注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題（每小題5分，共60分．每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則為（ ）
A．B．C．5D．
2．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量、的夾角為，，，則（ ）
A．4B．5C．D．
4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．4B．C．2D．
5．相關(guān)變量的樣本數(shù)據(jù)如下表，
經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關(guān)，并由最小二乘法求得回歸直線方程為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．x增加1時(shí)，y一定增加2.3B．變量x與y負(fù)相關(guān)
C．當(dāng)y為6.3時(shí)，x一定是8D．a(chǎn)=5.2
6．已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知點(diǎn)A（1，m），B（2，n）是角的終邊上的兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，則的值為（ ）
A．B．1C．4D．
10．若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．28B．29C．30D．31
11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．異面直線AC與所成的角為60°
B．直線與平面所成角為45°
C．二面角的正切值為
D．四面體的外接球的體積為
12．已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空（每小題5分，共20分）
13．已知，則 ．
14．已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式 ．
15．已知A、B、C、D、E為0﹣9中五個(gè)不重復(fù)的數(shù)字，且滿足以下豎式加法，則滿足條件的四位數(shù)ABCD共有 個(gè)．
16．已知A，B，分別為雙曲線（）的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，且，則雙曲線E的漸近線方程為 .
三、解答題（17-21題各12分，22、23選做一題10份，共70分）
17．設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知=3，是與的等差中項(xiàng)，
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．年月日第屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，.
(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)？
(2)現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取名學(xué)生，再?gòu)倪@名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，設(shè)抽取的人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，.
附：
19．如圖，在四棱錐中，平面，，，．
(1)求證：平面；
(2)若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為8．
(1)求拋物線M的方程；
(2)若點(diǎn)Q在C上，QA，QB為M的兩條切線，A，B是切點(diǎn)（A在B的上方），求面積的最小值．
21．已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)當(dāng)且時(shí)，存在一個(gè)極小值點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，已知直線，直線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C以及直線，的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點(diǎn)，直線與曲線C分別交于O、B兩點(diǎn)，求的面積．
23．設(shè)x，y是兩個(gè)正數(shù)．
（1）證明：若，則；
（2）已知，．證明：．
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
a
5.9
了解
不了解
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
1．B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可算出z的值，再利用公式計(jì)算其模.
【詳解】，故.
故選：B.
本題考查復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】解一元二次不等式求解集、根式的性質(zhì)求定義域確定集合，由交集運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，集合，集合，
所以.
故選：B
3．B
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
4．A
【分析】目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線l：的距離的倍．由約束條件作出可行域，找到可行域內(nèi)到直線l的距離最大的點(diǎn)，求解即可.
【詳解】由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示．由點(diǎn)到直線的距離公可知，
目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線l：的距離的倍．
數(shù)形結(jié)合可知，可行域內(nèi)到直線l的距離最大的點(diǎn)為，
且點(diǎn)A到直線l的距離，
則的最大值為4．
故選：A.
5．D
【分析】根據(jù)回歸直線方程的幾何意義判斷A、B錯(cuò)誤；令求解判斷C，計(jì)算并代入回歸直線方程中，求得a的值，判斷D正確.
【詳解】根據(jù)回歸直線方程知，x增加1時(shí)，估計(jì)y增加，故A錯(cuò)誤；
由知，，故變量x與y正相關(guān)，故B錯(cuò)誤；
時(shí)，，解得，估計(jì)的值應(yīng)為8，故C錯(cuò)誤;
又，，
代入回歸直線方程中，則，解得，故D正確.
故選：D
6．B
【分析】已知關(guān)系說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)，分段函數(shù)為減函數(shù)，則兩段均是減函數(shù)，且左端函數(shù)值不小于右端函數(shù)值，由此可得．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意，都有成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，解得．
故選：B．
本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題注意分段函數(shù)的兩部分均為減函數(shù)外，還需滿足左側(cè)函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值．
7．B
【分析】依題意可得，將化簡(jiǎn)之后即可求得結(jié)果.
【詳解】依題意，由斜率公式及可得，
則.
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由斜率公式及得到.
8．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于縱軸稱，故排除A、C，
，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)此時(shí)單調(diào)遞減，排除B，
故選：D
9．C
【分析】對(duì)所給二項(xiàng)式合理變形，求展開項(xiàng)系數(shù)即可.
【詳解】在中，
而，
由二項(xiàng)式定理知展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，令，，
故，
同理令，解得，令，解得，
故，故.
故選：C
10．A
【分析】由題意先由遞推關(guān)系通過(guò)累乘法求通項(xiàng)公式，再由單調(diào)性解不等式即可得解.
【詳解】由題意，即，
所以，
而，所以，
由題意令，
而是單調(diào)遞增的，
且發(fā)現(xiàn)，，
所以滿足不等式的最大正整數(shù)為28.
故選：A.
11．B
【分析】由正方體性質(zhì)得出異面直線AC與所成的角，直線與平面所成角，二面角的平面角并計(jì)算判斷ABC，由四面體的外接球即為正方體的外接球，由正方體性質(zhì)求得外接球半徑后可得體積從而判斷D．
【詳解】選項(xiàng)A，由正方體性質(zhì)易得，因此異面直線AC與所成的角為或其補(bǔ)角，
是等邊三角形，，A正確；
選項(xiàng)B，由平面，平面，得，又，，平面，
所以平面，設(shè)，則是直線與平面所成角，
由平面，平面，可得，
在直角中，，，B錯(cuò)；

選項(xiàng)C，由上分析得是二面角的平面角，由得，C正確；
選項(xiàng)D，四面體的外接球即為正方體的外接球，由正方體性質(zhì)知其外接球半徑為，因此體積為，D正確；
故選：B．
12．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)椋茫?br>由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因?yàn)椋瑒t，
所以，即．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以，則．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因?yàn)?，所以?br>在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故
故選：C．
解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
13．
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．
【詳解】∵，，
∴，
∴，，
∴，
故．
14．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上的解析式.
故
15．4
【分析】由已知條件，判斷關(guān)系，結(jié)合，推出滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由題可知，個(gè)位無(wú)進(jìn)位且為，所以，
千位為，所以千位上的是由百位進(jìn)1得到的，即，
百位有進(jìn)位則，所以，，
十位的個(gè)位為，則有進(jìn)位，則，
所以，，，
所以滿足條件的四位數(shù)ABCD為：5983，3985，1987，7981，共4個(gè)．
故4．
16．
【分析】根據(jù)的三邊關(guān)系及雙曲線的幾何性質(zhì)，利用余弦定理求出，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得到的關(guān)系代入雙曲線的漸近線方程即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，易知點(diǎn)在雙曲線的右支上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示：

因?yàn)?，所以，?br>在中，由余弦定理可得，，
即，因?yàn)椋?br>所以，，過(guò)作軸于點(diǎn)，
則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入雙曲線可得，
，化簡(jiǎn)可得，所以雙曲線E的漸近線方程為
.
故
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)；考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力；掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)是與的等差中項(xiàng)求出等比數(shù)列的公比，即可求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.
【詳解】（1）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且，
因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，
所以，即，，
解得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以 ①，
則 ②，
①—②，得
，
所以.
18．(1)答案見解析.
(2)分布列見解析；.
【分析】（1）先根據(jù)條件概率求得人數(shù)填寫列聯(lián)表；再代入公式求出，將該值與臨界值比較即可求解.
（2）先根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生人數(shù)和女生人數(shù)；再寫出的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．
【詳解】（1）因?yàn)槭录傲私鈦嗊\(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，，，
所以表示女生中了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的概率為；
表示了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的人是女生的概率為.
因?yàn)榕忻?br>所以對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解的女生人數(shù)為，了解杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)為
結(jié)合男生和女生各名，填寫列聯(lián)表為：
零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
.
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，即該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān).
（2）由(1)可知：了解杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)為，.其中女生人數(shù)為.
則采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取的女生人數(shù)為：；男生人數(shù)為.
的所有可能取值為：，，，.
，，
,
從而的分布列為
故．
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到，再利用平面，得到，從而得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而有，即可證明結(jié)果；
（2）取取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量和向量，利用線面角的向量法即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，?br>所以，且，
又平面，平面，所以，
又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，
又平面，平面，所以平面.
（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，
因?yàn)槠矫?，由?）知，所以平面，
又，所以，過(guò)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槠矫?，面，所以，又，，所以面?br>又面，所以,
故為二面角的平面角，所以，
又，所以，又，所以，
所以，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則由得到，，取，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
20．(1)
(2)16
【分析】（1）根據(jù)條件確定F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為，從而求得，可得答案;
（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，求出弦長(zhǎng)，再利用導(dǎo)數(shù)表示出QA，QB的方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出點(diǎn)Q到直線AB的距離，從而表示出，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，，圓C的半徑為，所以，
即，解得，所以拋物線M的方程為．
（2）設(shè)，，
直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，
消去x，得，
則，，．
所以，
因?yàn)椋曰?，則或，
所以切線QA的斜率為，其方程為，即，
同理切線QB的斜率為，其方程為．
聯(lián)立方程組,解得,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C上，所以，且，，
即，．滿足判別式的條件．
點(diǎn)Q到直線AB的距離為，所以，
又由，得，
令，則，且，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，t取得最小值4，
此時(shí)，所以面積的最小值為16．
本題考查了拋物線方程的求法以及和直線的位置關(guān)系中的三角形面積問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要有清晰的解答思路，即明確問(wèn)題的解決是要一步步向表示出三角形QAB的面積靠攏，難點(diǎn)在于繁雜的計(jì)算，要十分細(xì)心.
21．(1)
(2).
【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.
（2）求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類探討的極小值點(diǎn)即可求解作答.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，有，，
因此有，即，
所以在處的切線方程為.
（2）函數(shù)，則，，
，
由，解得或，
①若，有，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此有一個(gè)極小值點(diǎn)，即，于是得，解得，則，
②若，則，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此有一個(gè)極小值點(diǎn)，即，于是得，解得，無(wú)解，
③若，有，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此有一個(gè)極小值點(diǎn)，即，于是得，解得，則，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為.
22．（1），，．（2）
【分析】（1）根據(jù)題意消參求出曲線C的直線坐標(biāo)方程，然后利用，，，即可求解.
（2）把代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得出；同理，把代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得出，再利用三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）依題意，由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）
消參得，故曲線C的普通方程為
由，，，得
曲線C的極坐標(biāo)方程為
，的極坐標(biāo)方程為，．
（2）把代入，得，所以，
把代入，得，所以，
所以．
本題主要考查了參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線相交時(shí)的極坐標(biāo)方程的解法、三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.
23．(1)證明見解析；(2)證明見解析
【分析】(1)根據(jù),再展開利用基本不等式證明即可.
(2)由題即證明,再根據(jù)消元,利用分析法化簡(jiǎn)證明即可.
【詳解】(1)因?yàn)?故
.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).
故.
(2)因?yàn)?,故.
故要證 即證.代入,即證,即證,即證.
因?yàn)?故成立.
所以原不等式成立.
本題主要考查了基本不等式中“1的妙用”以及分析法證明不等式的方法,屬于中檔題.
了解
不了解
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0
1
2
3

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