2025年高考數(shù)學(xué)精品教案第六章 平面向量 復(fù)數(shù) 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)精品教案第六章 平面向量 復(fù)數(shù) 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，共12頁。
學(xué)生用書P115
1.平面向量基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個① 不共線 向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，② 有且只有 一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）基底：若e1，e2③ 不共線 ，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
注意 （1）基底向量e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，零向量不能作為基底向量；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐標(biāo)表示
（1）把一個向量分解為兩個④ 互相垂直 的向量，叫做把向量作正交分解.
（2）平面向量運算的坐標(biāo)表示
說明 （1）相等向量的坐標(biāo)相同；（2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的端點無關(guān)，只與其相對位置有關(guān).
（3）平面向量共線的坐標(biāo)表示
如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a∥b的充要條件為⑧ x1y2－x2y1＝0 .
注意 a∥b的充要條件不能表示成x1x2＝y(tǒng)1y2的形式，因為x2，y2有可能等于0.
1.下列說法正確的是（ B ）
A.平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底
B.設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2
C.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝y(tǒng)1y2
D.平面向量經(jīng)過平移后其坐標(biāo)改變
解析 對于A，共線向量不可以作為基底，故A錯誤；對于B，同一向量在給定基底下的分解是唯一的，B正確；對于C，若b＝（0，0），則x1x2＝y(tǒng)1y2無意義，故C錯誤；對于D，平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移，其坐標(biāo)都不變，故D錯誤.
2.[教材改編]已知M（－2，7），N（10，－2），點P是線段MN上的點，且PN＝
－2PM，則點P的坐標(biāo)為（ A ）
A.（2，4）B.（－14，16）
C.（6，1）D.（2，－11）
解析 設(shè)P（x，y），則PN＝（10－x，－2－y），PM＝（－2－x，7－y），又PN＝
－2PM，所以10－x＝－2（－2－x),－2－y＝－2（7－y),解得x=2，y=4，所以點P的坐標(biāo)為（2，4）.故選A.
3.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底，則實數(shù)λ的取值范圍是 （－∞，4）∪（4，＋∞） .
學(xué)生用書P116
命題點1 平面向量基本定理的應(yīng)用
例1 （1）[全國卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB＝（ A ）
A.34AB－14ACB.14AB－34AC
C.34AB＋14ACD.14AB＋34AC
解析 解法一 根據(jù)向量的運算法則可得，在△ABE中，EB＝EA＋AB.因為E為AD的中點，所以EA＝12DA，在△ABD中，DA＝DB＋BA＝DB－AB.因為D為BC的中點，所以DB＝12CB.在△ABC中，CB＝AB－AC.逐步代入，可得EB＝EA＋AB＝12DA＋AB＝12（DB－AB）＋AB＝12（12CB－AB）＋AB＝14CB＋12AB＝14（AB－AC）＋12AB＝34AB－14AC.故選A.
解法二 由D為BC的中點，得AD＝12（AB＋AC），由E為AD的中點，得AE＝12AD＝14（AB＋AC）.在△ABE中，EB＝AB－AE＝AB－14（AB＋AC）＝34AB－14AC.故選A.
（2）如圖，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，則2r＋3s＝（ C ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 根據(jù)題圖，由題意可得AE＝AB＋BE＝AB＋23BC＝AB＋23（BA＋AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋14AB）＝12AB＋23AD.因為AE＝rAB＋sAD，所以r＝12，s＝23，所以2r＋3s＝1＋2＝3.故選C.
方法技巧
1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量，實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一個基底，并運用該基底將相關(guān)向量表示出來，再通過向量的運算來解決.
注意 同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.
訓(xùn)練1 （1）[2024昆明市模擬]在平行四邊形ABCD中，點T為CD的中點，則（ A ）
A.AT＝12AB＋ADB.AT＝AB＋12AD
C.AT＝13AB＋23ADD.AT＝23AB＋13AD
解析 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以DC＝AB.因為T為CD的中點，所以DT＝12DC，則AT＝AD＋DT＝AD＋12DC＝12AB＋AD，故選A.
（2）[2024廣東省模擬]已知△OAB中，OC＝CA，OD＝2DB，AD與BC相交于點M，OM＝xOA＋yOB，則有序數(shù)對（x，y）＝（ D ）
A.（12，13）B.（13，12）
C.（12，14）D.（14，12）
解析 如圖，依題意A，M，D三點共線，故AM＝λAD，所以O(shè)M＝OA＋AM＝OA＋λAD＝OA＋λ（OD－OA）＝OA＋λ（23OB－OA）＝2λ3OB＋（1－λ）OA，又C，M，B三點共線，故CM＝μCB，則OM＝OC＋CM＝OC＋μCB＝OC＋μ（OB－OC）＝（1－μ）OC＋μOB＝1－μ2OA＋μOB，所以1－μ2=1－λ，μ＝2λ3，解得λ＝34，μ＝12，所以O(shè)M＝12OB＋14OA，又OM＝xOA＋yOB，所以x＝14，y＝12，所以有序數(shù)對（x，y）＝（14，12）.故選D.
命題點2 平面向量的坐標(biāo)運算
例2 （1）[全國卷Ⅰ]已知點A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），則向量BC＝（ A ）
A.（－7，－4）B.（7，4）
C.（－1，4）D.（1，4）
解析 因為AB＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），所以BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A.
（2）已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，以a，b為基底，則（ C ）
A.c＝－2a＋3bB.c＝－3a＋2b
C.c＝3a－2bD.c＝2a－3b
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝（1，1），b＝
（－2，3），c＝（7，－3）.設(shè)c＝xa＋yb，則x－2y=7，x+3y＝－3，解得x=3，y＝－2，故c＝3a－2b.故選C.
方法技巧
1.利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程（組）進行求解.
2.向量的坐標(biāo)表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.
訓(xùn)練2 （1）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ的值為（ B ）
A.65B.85
C.2D.83
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D（0，0）.不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，
∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ+2μ=2，解得λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.
（2）已知平面上的三個點A（－2，1），B（－1，3），C（3，4），若A，B，C，D四點能構(gòu)成平行四邊形，則點D的坐標(biāo)為 （2，2）或（4，6）或（－6，0） .
解析 由四邊形ABCD為平行四邊形，得AB＝DC，可解得D（2，2）.
由四邊形ABDC為平行四邊形，得AB＝CD，可解得D（4，6）.
由四邊形ADBC為平行四邊形，得AD＝CB，可解得D（－6，0）.
因此，使A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形的點D的坐標(biāo)為（2，2）或（4，6）或
（－6，0）.
命題點3 向量共線的坐標(biāo)表示
例3 （1）[2021全國卷乙]已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，則λ＝ 85 .
解析 因為a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.
（2）已知點O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD與BC交于點M，則點M的坐標(biāo)為 （127，2） .
解析 由已知可得點C（0，54），點D（2，32）.因為A，M，D三點共線，所以AM與AD共線，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則AM＝（x，y－5），又AD＝（2，－72），所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.因為C，M，B三點共線，所以CM與CB共線，又CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y=20，7x－16y＝－20，得x＝127，y=2，所以點M的坐標(biāo)為（127，2）.
方法技巧
平面向量共線問題的解題策略
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
（2）若a∥b（b≠0），則a＝λb.
訓(xùn)練3 （1）[2023貴州省聯(lián)考]已知P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），P1P＝λPP2，則y與λ的值分別為（ D ）
A.y＝8，λ＝2B.y＝132，λ＝12
C.y＝154，λ＝12D.y＝5，λ＝12
解析 因為P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），所以P1P＝（2，y－2），PP2＝（4，11－y），由P1P＝λPP2，得（2，y－2）＝λ（4，11－y）＝（4λ，11λ－λy），所以2=4λ，y－2=11λ－λy，解得λ＝12，y=5.故選D.
（2）設(shè)0＜θ＜π2，向量a＝（sin 2θ，cs θ），b＝（cs θ，1），若a∥b，則tan θ＝ 12 .
解析 ∵a∥b，∴sin 2θ＝cs2θ，
∴2sin θcs θ＝cs2θ.
∵θ∈（0，π2），
∴2sin θ＝cs θ，tan θ＝12.
思維幫·提升思維 快速解題
奔馳定理
例4 [2023江蘇南京三模]如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且OA＋OB＋2OC＝0，則S△ABCS△AOC＝ 4 .
解析 解法一 取AB的中點D，連接OD，則OD＝12（OA＋OB），又OA＋OB＋2OC＝0，所以O(shè)D＝－OC，即O為CD的中點.
又D為AB的中點，所以S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，故S△ABCS△AOC＝4.
解法二 OA＋OB＋2OC＝0，則由奔馳定理得S△ABCS△AOC＝1+1+21＝4.
方法技巧
奔馳定理：P為△ABC內(nèi)一點，則SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0，其中SA，SB，SC分別是△BPC，△CPA，△APB的面積.
證明過程如下.
延長AP交邊BC于點Q，如圖所示.
用S表示△ABC的面積，則S＝SA＋SB＋SC，用h1表示△BPC的邊BC上的高，用h表示△ABC的邊BC上的高.
則PQAQ＝h1h＝12BC·h112BC·h＝SAS，APAQ＝AQ－PQAQ＝1－PQAQ＝1－SAS＝SB＋SCS，所以AP＝SB＋SCS·AQ.
用h2表示△CPA的邊AP上的高，用h3表示△APB的邊AP上的高.
則CQBQ＝h2h3＝SBSC，所以AQ＝SBSB＋SC·AB＋SCSB＋SC·AC，則AP＝SBS·AB＋SCS·AC，
即S·AP＝SB·（PB－PA）＋SC·（PC－PA），所以SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0.
訓(xùn)練4 [2023江蘇蘇州市第六中學(xué)三模]已知O是△ABC內(nèi)一點，滿足OA＋2OB＋mOC＝0，且S△AOBS△ABC＝47，則m＝（ C ）
A.2B.3C.4D.5
解析 解法一 由OA＋2OB＋mOC＝0，得－m3OC＝13OA＋23OB，令OM＝－m3OC，則OM＝13OA＋23OB，所以A，B，M三點共線，所以S△AOBS△ABC＝｜OM｜｜OC｜＝mm+3＝47，解得m＝4.
解法二 由奔馳定理得S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0，又OA＋2OB＋mOC＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m，所以S△AOBS△ABC＝m1+2+m＝47，解得m＝4.
1.[命題點1]如圖是由等邊三角形AIE和等邊三角形KGC構(gòu)成的六角星，圖中的B，D，F(xiàn)，H，J，L均為對應(yīng)線段的三等分點，兩個等邊三角形的中心均為O.若OA＝mOC＋nOJ，則mn＝（ B ）
A.12B.23
C.34D.1
解析 因為等邊三角形AIE和等邊三角形KGC的中心均為O，所以H，O，B三點共線，J，O，D三點共線.如圖，連接HB，OD，則四邊形AJHB，BODC都是平行四邊形，且點O為HB，JD的中點.OA＝OJ＋JA＝OJ＋HB＝OJ＋2OB，又OB＝DC＝DO＋OC＝OJ＋OC，所以O(shè)J＋2OB＝OJ＋2（OC＋OJ）＝2OC＋3OJ，即OA＝2OC＋3OJ，又OA＝mOC＋nOJ，所以m＝2，n＝3，所以mn＝23.
2.[命題點2/多選]已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝λ1e1＋λ2e2，則使λ1λ2＜0成立的a可能是（ AC ）
A.（1，0）B.（0，1）C.（－1，0）D.（0，－1）
解析 因為e1＝（－1，2），e2＝（2，1），所以向量a＝λ1e1＋λ2e2＝（－λ1，2λ1）＋（2λ2，λ2）＝（2λ2－λ1，2λ1＋λ2）.當(dāng)a＝（1，0）時，2λ1＋λ2＝0，滿足題意；當(dāng)a＝（0，1）時，2λ2－λ1＝0，不滿足題意；當(dāng)a＝（－1，0）時，2λ1＋λ2＝0，滿足題意；當(dāng)a＝（0，－1）時，2λ2－λ1＝0，不滿足題意.
3.[命題點2]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是以點C為圓心，2為半徑的圓上的動點.設(shè)AP＝λAB＋μAD，則λ＋μ的最小值為（ B ）
A.1B.76
C.2D.83
解析 如圖，以點A為原點，以AB和AD所在直線分別為x軸
和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），
D（0，4），圓C的方程為（x－3）2＋（y－4）2＝4.
因為點P在圓C上，所以可設(shè)點P的坐標(biāo)為（2cs θ＋3，2sin θ＋4），又AP＝λAB＋μAD，所以（2cs θ＋3，2sin θ＋4）＝λ（3，0）＋μ（0，4）＝（3λ，4μ），即2csθ+3=3λ，2sinθ+4=4μ， 所以λ＋μ＝23cs θ＋12sin θ＋2＝56sin（θ＋φ）＋2≥76 （其中tan φ＝43 ）.故選B.
4.[命題點3]已知向量a＝（1，x），b＝（y，1），x＞0，y＞0.若a∥b，則xyx＋y的最大值為（ A ）
A.12B.1C.2D.2
解析 a∥b?xy＝1，所以y＝1x，又x＞0，y＞0，所以xyx＋y＝1x＋y＝1x＋1x≤12x·1x＝12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1x，即x＝1時取等號，所以xyx＋y的最大值為12.
學(xué)生用書·練習(xí)幫P317
1.[2024山東菏澤模擬]設(shè){e1，e2}為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ C ）
A.e1＋e2和e1－e2B.4e1＋2e2和2e2－4e1
C.2e1＋e2和e1＋12e2D.e1－2e2和4e2＋2e1
解析 平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，選項C中，2e1＋e2＝2（e1＋12e2），即2e1＋e2和e1＋12e2為共線向量，所以它們不能作為基底，故選C.
2.[2024河南商丘期末]已知點A（8，－1），B（1，－3），若點C（2m－1，m＋2）與A，B共線，則實數(shù)m＝（ C ）
A.－12B.13C.－13D.12
解析 因為點C與A，B共線，且AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m－9－7＝m+3－2，所以m＝－13.故選C.
3.[2023山東省實驗中學(xué)開學(xué)考試]已知向量a＝（2，－3），b＝（m，1），若｜a＋2b｜＝｜a－2b｜，則m＝（ A ）
A.32B.－32C.23D.－23
解析 由a＝（2，－3），b＝（m，1），可得a＋2b＝（2＋2m，－1），a－2b＝（2－2m，－5），又｜a＋2b｜＝｜a－2b｜，所以｜a＋2b｜2＝｜a－2b｜2，即（2＋2m）2＋1＝（2－2m）2＋25，解得m＝32，故選A.
4.[2023河北石家莊質(zhì)檢]△ABC中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且AD＝45AM，AN＝λAB，則λ＝（ A ）
A.23B.34C.45D.56
解析 如圖，因為點M是BC的中點，所以AD＝45AM＝45×12（AB＋AC）＝25（AB＋AC）.因為N，D，C三點共線，所以AD＝μAC＋（1－μ）AN，又AN＝λAB，所以25（AB＋AC）＝μAC＋（1－μ）λAB，由平面向量基本定理可知25＝μ，25＝（1－μ）λ，解得μ＝25，λ＝23，故選A.
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），點C在第二象限內(nèi)，∠AOC＝5π6，且｜OC｜＝2，若OC＝λOA＋μOB，則λ，μ的值分別是（ D ）
A.3，1B.1，3C.－1，3D.－3，1
解析 設(shè)C（x，y），∵點C在第二象限，且∠AOC＝5π6，｜OC｜＝2，∴x＝｜OC｜·cs5π6＝－3，y＝｜OC｜·sin5π6＝1，
∴C（－3，1），∴OC＝（－3，1）.
又∵OC＝λOA＋μOB，∴（－3，1）＝λ（1，0）＋μ（0，1），
即（－3，1）＝（λ，μ），∴λ＝－3，μ＝1.
6.[多選]已知等邊三角形ABC內(nèi)接于☉O，D為線段OA的中點，E為BC的中點，則BD＝（ AC ）
A.23BA＋16BCB.43BA－16BC
C.BA＋13AED.23BA＋13AE
解析 BD＝BA＋AD＝BA＋13AE＝BA＋13（AB＋BE）＝BA－13BA＋13×12BC＝23BA＋16BC.故選AC.
7.[多選]已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m，m－2），若連接AB，BC，AC能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的值可以是（ ACD ）
A.－2B.3
C.1D.－1
解析 由題知，AB＝OB－OA＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），AC＝OC－OA＝（m，m－2）－（1，－3）＝（m－1，m＋1）.假設(shè)A，B，C三點共線，則1×（m＋1）－2（m－1）＝0，即m＝3.所以若連接AB，BC，AC能構(gòu)成三角形，則m≠3.故選ACD.
8.[2024河南信陽模擬]已知兩點A（3，－2）和B（－5，－1），點P滿足AP＝12AB，則點P的坐標(biāo)為 （－1，－32） .
解析 解法一 設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由AP＝12AB，得（x－3，y＋2）＝12（－8，1）.
所以x－3=－4，y+2=12，解得x＝－1，y＝－32.所以點P的坐標(biāo)為（－1，－32）.
解法二 由AP＝12AB，得P為AB的中點，則由中點坐標(biāo)公式得，點P的坐標(biāo)為（3－52，－2－12），即（－1，－32）.
9.在△ABC中，點M，N滿足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，則x＝ 12 ，y＝ －16 .
解析 由題意得MN＝MC＋CN＝13AC＋12CB＝13AC＋12（AB－AC）＝12AB－16AC＝xAB＋yAC，所以x＝12，y＝－16.
10.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），則λμ＝ 12 .
解析 由題圖可設(shè)CG＝xCE（x＞0），則CG＝x（CB＋BE）＝x（CB＋12CD）＝x2CD＋xCB .因為CG＝λCD＋μCB ，CD 與CB 不共線，所以λ＝x2，μ＝x，所以λμ＝12.
11.[2023陜西安康一模]已知O是△ABC內(nèi)一點，2OA＋3OB＋mOC＝0，若△AOB與△ABC的面積的比值為47，則實數(shù)m的值為（ D ）
A.－103B.103C.－203D.203
解析 解法一 由2OA＋3OB＝－mOC得25OA＋35OB＝－m5OC，設(shè)－m5OC＝OD，則OD＝25OA＋35OB，則A，B，D三點共線，如圖所示，∵OC與OD反向共線，∴m＞0，∴｜OD｜｜OC｜＝m5，∴｜OD｜｜CD｜＝mm+5，∴S△AOBS△ABC＝｜OD｜｜CD｜＝mm+5＝47，解得m＝203.故選D.
解法二 ∵2OA＋3OB＋mOC＝0，∴由奔馳定理（O為△ABC內(nèi)一點，則S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0）
可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶m，∴S△AOB∶S△ABC＝m∶（2＋3＋m），∴m2+3+m＝47，解得m＝203，故選D.
12.[與基本不等式交匯]在正方形ABCD中，O為兩條對角線的交點，E為邊BC上的動點.若AE＝λAC＋μDO（λ＞0，μ＞0），則2λ＋1μ的最小值為（ C ）
A.2B.5
C.92D.143
解析 解法一 設(shè)正方形ABCD邊長為2，則以A為原點，以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則
A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），O（1，1）.設(shè)
E（2，t），t∈[0，2）.（因為λ＞0，μ＞0，故C，E不重合）
因為AE＝λAC＋μDO，所以（2，t）＝λ（2，2）＋μ（1，－1），即2λ＋μ=2，2λ－μ＝t，則λ＝2+t4，μ＝2－t2，
所以2λ＋1μ＝82+t＋22－t＝14（82+t＋22－t）（2＋t＋2－t）≥14（10＋28×2）＝92，當(dāng)且僅當(dāng)t＝23時等號成立.故選C.
解法二 由題意知AE＝λAC＋μDO＝λAC＋μOB＝λAC＋μ（AB－12AC）＝（λ－12μ）AC＋μAB，則λ－12μ＋μ＝1，即λ＋12μ＝1.（B，C，E三點共線）
故2λ＋1μ＝（λ＋12μ）（2λ＋1μ）＝52＋μλ＋λμ≥92，當(dāng)且僅當(dāng)μλ＝λμ，
即λ＝μ＝23時等號成立，故選C.
13.[2023山東模擬]已知點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且AP＝13AB＋tAC（t∈R），若點P在△ABC的內(nèi)部（不包含邊界），則實數(shù)t的取值范圍是 （0，23） .
解析 AP＝13AB＋tAC，其中t為實數(shù)，當(dāng)點P在線段BC上時，AP＝13AB＋23AC，如圖，在AB上取一點D，使得AD＝13AB，在AC上取一點E，使得AE＝23AC，則AP＝13AB＋tAC＝AD＋32tAE.由圖可知，若點P在△ABC的內(nèi)部（不包含邊界），則0＜32t＜1，解得0＜t＜23.
14.給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為5π6.如圖所示，點C在以點O為圓心的圓弧AB上運動.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，則12x－32y的取值范圍是 [－1，12] .
解析 如圖，分別以直線OA，過點O的OA的垂線為x軸，y軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)∠AOC＝θ，則C（cs θ，sin θ）.
因為A（1，0），B（－32，12），所以O(shè)A＝（1，0），OB＝（－32，12），OC＝（cs θ，sin θ）.由OC＝xOA＋yOB得，x－32y＝cs θ，且12y＝sin θ.于是12x－32y＝12cs θ－32sin θ＝
cs（θ＋π3）.
因為點C在圓弧AB上運動，所以θ∈[0，5π6]，θ＋π3∈[π3，7π6]，cs（θ＋π3）∈[－1，12].故12x－32y的取值范圍是[－1，12].課標(biāo)要求
命題點
五年考情
命題分析預(yù)測
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.
4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件.
平面向量基本定理的應(yīng)用
該講命題熱點為平面向量的坐標(biāo)運算、共線的坐標(biāo)表示等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計2025年高考命題穩(wěn)定，備考時要關(guān)注坐標(biāo)法在求解向量問題中的應(yīng)用.
平面向量的坐標(biāo)運算
2023新高考卷ⅠT3；2022北京T10；2021全國卷甲T14；2021新高考卷ⅠT10；2019全國卷ⅡT3
向量共線的坐標(biāo)表示
2021全國卷乙T13
坐標(biāo)表示
和（差）
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝⑤ （x1＋x2，y1＋y2） ，a－b＝⑥ （x1－x2，y1－y2） .
數(shù)乘
已知a＝（x1，y1），則λa＝（λx1，λy1），其中λ是實數(shù).
任一向量的坐標(biāo)
已知A（x1，y1），B（x2，y2），則 AB＝⑦ （x2－x1，y2－y1） .