蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊專題2.5有理數(shù)的乘方【九大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc25493" 【題型1 乘方的意義】 PAGEREF _Tc25493 \h 1
\l "_Tc1500" 【題型2 乘方運算的符號規(guī)律】 PAGEREF _Tc1500 \h 2
\l "_Tc19438" 【題型3 根據(jù)乘方運算判斷整除問題】 PAGEREF _Tc19438 \h 2
\l "_Tc23544" 【題型4 根據(jù)乘方運算解決進制問題】 PAGEREF _Tc23544 \h 3
\l "_Tc2633" 【題型5 根據(jù)乘方運算判斷末位數(shù)字問題】 PAGEREF _Tc2633 \h 4
\l "_Tc5235" 【題型6 含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc5235 \h 5
\l "_Tc25939" 【題型7 含乘方的新定義問題】 PAGEREF _Tc25939 \h 6
\l "_Tc22669" 【題型8 應(yīng)用乘方解決實際問題】 PAGEREF _Tc22669 \h 8
\l "_Tc29052" 【題型9 科學(xué)記數(shù)法的表示與還原】 PAGEREF _Tc29052 \h 9
【知識點1 有理數(shù)乘方的概念】
求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
即有：.
在中，叫做底數(shù)， n叫做指數(shù).
【題型1 乘方的意義】
【例1】（2023春·廣西來賓·七年級統(tǒng)考期中）（﹣6）4表示的意義是（）
A．﹣6×（﹣6）×（﹣6）×（﹣6）B．﹣6+（﹣6）+（﹣6）+（﹣6）
C．﹣6×4D．2×2×2×2
【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州市工業(yè)園區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，寫成冪的形式．
2×2×???×2m個23+3+???+3n個3
【變式1-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤?k 為正整數(shù)，則(k3)4的意義為（）
A．4 個k3 相加B．3 個k4 相加C．4 個k3 相乘D．7 個 k 相乘
【變式1-3】（2023春·七年級課時練習(xí)）閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．請你試一試，完成以下題目：
（1）a3?a4＝（a?a?a）?（a?a?a?a）＝；
（2）歸納、概括：am?an＝；
（3）如果xm＝4，xn＝9，運用以上的結(jié)論，計算：xm+n＝．
【知識點2 有理數(shù)乘方的運算】
（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；
（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．
【題型2 乘方運算的符號規(guī)律】
【例2】（2023春·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）計算（-2）11+（-2）10的值是（）
A．-2B．（-2）21C．0D．-210
【變式2-1】（2022秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）若x?2+y+32=0，則x+y2020= ．
【變式2-2】（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的一組是（）
A．32和23B．（﹣6）3和﹣63
C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣6×32
【變式2-3】（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）若x是有理數(shù)，則x2＋1一定（）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
【知識點3 含乘方的混合運算】
有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．
【題型3 根據(jù)乘方運算判斷整除問題】
【例3】（2023春·重慶北碚·七年級江北中學(xué)校考階段練習(xí)）閱讀理解題，閱讀材料：設(shè)正整數(shù)a可以寫成
a=an1000n+an?11000n?1+?+a0，（其中0≤aib，b≠0，則2?1??3?3= ．
【答案】?27
【分析】根據(jù)新定義的運算法則，進行計算即可．
【詳解】解：2?1??3?3=12??33
=1??27
=?271
=?27；
故答案為：?27．
【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算法則，是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022秋·江蘇南京·七年級校考階段練習(xí)）概念學(xué)習(xí)
規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作?3④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷???÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接寫出計算結(jié)果：2③ = ，?12⑤= ；
（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是
A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；
B．對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；
C．3④=4③
D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．
深入思考：
我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？
（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式．
?3的圈4次方＝；5的圈5次方＝；(?12)的圈6次方＝．
（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于________；
（3）算一算：24÷23+?8×2③．
【答案】初步探究（1）12；?8；（2）C；深入思考（1）132，153，24；（2）1an?2；（3）?1．
【分析】理解除方運算，利用除方運算的法則和意義解決初步探究，通過除方的法則，把深入思考的除方寫成冪的形式解決（1），總結(jié)（1）得到通項（2）．根據(jù)法則計算出（3）的結(jié)果．
【詳解】初步探究
解：初步探究
（1）2③=2÷2÷2=12，
(?12)⑤=?12÷?12÷?12÷?12÷?12=1÷?12÷?12÷?12=?2÷?12÷?12=?8故答案為：12，?8；
（2）A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項A正確；
B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數(shù)n，1?都等于1；所以選項B正確；
C、3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，則3④≠4③；所以選項C錯誤；
D、負數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當于奇數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當于偶數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是正數(shù)．所以選項D正確；
本題選擇說法錯誤的，故選C；
深入思考
（1）(?3)④=?3÷?3÷?3÷?3=1×(13)2=132；
5⑤=5÷5÷5÷5÷5=1×(15)3=153；
(?12)⑥=?12÷?12÷?12÷?12÷?12÷?12
=1×2×2×2×2
=24；
故答案為：132，153，24．
（2）a?=a÷a÷a…÷a=1÷an?2=1an?2．
故答案為：1an?2．
（3）24÷23+?8×2③
=24÷8+(?8)×12
=3?4
=?1．
【點睛】本題考查了新運算，冪的運算．解決問題的關(guān)鍵是掌握新運算的法則，理解新運算的意義．
【變式7-3】（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題．
如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：lgaN＝b．例如：
①因為指數(shù)式22＝4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：lg24＝2；
②因為指數(shù)式42＝16，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：lg416＝2.
（1）請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：
①62＝36；
②43＝64；
（2）將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：
①lg525＝2；
②lg327＝3；
（3）計算：lg232
【答案】（1）①lg636＝2；②lg464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
【分析】（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式寫成對數(shù)式；
（2）根據(jù)題意可以把對數(shù)式寫成指數(shù)式；
（3）根據(jù)題目中提供的信息可以計算出式子的結(jié)果．
【詳解】解：（1）①62＝36；
對數(shù)式記作：lg636＝2；
②43＝64；
對數(shù)式記作：lg464＝3；
（2）①lg525＝2；
指數(shù)式為52＝25，
②lg327＝3；
指數(shù)式為33＝27；
（3）∵25＝32，
lg232＝5.
【點睛】本題考查了對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．
【題型8 應(yīng)用乘方解決實際問題】
【例8】（2022秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）下列情景描述的結(jié)果與25相符的是（填寫所有正確選項的序號）
①把一張報紙沿同一方向連續(xù)對折5次得到的后折痕條數(shù)；
②把一團和好的面，揉搓成一根長條后，連續(xù)拉扣5次得到的面條根數(shù)
③細胞分裂時，由1個分裂成2個，由2個分裂成4個，以此類推，一個這樣的細胞分裂5次形成的細胞個數(shù)．
【答案】②③/③②
【分析】根據(jù)題干敘述分別計算找出對折的次數(shù)與折痕的條數(shù)，拉扣的次數(shù)和面條的根數(shù)，分裂的次數(shù)和細胞個數(shù)的規(guī)律，判斷是否符合規(guī)律即可．
【詳解】①把一張報紙沿同一方向?qū)φ郏瑢φ垡淮斡?條折痕，對折兩次是3條折痕，以此類推，對折5次后有1+2+4+8+16=31條折痕，不符合題意．
②把一團和好的面，揉搓成一根長條后，拉扣一次時有兩根面條，兩次有4根面條，以此類推，拉扣5次有25根面條，符合題意．
③由題意可得，一個這樣的細胞分裂5次形成細胞個數(shù)為25個，符合題意．
故答案為②③．
【點睛】本題主要考查冪的應(yīng)用，清楚理解冪的含義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022秋·浙江·七年級期中）小王在wrd文檔中設(shè)計好一張A4規(guī)格的表格根據(jù)要求，這種規(guī)格的表格需要設(shè)計1000張，小王欲使用“復(fù)制一粘貼”（用鼠標選中表格，右鍵點擊“復(fù)制”，然后在本wrd文檔中“粘貼”）的辦法滿足要求．請問：小王需要使用“復(fù)制一粘貼”的次數(shù)至少為（）
A．9次B．10次C．11次D．12次
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，即可得出規(guī)律，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，問題得解．
【詳解】解：由題意得第一次復(fù)制得2張，
第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，
第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，
第四次復(fù)制最多得2×2×2×2=24=16張，
……，
第九次復(fù)制最多得29=512張，
第十次復(fù)制最多得210=1024張，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
B
【點睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乘方運算規(guī)律，并正確進行計算是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022秋·四川成都·七年級四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校肚f子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完，若按此方式截一根長為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長度是．
【答案】116
【分析】根據(jù)題意依次每一天剩余木棍的長度，即可求得第4天截取后木棍剩余的長度．
【詳解】解：第一天截取后剩：1×1?12=12（米）；
第二天截取后剩：12×1?12=122（米）；
第三天截取后剩：122×1?12=123（米）；
第四天截取后剩：123×1?12=124=116（米）；
故答案為：116．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方，掌握有理數(shù)乘方的意義及性質(zhì)，理解題意寫出算式是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023春·安徽亳州·七年級?？计谥校┘毦敝硶r，一個細菌分裂成兩個，一個細菌在分裂n次后，數(shù)量變?yōu)?n個，有一種細菌分裂速度很快，它每12min分裂一次，如果現(xiàn)在盤子里有1000個這樣的細菌，那么60min后，盤子里有多少個細菌？2h后細菌的個數(shù)是1h后的多少倍?
【答案】60min后，盤子里有32000個細菌，2h后細菌的個數(shù)是1h后的32倍
【分析】先求出60min，細菌分裂的次數(shù)，再根據(jù)一個細菌在分裂n次后，數(shù)量變?yōu)?n個，用細菌的數(shù)量乘以2n，即可得到總數(shù)，同理求出2h后細菌的個數(shù)，兩數(shù)相除即可得出結(jié)果．
【詳解】解：60÷12=5次，
∴60min后，盤子里有細菌：1000×25=32000（個）；
2h=120min,120÷12=10（次），
∴2h后，盤子里有1000×210個細菌；
1000×210÷1000×25=25=32，
答：60min后，盤子里有32000個細菌，2h后細菌的個數(shù)是1h后的32倍．
【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方的實際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解題意，算出細菌分裂的次數(shù)．
【知識點4 科學(xué)記數(shù)法的表示】
科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．（科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．）
規(guī)律方法總結(jié)：
①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．
【題型9 科學(xué)記數(shù)法的表示與還原】
【例9】（2023春·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2022年全國夏糧總產(chǎn)量約14700萬噸，比去年增加143.4萬噸，我國夏糧生產(chǎn)連續(xù)兩年實現(xiàn)增長．數(shù)據(jù)14700萬噸用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．1.47×104噸B．0.147×105噸C．1.47×108噸D．1.47×109噸
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|

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