TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13596" 【題型1 幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類(lèi)】 PAGEREF _Tc13596 \h 1
\l "_Tc26319" 【題型2 動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)、面、體】 PAGEREF _Tc26319 \h 3
\l "_Tc23243" 【題型3 立體圖形的計(jì)算】 PAGEREF _Tc23243 \h 4
\l "_Tc17229" 【題型4 幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)】 PAGEREF _Tc17229 \h 5
\l "_Tc23900" 【題型5 由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的面積或體積】 PAGEREF _Tc23900 \h 6
\l "_Tc29084" 【題型6 正方體幾種展開(kāi)圖的識(shí)別】 PAGEREF _Tc29084 \h 7
\l "_Tc13822" 【題型7 正方體相對(duì)兩面上的字】 PAGEREF _Tc13822 \h 8
\l "_Tc11300" 【題型8 含圖案的正方體的展開(kāi)圖】 PAGEREF _Tc11300 \h 9
\l "_Tc27587" 【題型9 判斷立體圖形的截面形狀】 PAGEREF _Tc27587 \h 10
\l "_Tc17120" 【題型10 求立體圖形的截面面積】 PAGEREF _Tc17120 \h 11
【知識(shí)點(diǎn)1 立體圖形的認(rèn)識(shí)】
1.有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形．
立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類(lèi)，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒(méi)有曲面：棱柱、棱錐等.
2.棱柱的有關(guān)概念及其特征:
①在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.
②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條棱，n條側(cè)棱，有n+2個(gè)面，n個(gè)側(cè)面.
【題型1 幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類(lèi)】
【例1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列幾何體中，與其他幾個(gè)不同類(lèi)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法:①棱柱的側(cè)面是長(zhǎng)方形;②棱柱的側(cè)面可能是三角形;③正方體的所有棱長(zhǎng)都相等;④棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等.其中正確的有_____.(填序號(hào))
【變式1-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）用線(xiàn)把實(shí)物圖與相應(yīng)的幾何圖形連接起來(lái)．

【變式1-3】（2023春·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐
新年晚會(huì)是我們最歡樂(lè)的時(shí)候，會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見(jiàn)的一些多面體：
操作探究：
(1)通過(guò)數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E），填寫(xiě)下表中空缺的部分：
通過(guò)填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是 ，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式．我們把它稱(chēng)為歐拉公式；
探究應(yīng)用：
(2)已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是 棱柱；
(3)已知一個(gè)多面體只有8個(gè)頂點(diǎn)，并且過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)．
【知識(shí)點(diǎn)2 點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系】
①體與體相交成面，面與面相交成線(xiàn)，線(xiàn)與線(xiàn)相交成點(diǎn)．
②點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體．
③點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界．
【題型2 動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)、面、體】
【例2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）哥哥花瓶的表面可以看作由哪個(gè)平面圖形繞虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而得到？用線(xiàn)連一連．
【變式2-1】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）幾何圖形都是由點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成，點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體．下列生活現(xiàn)象中，可以反映“面動(dòng)成體”的是（ ）
A．打開(kāi)折扇B．流星劃過(guò)夜空C．旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)D．汽車(chē)雨刷轉(zhuǎn)動(dòng)
【變式2-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）“筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫(xiě)出數(shù)字9”運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象為（ ）
A．點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)B．線(xiàn)動(dòng)成面
C．面動(dòng)成體D．面與面相交得線(xiàn)
【變式2-3】（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）飛機(jī)表演“飛機(jī)拉線(xiàn)”時(shí)，我們用數(shù)學(xué)的知識(shí)可解釋為點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn).用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋下列現(xiàn)象：
(1)流星從空中劃過(guò)留下的痕跡可解釋為_(kāi)_____；
(2)自行車(chē)的輻條運(yùn)動(dòng)可解釋為_(kāi)____；
(3)一只螞蟻行走的路線(xiàn)可解釋為_(kāi)____；
(4)打開(kāi)折扇得到扇面可解釋為_(kāi)____；
(5)一個(gè)圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為_(kāi)___.
【題型3 立體圖形的計(jì)算】
【例3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）直角三角形的兩直角邊分別為8cm、6cm，以其中一條直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是多少？（結(jié)果保留π）
【變式3-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到一個(gè)如圖的零件，求：
(1)這個(gè)零件的表面積（包括底面）；
(2)這個(gè)零件的體積．
【變式3-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，以直線(xiàn)AB為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_(kāi)_cm3．（結(jié)果保留π）
【變式3-3】（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，由直角三角形和正方形拼成的四邊形．
(1)將這個(gè)四邊形繞圖中虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形，這能說(shuō)明的事實(shí)是 （選擇正確的一項(xiàng)序號(hào)）①點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；②線(xiàn)動(dòng)成面；③面動(dòng)成體．
(2)求得到的立體圖形的體積．（V圓柱=πr2?，V圓錐=13πr2?，r為圓柱和圓錐底面半徑，h為圓柱和圓錐的高，結(jié)果保留π）
【題型4 幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)】
【例4】（2023?南開(kāi)區(qū)七年級(jí)期末）下列圖形中，是長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）下列圖形中，為棱錐側(cè)面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某幾何體的平面展開(kāi)圖，則該幾何體是（ ）
A．圓錐B．圓柱C．三棱柱D．長(zhǎng)方體
【變式4-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，六個(gè)平面圖形中，有圓柱、圓錐、三棱柱（它的底面是三邊相等的三角形）的表面展開(kāi)圖，請(qǐng)你把立體圖形與它的表面展開(kāi)圖用線(xiàn)連起來(lái)（不考慮尺寸）．

【題型5 由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的面積或體積】
【例5】（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖：
(1)請(qǐng)說(shuō)出該幾何體的名稱(chēng)；
(2)求該幾何體的表面積；
(3)求該幾何體的體積．
【變式5-1】（2023春·廣東茂名·七年級(jí)信宜市第二中學(xué)校考期中）如圖，是某幾何體的表面展開(kāi)圖
(1)指出這個(gè)幾何體的名稱(chēng)；
(2)求這個(gè)幾何體的體積．(結(jié)果保留π)
【變式5-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖．
（1）該幾何體是________；
A．正方體 B．長(zhǎng)方體 C．三棱柱 D．四棱錐
（2）求該幾何體的體積．
【變式5-3】（2023·湖北黃岡·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的長(zhǎng)方形，則其底面圓的面積為( )
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
【知識(shí)點(diǎn)3 正方體的平面展開(kāi)圖】
正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表面展開(kāi)，可以得到11種不同的展開(kāi)圖，把它歸為四類(lèi)：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.
正方體展開(kāi)圖口訣：
①一線(xiàn)不過(guò)四;田凹應(yīng)棄之；
②找相對(duì)面：相間，“Z”端是對(duì)面；
③找鄰面：間二，拐角鄰面知.
【題型6 正方體幾種展開(kāi)圖的識(shí)別】
【例6】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中七年級(jí)期末）下列圖形中，不是正方體的平面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項(xiàng)中，不能作為紙盒剩余部分的展開(kāi)圖的是（ ）

A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子展開(kāi)成平面圖形的過(guò)程中，需要剪開(kāi)的棱的條數(shù)是（ ）

A．2條B．3條C．4條D．5條
【題型7 正方體相對(duì)兩面上的字】
【例7】（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有同樣大小的三個(gè)立方體骰子，每個(gè)骰子的展開(kāi)圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個(gè)骰子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點(diǎn)數(shù)之和最大是_______．

【變式7-1】（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后，“孝”字一面相對(duì)面上的字是（ ）

A．和B．諧C．美D．麗
【變式7-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別寫(xiě)著六個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且每個(gè)相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和都相等，圖中所能看到的數(shù)是20，23和24，求這六個(gè)正整數(shù)的和．
【變式7-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）請(qǐng)根據(jù)圖中（1）（2）兩圖所示的數(shù)字，在圖（3）的空格中應(yīng)如何填數(shù)字．

【題型8 含圖案的正方體的展開(kāi)圖】
【例8】（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，正方體的展開(kāi)圖為( )

B．
C． D．
【變式8-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)小正方體按圖中所示的方式展開(kāi)，則在展開(kāi)圖中表示棱a的線(xiàn)段可以是（ ）
A．線(xiàn)段CDB．線(xiàn)段EFC．線(xiàn)段ADD．線(xiàn)段BC
【變式8-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體紙盒的底面和側(cè)面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展開(kāi)得到的表面展開(kāi)圖的是_________．（填序號(hào)）
【變式8-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的表面展開(kāi)圖，折疊成正方體后，其中哪兩個(gè)完全相同_____．
【題型9 判斷立體圖形的截面形狀】
【例9】（2023春·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┫铝辛Ⅲw圖形中，可能被一個(gè)平面截出的截面是長(zhǎng)方形的是（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．用一個(gè)平面去截正方體，截面可能是七邊形
B．用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面一定是圓
C．棱柱的截面不可能是圓
D．用一個(gè)平面去截圓錐，截面可能是圓
【變式9-2】（2023春·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┰谝粋€(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（ ）
A．圓面B．矩形面C．梯形面D．橢圓面或部分橢圓面
【變式9-3】（2023春·七年級(jí)揭陽(yáng)月考）如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過(guò)程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（ ）
A．三角形B．正方形C．六邊形D．七邊形
【題型10 求立體圖形的截面面積】
【例10】（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為4cm，寬為3cm的長(zhǎng)方形紙片，將該長(zhǎng)方形紙片繞一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿與AB平行的方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積（結(jié)果保留π）．

【變式10-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB為10 cm，寬AD為6 cm，把長(zhǎng)方形ABCD繞AB邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿AB方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積．
【變式10-2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓柱的底面半徑是5cm，高是14cm，把這個(gè)圓柱放在水平桌面上，如圖．
(1)如果用一個(gè)平面沿水平方向去截這個(gè)圓柱，所得截面的形狀是 ；
(2)如果用一個(gè)平面沿豎直方向去截這個(gè)圓柱，所得截面的形狀是 ；
(3)請(qǐng)你求出在（2）的條件下所截得的最大截面面積．
【變式10-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）我們知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等邊三角形，如圖，大正三棱柱的高為10，截取一個(gè)底面周長(zhǎng)為3的小正三棱柱．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出截面的形狀；
(2)請(qǐng)計(jì)算截面的面積．
專(zhuān)題5.1 幾何圖形【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16621" 【題型1 幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類(lèi)】 PAGEREF _Tc16621 \h 1
\l "_Tc32532" 【題型2 動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)、面、體】 PAGEREF _Tc32532 \h 5
\l "_Tc30749" 【題型3 立體圖形的計(jì)算】 PAGEREF _Tc30749 \h 7
\l "_Tc27956" 【題型4 幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)】 PAGEREF _Tc27956 \h 9
\l "_Tc15687" 【題型5 由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的面積或體積】 PAGEREF _Tc15687 \h 11
\l "_Tc3899" 【題型6 正方體幾種展開(kāi)圖的識(shí)別】 PAGEREF _Tc3899 \h 14
\l "_Tc8776" 【題型7 正方體相對(duì)兩面上的字】 PAGEREF _Tc8776 \h 16
\l "_Tc8215" 【題型8 含圖案的正方體的展開(kāi)圖】 PAGEREF _Tc8215 \h 18
\l "_Tc19639" 【題型9 判斷立體圖形的截面形狀】 PAGEREF _Tc19639 \h 21
\l "_Tc13276" 【題型10 求立體圖形的截面面積】 PAGEREF _Tc13276 \h 23
【知識(shí)點(diǎn)1 立體圖形的認(rèn)識(shí)】
1.有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形．
立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類(lèi)，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒(méi)有曲面：棱柱、棱錐等.
2.棱柱的有關(guān)概念及其特征:
①在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.
②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條棱，n條側(cè)棱，有n+2個(gè)面，n個(gè)側(cè)面.
【題型1 幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類(lèi)】
【例1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列幾何體中，與其他幾個(gè)不同類(lèi)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)棱柱和圓柱的概念進(jìn)行區(qū)分即可．
【詳解】A、B、D屬于棱柱，C屬于圓柱．
C．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的概念，柱體分為棱柱和圓柱，棱柱所有的側(cè)棱都相等，圓柱沒(méi)有側(cè)棱，解題的關(guān)鍵是弄清概念．
【變式1-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法:①棱柱的側(cè)面是長(zhǎng)方形;②棱柱的側(cè)面可能是三角形;③正方體的所有棱長(zhǎng)都相等;④棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等.其中正確的有_____.(填序號(hào))
【答案】③④
【分析】要根據(jù)各種幾何體的特點(diǎn)進(jìn)行判斷．
【詳解】①當(dāng)棱柱是側(cè)棱柱時(shí),側(cè)面是平行四邊形,不一定是長(zhǎng)方形,因是錯(cuò)誤的;
②棱柱的側(cè)面是平行四邊形,棱錐的側(cè)面是三角形,所以是錯(cuò)誤的;
③正方體的所有棱長(zhǎng)都相等,故是正確的;
④無(wú)論是正棱柱與側(cè)棱柱,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,所以是正確的;故正確的序號(hào)是:③④.
故答案為③④.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是認(rèn)識(shí)立體圖形，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握各種棱柱的特點(diǎn)．
【變式1-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）用線(xiàn)把實(shí)物圖與相應(yīng)的幾何圖形連接起來(lái)．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)立體圖形的相關(guān)概念連線(xiàn)即可．
【詳解】解：連線(xiàn)如圖所示：．

【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形的識(shí)別，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別立體圖形．
【變式1-3】（2023春·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐
新年晚會(huì)是我們最歡樂(lè)的時(shí)候，會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見(jiàn)的一些多面體：
操作探究：
(1)通過(guò)數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E），填寫(xiě)下表中空缺的部分：
通過(guò)填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是 ，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式．我們把它稱(chēng)為歐拉公式；
探究應(yīng)用：
(2)已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是 棱柱；
(3)已知一個(gè)多面體只有8個(gè)頂點(diǎn)，并且過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)．
【答案】(1)表見(jiàn)解析，V+F?E=2
(2)五
(3)6
【分析】（1）通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)?2；
（2）根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行解答即可；
（3）由（1）得出的規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：填表如下：
頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是V+F?E=2，
故答案為：V+F?E=2；
（2）解：∵一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，必有2個(gè)底面，
∴有7?2=5個(gè)側(cè)面，
∴這個(gè)棱柱是五棱柱，
故答案為：五；
（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為8×32=12（條），
由V+F?E=2可得8+F?12=2,
解得：F=6，
故該多面體的面數(shù)為6．
【點(diǎn)睛】本題考查了多面體與棱柱的認(rèn)識(shí)，點(diǎn)線(xiàn)面體的相關(guān)概念，正確看出圖形中各量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系】
①體與體相交成面，面與面相交成線(xiàn)，線(xiàn)與線(xiàn)相交成點(diǎn)．
②點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體．
③點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界．
【題型2 動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)、面、體】
【例2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）哥哥花瓶的表面可以看作由哪個(gè)平面圖形繞虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而得到？用線(xiàn)連一連．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)“面動(dòng)成體”的原理，結(jié)合圖形特征進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，判斷出旋轉(zhuǎn)后的立體圖形即可．
【詳解】解：如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是點(diǎn)、線(xiàn)、面、體、認(rèn)識(shí)幾何體，根據(jù)平面圖形的特點(diǎn)，判斷出旋轉(zhuǎn)后的結(jié)合體的形狀是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）幾何圖形都是由點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成，點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體．下列生活現(xiàn)象中，可以反映“面動(dòng)成體”的是（ ）
A．打開(kāi)折扇B．流星劃過(guò)夜空C．旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)D．汽車(chē)雨刷轉(zhuǎn)動(dòng)
【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】A、打開(kāi)折扇是“線(xiàn)動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意；
B、流星劃過(guò)夜空是“點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)”，故本選項(xiàng)符合題意；
C、旋轉(zhuǎn)門(mén)的旋轉(zhuǎn)是“面動(dòng)成體”，故本選項(xiàng)符合題意；
D、汽車(chē)雨刷的轉(zhuǎn)動(dòng)是“線(xiàn)動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意；
C．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的知識(shí)，主要是考查學(xué)生立體圖形的空間想象能力及分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．
【變式2-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）“筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫(xiě)出數(shù)字9”運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象為（ ）
A．點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)B．線(xiàn)動(dòng)成面
C．面動(dòng)成體D．面與面相交得線(xiàn)
【答案】A
【分析】這一現(xiàn)象為：點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)．
【詳解】解：筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫(xiě)出數(shù)字9，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線(xiàn)，面，體之間的關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體，是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）飛機(jī)表演“飛機(jī)拉線(xiàn)”時(shí)，我們用數(shù)學(xué)的知識(shí)可解釋為點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn).用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋下列現(xiàn)象：
(1)流星從空中劃過(guò)留下的痕跡可解釋為_(kāi)_____；
(2)自行車(chē)的輻條運(yùn)動(dòng)可解釋為_(kāi)____；
(3)一只螞蟻行走的路線(xiàn)可解釋為_(kāi)____；
(4)打開(kāi)折扇得到扇面可解釋為_(kāi)____；
(5)一個(gè)圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為_(kāi)___.
【答案】(1)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；
(2)線(xiàn)動(dòng)成面；
(3)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；
(4)線(xiàn)動(dòng)成面；
(5)面動(dòng)成體．
【分析】根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)面體之間的關(guān)系為：點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體的規(guī)律來(lái)解答即可．
【詳解】（1）解：流行是點(diǎn)，光線(xiàn)是線(xiàn)，流星劃出一條長(zhǎng)線(xiàn)，所以流星從空中劃過(guò)留下的痕跡可解釋為點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；
（2）解：自行車(chē)的輻條是線(xiàn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成面，所以自行車(chē)的輻條運(yùn)動(dòng)可解釋為線(xiàn)動(dòng)成面；
（3）解：螞蟻可看做是點(diǎn)，行走的路線(xiàn)是線(xiàn)，所以一只螞蟻行走的路線(xiàn)可解釋為點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；
（4）解：折扇合起來(lái)時(shí)是一條線(xiàn)，打開(kāi)折扇得到扇面可解釋為線(xiàn)動(dòng)成面；
（5）解：一個(gè)圓是面，球是立體圖形，一個(gè)圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為面動(dòng)成體.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，關(guān)鍵是掌握四者之間的關(guān)系．
【題型3 立體圖形的計(jì)算】
【例3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）直角三角形的兩直角邊分別為8cm、6cm，以其中一條直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是多少？（結(jié)果保留π）
【答案】96πcm3或128πcm3．
【分析】分兩種情況討論：①以8cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)；②以6cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體為圓錐，再利用圓錐的體積公式即可得到答案．
【詳解】解：①以8cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的是一個(gè)底面半徑為6cm，高為8cm的圓錐，
體積是：13π×62×8=96πcm3，
②以6cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的是一個(gè)底面半徑為8cm，高為6cm的圓錐，
體積是：13π×82×6=128πcm3，
答：繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是96πcm3或128πcm3．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，圓錐的體積公式，解題關(guān)鍵是理解點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，熟記圓錐體積公式．
【變式3-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到一個(gè)如圖的零件，求：
(1)這個(gè)零件的表面積（包括底面）；
(2)這個(gè)零件的體積．
【答案】（1）24；（2）7.
【詳解】試題分析：本題考查整體的思想及簡(jiǎn)單幾何體表面積的計(jì)算能力．從正方體毛坯一角挖去一個(gè)小正方體得到的零件的表面積等于原正方體表面積；
這個(gè)零件的體積為原正方體的體積減去挖去的小正方體的體積．
試題解析：解：（1）挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到的圖形與原圖形表面積相等，則表面積是2×2×6=24，答：這個(gè)零件的表面積為24；
（2）23﹣13=8﹣1=7．
答：這個(gè)零件的體積為7．
點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的表面積與體積，（1）可以有多種解決方法，一種是把每個(gè)面的面積計(jì)算出來(lái)然后相加，這樣比較麻煩，另一種算法就是解答中的這種，這種方法的關(guān)鍵是能想象出得到的圖形與原圖形表面積相等．
【變式3-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，以直線(xiàn)AB為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_(kāi)_cm3．（結(jié)果保留π）
【答案】27π
【詳解】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，以直線(xiàn)AB為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，
所得幾何體為底面半徑為3，高為3的圓柱體，
該圓柱體的體積為：π×32×3=27πcm3．
故答案為：27π．
【變式3-3】（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，由直角三角形和正方形拼成的四邊形．
(1)將這個(gè)四邊形繞圖中虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形，這能說(shuō)明的事實(shí)是 （選擇正確的一項(xiàng)序號(hào)）①點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；②線(xiàn)動(dòng)成面；③面動(dòng)成體．
(2)求得到的立體圖形的體積．（V圓柱=πr2?，V圓錐=13πr2?，r為圓柱和圓錐底面半徑，h為圓柱和圓錐的高，結(jié)果保留π）
【答案】(1)③
(2)39π
【分析】（1）由四邊形繞圖中虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形可知是面動(dòng)成體；
（2）分別求出圓柱體和圓錐體的體積，作差即可
【詳解】（1）∵四邊形是平面圖形，繞圖中虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形
∴是面動(dòng)成體
故選③
（2）∵V圓柱=πr2?=π×32×5=45π
V圓錐=13πr2?=13×π×32×2=6π
∴V=V圓柱?V圓錐=45π?6π=39π
【點(diǎn)睛】本題考查面動(dòng)成體，圓柱和圓錐的體積公式，記憶理解公式是解題的關(guān)鍵
【題型4 幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)】
【例4】（2023?南開(kāi)區(qū)七年級(jí)期末）下列圖形中，是長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體有六個(gè)面，以及Z字型進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A中展開(kāi)圖有7個(gè)面，不符合要求；
B中展開(kāi)圖無(wú)法還原成長(zhǎng)方體，不符合要求；
C正確，故符合要求；
D中展開(kāi)圖有5個(gè)面，不符合要求，
C．
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．
【變式4-1】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）下列圖形中，為棱錐側(cè)面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的特征可知答案．
【詳解】棱錐的側(cè)面是三角形．
B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，熟記常見(jiàn)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖和側(cè)面的特征是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某幾何體的平面展開(kāi)圖，則該幾何體是（ ）
A．圓錐B．圓柱C．三棱柱D．長(zhǎng)方體
【答案】B
【分析】由平面圖形的折疊及三棱柱的展開(kāi)圖的特征作答．
【詳解】解：由側(cè)面是3個(gè)矩形，上下為2個(gè)三角形，可得該幾何體為三棱柱．
C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖，熟記常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖的特征是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，六個(gè)平面圖形中，有圓柱、圓錐、三棱柱（它的底面是三邊相等的三角形）的表面展開(kāi)圖，請(qǐng)你把立體圖形與它的表面展開(kāi)圖用線(xiàn)連起來(lái)（不考慮尺寸）．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)立體圖形的平面展開(kāi)圖求解即可．
【詳解】解：如圖，

【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的平面展開(kāi)圖，培養(yǎng)空間想象力是解題關(guān)鍵．
【題型5 由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的面積或體積】
【例5】（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖：
(1)請(qǐng)說(shuō)出該幾何體的名稱(chēng)；
(2)求該幾何體的表面積；
(3)求該幾何體的體積．
【答案】(1)長(zhǎng)方體
(2)22平方米
(3)6立方米
【分析】（1）根據(jù)幾何體的展開(kāi)圖可知，該幾何體為長(zhǎng)方體；
（2）求出各個(gè)面的面積，然后相加即可；
（3）根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式求出體積即可．
【詳解】（1）解：該幾何體展開(kāi)圖中六個(gè)面均為長(zhǎng)方形，因此該幾何體為長(zhǎng)方體．
（2）解：3×1×2+3×2×2+2×1×2=22（平方米），
答：該幾何體的表面積為22平方米．
（3）解：3×2×1=6（平方米），
答：該幾何體的體積為6立方米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，求長(zhǎng)方體的表面積和體積，解題的關(guān)鍵是熟記長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖．
【變式5-1】（2023春·廣東茂名·七年級(jí)信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是某幾何體的表面展開(kāi)圖
(1)指出這個(gè)幾何體的名稱(chēng)；
(2)求這個(gè)幾何體的體積．(結(jié)果保留π)
【答案】(1)圓柱體
(2)4000πcm3
【分析】（1）根據(jù)圓柱體的展開(kāi)圖解答；
（2）求出圓柱的底面半徑，然后利用圓柱的體積公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得∶這個(gè)幾何體是圓柱體；
（2）解：由圖可知，圓柱的底面圓的半徑是20÷2=10cm，
體積=π×102×40=4000πcm3．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，解題的關(guān)鍵是主要利用了圓柱體的展開(kāi)圖和體積公式．
【變式5-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖．
（1）該幾何體是________；
A．正方體 B．長(zhǎng)方體 C．三棱柱 D．四棱錐
（2）求該幾何體的體積．
【答案】（1）C；（2）4
【分析】（1）本題根據(jù)展開(kāi)圖可直接得出答案．
（2）本題根據(jù)體積等于底面積乘高求解即可．
【詳解】（1）本題可根據(jù)展開(kāi)圖中兩個(gè)全等的等腰直角三角形，以此判定該幾何體為三棱柱，故選C．
（2）由圖已知：該幾何體底面積為等腰三角形面積=12×2×2=2；該幾何體的高為2；
故該幾何體體積=底面積×高=2×2=4．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體展開(kāi)圖以及體積求法，根據(jù)展開(kāi)圖推測(cè)幾何體時(shí)需要以展開(kāi)圖的特征位置作為推測(cè)依據(jù)，求解體積或者面積時(shí)按照公式求解即可．
【變式5-3】（2023·湖北黃岡·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的長(zhǎng)方形，則其底面圓的面積為( )
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
【答案】B
【分析】分底面周長(zhǎng)為4π和2π兩種情況討論，先求得底面半徑，再根據(jù)圓的面積公式即可求解：
【詳解】解:①底面周長(zhǎng)為4π時(shí)，半徑為4π÷π÷2=2，底面圓的面積為π×22=4π；
②底面周長(zhǎng)為2π時(shí)，半徑為2π÷π÷2=1，底面圓的面積為π×12=π．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了求圓柱展圖的底面半徑，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)3 正方體的平面展開(kāi)圖】
正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表面展開(kāi)，可以得到11種不同的展開(kāi)圖，把它歸為四類(lèi)：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.
正方體展開(kāi)圖口訣：
①一線(xiàn)不過(guò)四;田凹應(yīng)棄之；
②找相對(duì)面：相間，“Z”端是對(duì)面；
③找鄰面：間二，拐角鄰面知.
【題型6 正方體幾種展開(kāi)圖的識(shí)別】
【例6】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中七年級(jí)期末）下列圖形中，不是正方體的平面展開(kāi)圖的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖對(duì)本題進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)正方體的十一種展開(kāi)圖可知，B選項(xiàng)不能折成正方體，
B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方體的展開(kāi)圖，熟記十一種模型規(guī)律，以及不能折疊的“凹”，“田”兩種特殊形態(tài)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P，Q是一正方體展開(kāi)圖上的兩個(gè)頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)P，Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖直接判斷即可得到答案；
【詳解】解：由圖像可得，
P，Q在相對(duì)的兩面，且與相鄰正方形頂點(diǎn)重合，故P，Q在同一條棱上，
故選C；
【點(diǎn)睛】本題考查正方體展開(kāi)圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握展開(kāi)圖的相對(duì)相鄰面及相鄰棱之間的關(guān)系．
【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項(xiàng)中，不能作為紙盒剩余部分的展開(kāi)圖的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖的特征，由條件結(jié)合圖形驗(yàn)證是否能拼成正方體，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征可知：
A.圖形是中間四個(gè)連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以A選項(xiàng)正確；
B.圖形是二三相連錯(cuò)一個(gè)，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以B選項(xiàng)正確；
C.圖形是三個(gè)兩排一對(duì)齊，不符合正方體的展開(kāi)圖，無(wú)法拼成正方體，所以C選項(xiàng)不正確；
D.圖形是兩兩相連各錯(cuò)一的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以D選項(xiàng)正確；
C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體展開(kāi)圖的特征，熟練掌握正方體展開(kāi)圖的各種形式，是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子展開(kāi)成平面圖形的過(guò)程中，需要剪開(kāi)的棱的條數(shù)是（ ）

A．2條B．3條C．4條D．5條
【答案】B
【分析】根據(jù)無(wú)蓋正方體的棱的條數(shù)及展開(kāi)圖之間的棱計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
無(wú)蓋正方體連接相鄰面的棱：8條，
展開(kāi)圖連接相鄰面的棱：4條，
8?4=4，
∴要剪開(kāi)4條棱，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正方體的棱及展開(kāi)圖棱的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得到兩個(gè)棱的數(shù)量．
【題型7 正方體相對(duì)兩面上的字】
【例7】（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有同樣大小的三個(gè)立方體骰子，每個(gè)骰子的展開(kāi)圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個(gè)骰子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點(diǎn)數(shù)之和最大是_______．

【答案】51
【分析】觀(guān)察圖形可知，1和6相對(duì)、2和5相對(duì)，3和4相對(duì)；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最大，則把第一個(gè)正方體的數(shù)字1的面與第二個(gè)正方體的數(shù)字2的面相連，把數(shù)字2的面放在下面，則第一個(gè)圖形露出的數(shù)字分別是3、4、5、6；第二個(gè)正方體的數(shù)字1面與第三個(gè)正方體的數(shù)字1的面相連，數(shù)字3的面放在下面，則第二個(gè)正方體露在外面的數(shù)字是4、5、6，第三個(gè)正方體露在外面的數(shù)字就是3、4、5、6，據(jù)此可得能看得到的點(diǎn)數(shù)之和最大值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：露在外面的數(shù)字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
故答案為：51．
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力，也可動(dòng)手制作一個(gè)正方體，根據(jù)題意在各個(gè)面上標(biāo)上數(shù)字，再確定對(duì)面上的數(shù)字，可以培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和空間想象能力．
【變式7-1】（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后，“孝”字一面相對(duì)面上的字是（ ）

A．和B．諧C．美D．麗
【答案】A
【分析】利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題．
【詳解】解：這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，共有六個(gè)面，
其中有“和”字的一面相對(duì)面上的字是“義”，
“孝”字的一面相對(duì)面上的字是“麗”，
“諧”字的一面相對(duì)面上的字是“美”．
D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題．
【變式7-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別寫(xiě)著六個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且每個(gè)相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和都相等，圖中所能看到的數(shù)是20，23和24，求這六個(gè)正整數(shù)的和．
【答案】135
【分析】根據(jù)六個(gè)面上的數(shù)是連續(xù)整數(shù)可得另外三個(gè)面上的數(shù)有兩個(gè)是21，22，再根據(jù)已知數(shù)有23，24可知另一個(gè)數(shù)不可能是19，只能是25，然后求解即可．
【詳解】解：∵六個(gè)面上分別寫(xiě)著六個(gè)連續(xù)的整數(shù)，
∴看不見(jiàn)的三個(gè)面上的數(shù)必定有21，22，
若另一個(gè)面上數(shù)是19，則23與20是相對(duì)面，
所以，另一面上的數(shù)是25，
此時(shí)20與25相對(duì)，
21與24相對(duì)，
22與23相對(duì)，
所以，這六個(gè)正整數(shù)的和為3×(20+25)=135．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題，難點(diǎn)在于確定出看不見(jiàn)的三個(gè)面中有一個(gè)是25．
【變式7-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）請(qǐng)根據(jù)圖中（1）（2）兩圖所示的數(shù)字，在圖（3）的空格中應(yīng)如何填數(shù)字．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)圖（3）判斷出4與9是相對(duì)面，根據(jù)（1）（2）判斷出5、6是相對(duì)面，再根據(jù)圖（2）8在前面時(shí)，6在上面，4在左面判斷出7在4的左邊，8在4的右邊，然后填寫(xiě)即可．
【詳解】解：如圖所示．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)面上的文字，難點(diǎn)在于判斷出7、8的位置．
【題型8 含圖案的正方體的展開(kāi)圖】
【例8】（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，正方體的展開(kāi)圖為( )

B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)與折疊，正方體展開(kāi)圖的形狀進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的“相對(duì)的面”的判斷方法可知，
“＜”與“等號(hào)”不是相對(duì)的面，故選項(xiàng)B不合題意；
“當(dāng)“圓圈”在前面時(shí)，“等號(hào)”在右面時(shí)，上面的“不等號(hào)”的方向與題意不一致，故選項(xiàng)C不合題意；
“等號(hào)”方向與“圓圈”與題意不一致，故選項(xiàng)D不合題意；
通過(guò)折疊可得，選項(xiàng)A符合題意．
A．
【點(diǎn)睛】題考查幾何體的展開(kāi)圖，掌握正方體展開(kāi)圖的特征是正確判斷的前提．
【變式8-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)小正方體按圖中所示的方式展開(kāi)，則在展開(kāi)圖中表示棱a的線(xiàn)段可以是（ ）
A．線(xiàn)段CDB．線(xiàn)段EFC．線(xiàn)段ADD．線(xiàn)段BC
【答案】B
【分析】將原圖復(fù)原找出對(duì)應(yīng)邊．
【詳解】解：在正方體中，陰影三角形面的對(duì)面為面ABCD，
邊a對(duì)應(yīng)的邊為邊AD．
C．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的展開(kāi)圖，解題關(guān)鍵是具備一定的空間想象力．
【變式8-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體紙盒的底面和側(cè)面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展開(kāi)得到的表面展開(kāi)圖的是_________．（填序號(hào)）
【答案】②③④
【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖的特點(diǎn)找出下底面和上底面，再根據(jù)涂有黑色漆的部分作出選擇即可．
【詳解】解：正方體紙盒的底面和側(cè)面的下半部分涂有黑色漆，將它展開(kāi)得到的表面展開(kāi)圖如下：
則不是由正方體紙盒展開(kāi)得到的表面展開(kāi)圖的是②③④，
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，熟練掌握正方體展開(kāi)圖的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的表面展開(kāi)圖，折疊成正方體后，其中哪兩個(gè)完全相同_____．
【答案】（2）（4）．
【分析】首先確定每個(gè)圖形的對(duì)面是誰(shuí)，然后再找同一個(gè)基準(zhǔn)圖形，將其周?chē)膫€(gè)圖案按照順時(shí)針或逆時(shí)針的順序排列，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其不同，從而找到答案．
【詳解】解：∵（1）菱形對(duì)面是×，正方形對(duì)面是※，+對(duì)面是○；
（2）菱形對(duì)面是×，○對(duì)面是※，+對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；
（3）菱形對(duì)面是×，○對(duì)面是※，+對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；
（4）菱形對(duì)面是×，○對(duì)面是※，+對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．
∴兩個(gè)完全相同的是（2）（4）．
故答案為：（2）（4）．
【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的展開(kāi)圖．培養(yǎng)了學(xué)生的立體思維與空間想象能力，注意找同一個(gè)基準(zhǔn)圖形，再將其周?chē)膫€(gè)圖案按照順時(shí)針或逆時(shí)針順序排列．
【題型9 判斷立體圖形的截面形狀】
【例9】（2023春·山西晉城·七年級(jí)校考期末）下列立體圖形中，可能被一個(gè)平面截出的截面是長(zhǎng)方形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)幾何體截面的概念求解即可．
【詳解】解：由題意可得，可能被一個(gè)平面截出的截面是長(zhǎng)方形的是圓柱體，
D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何體截面的形狀，截面的形狀既與被截幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．認(rèn)真觀(guān)察圖中的截面是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．用一個(gè)平面去截正方體，截面可能是七邊形
B．用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面一定是圓
C．棱柱的截面不可能是圓
D．用一個(gè)平面去截圓錐，截面可能是圓
【答案】A
【分析】根據(jù)用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體得到的面叫作幾何體的截面，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、用一個(gè)平面去截正方體，截面不可能是七邊形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
B、用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面一定是圓，原說(shuō)法正確，不符合題意；
C、棱柱的截面不可能是圓，原說(shuō)法正確，不符合題意；
D、用一個(gè)平面去截圓錐，截面可能是圓，原說(shuō)法正確，不符合題意；
A．
【點(diǎn)睛】本題考查了截面的性質(zhì)，截面的形狀與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，最好是動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，從中學(xué)會(huì)分析和歸納的思想方法．
【變式9-2】（2023春·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┰谝粋€(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（ ）
A．圓面B．矩形面C．梯形面D．橢圓面或部分橢圓面
【答案】B
【分析】對(duì)不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，液面形狀為圓形，故選項(xiàng)A不符合題意；
當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，液面為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
無(wú)論圓柱桶怎樣放置，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出梯形面，故選項(xiàng)C符合題意；
當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過(guò)底面，則液面為橢圓的一部分，若液面不經(jīng)過(guò)底面，則液面為橢圓，故選項(xiàng)D不符合題意．
C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征．關(guān)鍵是理解用平面去截圓柱體，所得到截面.
【變式9-3】（2023春·七年級(jí)揭陽(yáng)月考）如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過(guò)程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（ ）
A．三角形B．正方形C．六邊形D．七邊形
【答案】A
【分析】正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，因此截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，即可得到答案；
【詳解】解：∵正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，
∴截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面相交等到線(xiàn)．
【題型10 求立體圖形的截面面積】
【例10】（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為4cm，寬為3cm的長(zhǎng)方形紙片，將該長(zhǎng)方形紙片繞一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿與AB平行的方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積（結(jié)果保留π）．

【答案】9πcm2
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD繞直線(xiàn)AD或AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱體，分別計(jì)算沿線(xiàn)段AB的平行方向截所得的幾何體截面面積，再比較，取最大的即可．
【詳解】解：由題意可得，把長(zhǎng)方形ABCD繞AD邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，
圓柱的底面半徑為3cm，高為4cm，
用平面沿與AB平行的方向去截所得的幾何體，截面是圓，
所以截面的最大面積為32×π=9π(cm2)；
由題可得，把長(zhǎng)方形ABCD繞AB邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，
圓柱的底面半徑為4cm，高為3cm，
用平面沿與AB垂直的方向去截所得的幾何體，截面是長(zhǎng)方形，
所以截面的最大面積為2×4×3=24(cm2)，
因?yàn)?πcm2>24cm2，
所以截面的最大面積為9πcm2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是截一個(gè)幾何體，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB為10 cm，寬AD為6 cm，把長(zhǎng)方形ABCD繞AB邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿AB方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積．
【答案】120cm2
【詳解】試題分析：長(zhǎng)方形ABCD繞直線(xiàn)AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱體，沿線(xiàn)段AB的方向截所得的幾何體其中軸截面最大．
試題解析：解：由題可得，把長(zhǎng)方形ABCD繞AB邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，∴截面的最大面積為6×2×10=120（cm2）．
點(diǎn)睛：本題主要考查的是截一個(gè)幾何體、點(diǎn)、線(xiàn)、面、體求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓柱的底面半徑是5cm，高是14cm，把這個(gè)圓柱放在水平桌面上，如圖．
(1)如果用一個(gè)平面沿水平方向去截這個(gè)圓柱，所得截面的形狀是 ；
(2)如果用一個(gè)平面沿豎直方向去截這個(gè)圓柱，所得截面的形狀是 ；
(3)請(qǐng)你求出在（2）的條件下所截得的最大截面面積．
【答案】(1)圓
(2)長(zhǎng)方形
(3)140cm2
【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形狀與圓柱體的底面相同，是圓形的；
（2）用豎直的平面去截，所得到的截面形狀為長(zhǎng)方形的；
（3）求出當(dāng)截面最大時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，即可求出面積．
【詳解】（1）解：所得的截面是圓，
故答案為：圓．
（2）所得的截面是長(zhǎng)方形，
故答案為：長(zhǎng)方形．
（3）在（2）的條件下，經(jīng)過(guò)底面圓心的截面，所截得的最大截面面積為：
(5×2)×14=10×14=140（cm2）．
因此，在（2）的條件下所截得的最大截面面積為140cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查認(rèn)識(shí)立體圖形和截幾何體，掌握立體圖形的特征和截面的形狀是得出正確答案的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）我們知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等邊三角形，如圖，大正三棱柱的高為10，截取一個(gè)底面周長(zhǎng)為3的小正三棱柱．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出截面的形狀；
(2)請(qǐng)計(jì)算截面的面積．
【答案】(1)長(zhǎng)方形
(2)10
【分析】（1）由圖可得截面的形狀為長(zhǎng)方形；
（2）根據(jù)小正三棱柱的底面周長(zhǎng)為3，求出底面邊長(zhǎng)為1，根據(jù)高是10，即可求出截面面積．
【詳解】（1）解：由圖可得截面的形狀為長(zhǎng)方形；
（2）∵小正三棱柱的底面周長(zhǎng)為3，
∴底面邊長(zhǎng)＝1，
∴截面的面積1×10＝10．
【點(diǎn)睛】本題考查了截面，考查學(xué)生的空間觀(guān)念，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬求出截面的面積是解題的關(guān)鍵．
多面體
頂點(diǎn)數(shù)（V）
面數(shù)（F）
棱數(shù)（E）
四面體
4
六面體
8
6
八面體
8
12
十二面體
20
30
多面體
頂點(diǎn)數(shù)（V）
面數(shù)（F）
棱數(shù)（E）
四面體
4
六面體
8
6
八面體
8
12
十二面體
20
30
多面體
頂點(diǎn)數(shù)（V）
面數(shù)（F）
棱數(shù)（E）
四面體
4
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六面體
8
6
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八面體
6
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12
十二面體
20
12
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