1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up12(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.
eq \O([常用結(jié)論])
1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
2．若G是△ABC的重心，則eq \(GA,\s\up12(→))＋eq \(GB,\s\up12(→))＋eq \(GC,\s\up12(→))＝0，eq \(AG,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(AC,\s\up12(→)))．
一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．( )
(2)在△ABC中，向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(BC,\s\up12(→))的夾角為∠ABC.( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材改編
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，
∴eq \f(1,2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \f(3,2)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)))
∴eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1,2)，故選D.]
2．已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
(1,5) [設(shè)D(x，y)，則由eq \(AB,\s\up12(→))＝eq \(DC,\s\up12(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))]
3．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up12(→))＝(－4，－3)，則向量eq \(BC,\s\up12(→))＝ .
(－7，－4) [根據(jù)題意得eq \(AB,\s\up12(→))＝(3,1)，
∴eq \(BC,\s\up12(→))＝eq \(AC,\s\up12(→))－eq \(AB,\s\up12(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]
4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq \f(m,n)＝ .
－eq \f(1,2) [由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb與a－2b共線，
得eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).]
考點(diǎn)1 平面向量基本定理的應(yīng)用
平面向量基本定理解決問題的一般思路
(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．
1.如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( )
A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2 D．e1＋3e2與6e2＋2e1
D [選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0，))無解；
選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,－2＝2λ，))無解；
選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝－λ，))無解；
選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝eq \f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．故選D.]
2．在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，eq \(AN,\s\up12(→))＝λeq \(AB,\s\up12(→))＋μeq \(AC,\s\up12(→))，則λ＋μ的值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
A [因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)，
所以可設(shè)eq \(AM,\s\up12(→))＝xeq \(AB,\s\up12(→))＋yeq \(AC,\s\up12(→))(x＋y＝1)．
因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)，
所以eq \(AN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)xeq \(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)yeq \(AC,\s\up12(→))＝λeq \(AB,\s\up12(→))＋μeq \(AC,\s\up12(→)).
所以λ＋μ＝eq \f(1,2)(x＋y)＝eq \f(1,2).故選A.]
3.如圖，以向量eq \(OA,\s\up12(→))＝a，eq \(OB,\s\up12(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq \(BM,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up12(→))，eq \(CN,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up12(→))，用a，b表示eq \(OM,\s\up12(→))，eq \(ON,\s\up12(→))，eq \(MN,\s\up12(→)).
[解] ∵eq \(BA,\s\up12(→))＝eq \(OA,\s\up12(→))－eq \(OB,\s\up12(→))＝a－b，
eq \(BM,\s\up12(→))＝eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up12(→))＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
∴eq \(OM,\s\up12(→))＝eq \(OB,\s\up12(→))＋eq \(BM,\s\up12(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b.
∵eq \(OD,\s\up12(→))＝a＋b，
∴eq \(ON,\s\up12(→))＝eq \(OC,\s\up12(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up12(→))＋eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up12(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，
∴eq \(MN,\s\up12(→))＝eq \(ON,\s\up12(→))－eq \(OM,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,6)a－eq \f(5,6)b＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.
綜上，eq \(OM,\s\up12(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b，eq \(ON,\s\up12(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，eq \(MN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.
(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組．
(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．
考點(diǎn)2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq \(AB,\s\up12(→))＝a，eq \(BC,\s\up12(→))＝b，eq \(CA,\s\up12(→))＝c，且eq \(CM,\s\up12(→))＝3c，eq \(CN,\s\up12(→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求M，N的坐標(biāo)及向量eq \(MN,\s\up12(→))的坐標(biāo)．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq \(CM,\s\up12(→))＝eq \(OM,\s\up12(→))－eq \(OC,\s\up12(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up12(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up12(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵eq \(CN,\s\up12(→))＝eq \(ON,\s\up12(→))－eq \(OC,\s\up12(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up12(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up12(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up12(→))＝(9，－18)．
[母題探究]
(變結(jié)論)本例條件不變，若a＝mb＋nc，則m＝ ，n＝ .
－1 －1 [∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))]
求解此類問題的過程中，常利用“向量相等，其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同”這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．
1.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up12(→))＝2eq \(AD,\s\up12(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))
C．(3,2) D．(1,3)
A [設(shè)D(x，y)，eq \(AD,\s\up12(→))＝(x，y－2)，eq \(BC,\s\up12(→))＝(4,3)，
又eq \(BC,\s\up12(→))＝2eq \(AD,\s\up12(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝2x，,3＝2?y－2?，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))故選A.]
2．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b為( )
A．(－3,4) B．(3,4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
A [∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，
∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故選A.]
3.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系可得a＝(－1,1)，
b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2).
∴eq \f(λ,μ)＝4.]
考點(diǎn)3 向量共線的坐標(biāo)表示
兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)已知b≠0，則a∥b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(λ∈R)．
利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
[一題多解]已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
(3,3) [法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq \(OP,\s\up12(→))＝λeq \(OB,\s\up12(→))＝(4λ，4λ)，則eq \(AP,\s\up12(→))＝eq \(OP,\s\up12(→))－eq \(OA,\s\up12(→))＝(4λ－4,4λ)．
又eq \(AC,\s\up12(→))＝eq \(OC,\s\up12(→))－eq \(OA,\s\up12(→))＝(－2,6)，
由eq \(AP,\s\up12(→))與eq \(AC,\s\up12(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up12(→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up12(→))＝(3,3)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．
法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq \(OP,\s\up12(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q \(OB,\s\up12(→))＝(4,4)，且eq \(OP,\s\up12(→))與eq \(OB,\s\up12(→))共線，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，即x＝y(tǒng).
又eq \(AP,\s\up12(→))＝(x－4，y)，eq \(AC,\s\up12(→))＝(－2,6)，且eq \(AP,\s\up12(→))與eq \(AC,\s\up12(→))共線，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．]
利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)的方法：一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
利用向量共線求參數(shù)
(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，則銳角θ＝ .
(2)若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
(1)45° (2)－eq \f(5,4) [(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)，
∴cs2θ＝eq \f(1,2)，∴cs θ＝eq \f(\r(2),2)或cs θ＝－eq \f(\r(2),2)，
又θ為銳角，∴θ＝45°.
(2)eq \(AB,\s\up12(→))＝(a－1,3)，eq \(AC,\s\up12(→))＝(－3,4)．
根據(jù)題意eq \(AB,\s\up12(→))∥eq \(AC,\s\up12(→))，
∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－eq \f(5,4).]
如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線；
(2)若eq \(AB,\s\up12(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up12(→))＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．
[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b與a＋2b共線，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－eq \f(1,2).
(2)eq \(AB,\s\up12(→))＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up12(→))＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴eq \(AB,\s\up12(→))∥eq \(BC,\s\up12(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝eq \f(3,2).

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