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用水，小高記錄了1~7月份他家每月1號的水表讀數(shù)．（注：相鄰兩個(gè)月同一天的水表讀數(shù)之差為上一個(gè)月的用水量）
(1)填空：小高家1月份的用水量_______噸，1~6月平均每月用水量為_______噸．
(2)已知小高家2月份的水費(fèi)為36元，試求他家6月份需繳納水費(fèi)多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費(fèi)多少元？
【題型8 巧用倒數(shù)解有關(guān)有理數(shù)除法的問題】
【例8】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算50÷(13?14+112)．
解法一：原式＝50÷13?50÷14+50÷112=50×3?50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷(412?312+112)＝50÷212＝50×6＝300．
解法三：原式的倒數(shù)為(13?14+112)÷50
＝(13?14+112)×150=13×150?14×150+112×150=1300．
故原式＝300．
上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為解法______是錯(cuò)誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：
計(jì)算：(?142)÷(16?314+23?27)．
【變式8-1】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）閱讀下題的計(jì)算方法：
計(jì)算：?124÷23?34+78
分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．
解：23?34+78÷?124=23?34+78×(?24)=?16+18?21=?19
所以原式=?119
根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：?120÷?14?25+910?32
【變式8-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料，并解答問題：
材料一：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如ab和ba，即若設(shè)a:b=x，則b÷a=1x；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，請用簡便方法計(jì)算：(?160)÷(13?14+112).
【變式8-3】（2023春·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）利用倒數(shù)的意義完成計(jì)算：
?124÷?12+23?34
【題型9 運(yùn)用有理數(shù)的除法化簡分?jǐn)?shù)】
【例9】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：
（1）?217； （2）3?36； （3）?54?8； （4）?6?0.3．
【變式9-1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：（1）?72?8；（2）?130.2；（3）0.2?13．
【變式9-2】（2023春·河北唐山·七年級?？茧A段練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：（1）?26= ；（2）?6?24= ；（3）0?5= ；
【變式9-3】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：
(1) ?2?6 ; (2) ?3?9 ;
(3) 0?3 ; (4)- ?a?b .
【題型10 與有理數(shù)的混合運(yùn)算有關(guān)的分類討論問題】
【例10】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）a、b為任何非零有理數(shù)，則aa+bb+abab的可能取值是（ ）
A．?3或1B．3或1或?1C．1或3D．?1或3
【變式10-1】（2023春·湖北恩施·七年級?？计谥校┮阎猘、b、c均為非零有理數(shù)，且x＝a|a|+|b|b+|c|c?abc|abc|，根據(jù)a、b、c的不同取值，x的不同結(jié)果有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式10-2】（2023春·山東聊城·七年級校考期中）若ab≠0，則aa?bb的取值不可能是（ ）．
A．0B．1C．2D．?2
【變式10-3】（2023春·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知x1,x2,x3,???x20都是不等于0的有理數(shù)，若y1=x1x1，則y1等于1或?1；若y2=x1x1+x2x2，則y2等于2或?2或0；若y20=x1x1+x2x2+x3x3+???+x20x20，則y20所有可能等于的值的絕對值之和等于 ．
專題2.4 有理數(shù)的乘除【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22068" 【題型1 根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】 PAGEREF _Tc22068 \h 1
\l "_Tc26035" 【題型2 巧用分配律簡化運(yùn)算】 PAGEREF _Tc26035 \h 3
\l "_Tc1746" 【題型3 有理數(shù)的乘法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識的綜合】 PAGEREF _Tc1746 \h 6
\l "_Tc6032" 【題型4 關(guān)于有理數(shù)乘法的新定義問題】 PAGEREF _Tc6032 \h 8
\l "_Tc8242" 【題型5 利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc8242 \h 12
\l "_Tc20520" 【題型6 巧用分配律進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc20520 \h 16
\l "_Tc13153" 【題型7 利用有理數(shù)的四則混合運(yùn)算解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc13153 \h 18
\l "_Tc32344" 【題型8 巧用倒數(shù)解有關(guān)有理數(shù)除法的問題】 PAGEREF _Tc32344 \h 22
\l "_Tc5571" 【題型9 運(yùn)用有理數(shù)的除法化簡分?jǐn)?shù)】 PAGEREF _Tc5571 \h 24
\l "_Tc9216" 【題型10 與有理數(shù)的混合運(yùn)算有關(guān)的分類討論問題】 PAGEREF _Tc9216 \h 26
【知識點(diǎn)1 有理數(shù)乘法的法則】
①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．
②任何數(shù)同零相乘，都得0．
③多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)
時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．
乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)；若a≠0，則a的倒數(shù)是1a.
【題型1 根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】
【例1】（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如果a+b=a?b>0，ab0，b>0B．a(chǎn)>0，b0，bb>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（ ）
A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．0D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，判斷出a、c的正負(fù)，即可求解．
【詳解】解：∵a>b>c，且a+b+c=0，
∴a>0，c0、b>0B．a(chǎn)

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