威遠(yuǎn)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)（文科）2023.9.22 數(shù)學(xué)試題共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題.（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1. 設(shè)集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，B＝{x|0＜＜2}，則A∩B＝（　?。?/span>A. （2，4） B. （1，1） C. （﹣1，4） D. （1，4）【答案】A【解析】【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運算即可．【詳解】A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}；∴A∩B＝（2，4）．故選A．【點睛】本題主要考查描述法、區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及交集的運算．2. 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可得復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得.【詳解】由，得，所以，故選：B.3. 已知向量，，則（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算及模長公式求解即可.【詳解】，，，.故選：D.4. 已知為奇函數(shù)，且時，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及解析式求解即可.【詳解】為奇函數(shù)，且時，，.故選：D5. 已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（    ）．A.  B.  C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，利用幾何意義求出最小值.【詳解】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)，即，平移直線，當(dāng)其過點A時縱截距最小，即z最?。?/span>由，可得即點，所以．  故選：B6. 已知命題：函數(shù)在上是減函數(shù)，命題：恒成立，則是的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求得兩個命題，再利用充分與必要條件的相關(guān)定義判定即可.【詳解】易知函數(shù)的對稱軸為，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故，命題，；又恒成立等價于，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，即，命題，顯然，即可以推出不能推出，故是的充分不必要條件.故選：A7. 函數(shù)的圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再利用時，值為正即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；當(dāng)時，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.故選：C8. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是．A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給的對數(shù)式和指數(shù)式的特征可以采用中間值比較法，進(jìn)行比較大小.【詳解】因為，故本題選C.【點睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式、對數(shù)式大小的問題.9. 趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】在中，由余弦定理求出，從而根據(jù)兩個等邊三角形的面積比求得所求概率.【詳解】在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以所求概率為.所以本題答案為A.【點睛】本題考查幾何概型和余弦定理應(yīng)用，本題關(guān)鍵在于利用余弦定理求出，屬中檔題.10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（    ）A. 的最小正周期為 B. 的圖象關(guān)于直線對稱C. 的最小值與最大值之和為0 D. 在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】對于根據(jù)即可求出；對于可根據(jù)函數(shù)在對稱軸處取的最值驗證；對于利用解析式可直接求得最大和最小值，驗證即可；對于可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，驗證即可.【詳解】對于,的最小正周期為,故錯誤；對于，2為最大值，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；對于依據(jù)函數(shù)解析式得故錯誤；對于令，解得令，得的一個增區(qū)間為，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故錯誤.故選：11. 已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則（    ）A. 的圖象關(guān)于直線對稱B. 4是的一個周期C. 在上單調(diào)遞減D. ：【答案】A【解析】【分析】易得為奇函數(shù)，利用函數(shù)的周期性與奇偶性結(jié)合選項逐個判斷即可.【詳解】由題知，因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以對于A：因為所以，從而所以所以的圖象關(guān)于直線對稱，A選項正確；對于B：由A知所以，從而所以是以8為周期的函數(shù)，B選項錯誤；對于C：當(dāng)時，為增函數(shù)，又因為為奇函數(shù)所以在上單調(diào)遞增，C選項錯誤；對于D：因為所以又因為在上單調(diào)遞增所以，D選項錯誤；故選：A.12. 已知函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分離參數(shù)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出值域即可求解.【詳解】因為函數(shù)()與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))與函數(shù)的圖象有交點，即在上有解，即在上有解，令，（），，當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)增函數(shù)，故時，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了計算求解能力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13. 值是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)運算性質(zhì)計算即可.【詳解】.故答案為：-214. 函數(shù)的值域為__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性直接求解即可.【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，的值域為.故答案為：.15. 已知，若數(shù)列的前項和為，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】利用裂項相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，因此，所以的取值范圍為故答案為：16. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)極值及函數(shù)圖象的走勢，得到不等式，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)，則，當(dāng)時，不經(jīng)過三四象限，不合題意，舍去，當(dāng)時，由得或，若，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過第二象限，在處取得極小值，且極小值為，函數(shù)一定過第三和第一象限，要想經(jīng)過第四象限，只需，解得；若，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為， 在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過第一象限，函數(shù)一定過第二和第四象限，要想經(jīng)過第三象限，只需，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用函數(shù)圖象的變化趨勢后得出極值滿足的性質(zhì)，從而求解.三、解答題（本題共計6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. 近日，某市市民體育鍛煉的熱情空前高漲．某學(xué)生興趣小組在月日隨機抽取了該市人，并對其當(dāng)天體育鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的體育鍛煉時間的頻率分布直方圖，鍛煉時間不少于分鐘的人稱為“運動達(dá)人”．（1）估算這人當(dāng)天體育鍛煉時間的眾數(shù)和平均數(shù)（每組中的數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為“運動達(dá)人”與性別有關(guān)． 非“運動達(dá)人”“運動達(dá)人”合計男性 女性   合計   附：，，臨界值表：0.050.01 3.8416.635 【答案】（1）眾數(shù)為35，平均數(shù)為    （2）填表見解析；沒有的把握認(rèn)為“運動達(dá)人”與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求眾數(shù)與平均數(shù)知識可得答案；（2）由題目數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，后由獨立性檢驗知識可得答案.【小問1詳解】（1）由眾數(shù)的定義可知，這人當(dāng)天體育鍛煉時間的眾數(shù)為的組中值，即35，設(shè)這人當(dāng)天體育鍛煉時間的平均數(shù)為；則；【小問2詳解】根據(jù)已知條件，列聯(lián)表如下： 非“運動達(dá)人”“運動達(dá)人”合計男性女性合計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)有，所以沒有的把握認(rèn)為“運動達(dá)人”與性別有關(guān)．18. 等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用錯位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，由得：，所以.由，得到所以數(shù)列的通項公式為.（2）由條件知，又將以上兩式相減得所以.19. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)余弦定理可得到，再根據(jù)三角形面積公式得到 ，即可求出 ，進(jìn)而求出的周長.【詳解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長為.20. 已知函數(shù).（1）求的最值；（2）求曲線過點的切線方程.【答案】（1）最小值為，無最大值    （2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，得出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案；（2）設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出斜率.根據(jù)已知結(jié)合斜率的公式即可得出.聯(lián)立得出方程，求出方程的根，得出切點坐標(biāo)以及斜率，代入點斜式方程，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，的定義域為，且.當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.所以，的最小值為，無最大值.【小問2詳解】設(shè)切點為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在處的斜率，則，所以，，整理可得，.設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一解.所以，的解為，切點，此時斜率為，切線方程為，整理可得，切線方程為.21. 已知函數(shù).（1）若為的極小值點，求實數(shù)的值；（2）已知集合，集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求出，再進(jìn)行檢驗即可；（2）轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒有，求導(dǎo)，分與兩種情況，求出滿足要求，時不合要求，從而得到答案.【小問1詳解】，由題可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故滿足為極小值點.【小問2詳解】由題意，即當(dāng)時，恒有，即有，顯然，，當(dāng)，即時，恒成立，所以在單調(diào)遞增，，即時滿足恒成立；當(dāng)即時，由得，其中，由得，所以時，單調(diào)遞減，所以時，與題設(shè)矛盾.綜上，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點坐標(biāo)為，圓與直線交于、兩點，求的值.【答案】（1）直線的普通方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】【分析】（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，由可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，列出韋達(dá)定理，利用直線參數(shù)方程的幾何意義可求得的值.【詳解】（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得直線的普通方程為，在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，可得，由可得圓的直角坐標(biāo)方程為，即；（2）設(shè)點、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得，即，，由韋達(dá)定理得，，又直線過點，所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)化，同時也考查了利用直線參數(shù)方程的幾何意義求值，考查計算能力，屬于中等題.選修4-5.：不等式選講23. 已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.（1）求f(x)的最小值m；（2）若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：.【答案】（1）3；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）分段討論去絕對值可得到值域，從而得到最小值； （2）配湊成形式，再利用均值不等式求最值即可.【詳解】（1）當(dāng)x<-1時，；當(dāng)–1≤x<2時，；當(dāng)x≥2時，；綜上，f(x)最小值m=3；（2）由（1）知m=3，因為a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=3，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，等號成立，所以即.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的定義域、值域及求最小值的問題，考查了利用基本不等式求最值的問題，注意等號成立的條件.   

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