目錄/CONTENTS
1.明確有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算順序，知道乘方的優(yōu)先級(jí)高于乘除運(yùn)算.2.正確運(yùn)用運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算.（重點(diǎn)）
同學(xué)們，你們玩過(guò)24點(diǎn)嗎？游戲規(guī)則：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌只能用一次），使得運(yùn)算結(jié)果為24或-24，其中紅色代表負(fù)數(shù)，黑色代表正數(shù)，J，Q，K分別表示11,12,13.問(wèn)題1：怎樣將撲克牌上的數(shù)字通過(guò)我們學(xué)過(guò)的有理數(shù)運(yùn)算得到24或-24呢？問(wèn)題2：在游戲中需要運(yùn)用有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算，若在一個(gè)算式里，將這些運(yùn)算的兩種或兩種以上混合在一起，你想在游戲中盡快地勝出，又該怎樣準(zhǔn)確的計(jì)算呢？
有理數(shù)的乘方、加、減、乘、除混合運(yùn)算順序是先　乘方，再　乘除　，后　加減　；如果有括號(hào)，要先進(jìn)行　括號(hào)里　的運(yùn)算.?
思考：在進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除以及乘方混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)按怎樣的順序進(jìn)行運(yùn)算呢？
注：解決有理數(shù)混合運(yùn)算的基本思路：觀察有幾種運(yùn)算，若有除法運(yùn)算和減法運(yùn)算，可將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，最后按運(yùn)算順序計(jì)算，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．
解：-10+8÷(-2)2-(-4)×(-3)
=-10+8÷4-4×3
（1）-10+8÷(-2)2-(-4)×(-3);
例3：有一張厚度為0.1毫米的紙，將它對(duì)折一次后，厚度為2×0.1毫米，求：（1）對(duì)折2次后，厚度為多少毫米？（2）對(duì)折20次后，厚度為多少毫米？
解：（1）∵厚度為0.1毫米的紙，將它對(duì)折一次后，厚度為2×0.1毫米，∴對(duì)折2次的厚度是0.1×22毫米.（2）對(duì)折20次的厚度是0.1×220毫米＝104857.6（毫米）
變式1：按如圖方式，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成6個(gè)部分.
（1）①的面積 . ②的面積 . ③的面積 . ④的面積 . ⑤的面積 . ⑥的面積 .
（2）受此啟發(fā)，你能求出
(1)一組數(shù)列：8，16，32，64，…… 則第n個(gè)數(shù)表示為_(kāi)_____
(2)一組數(shù)列：－4，8，－16，32，－64，…… 則第n個(gè)數(shù)表示為_(kāi)___________
(3)一組數(shù)列：1，－4，9，－16，25，…… 則第n個(gè)數(shù)表示為_(kāi)____________________
3.計(jì)算：0.1252013×82014.
【解析】(1)-6; (2)-8.
知識(shí)點(diǎn)1　有理數(shù)的混合運(yùn)算1. [2023·杭州](－2)2＋22＝(　D　)
②－(－2)3＝8，原來(lái)的計(jì)算錯(cuò)誤；
正確的有2個(gè).故選C.
①(－5)＋(＋3)＝－2，原來(lái)的計(jì)算錯(cuò)誤；
3. [新考法 新定義法]定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定： a ? b ＝ a2－｜ b ｜，則(－2)?(－1)的運(yùn)算結(jié)果為(　D　)
4. 計(jì)算：(1)[2023·隨州](－2)2＋(－2)×2＝ ?.(2)[2023·廣西](－1)×(－4)＋22÷(7－5).
【解】原式＝(－1)×(－4)＋4÷2＝4＋2＝6.
(1)上面解題過(guò)程有兩處錯(cuò)誤：第一處是第 步，錯(cuò)誤的原因是 ?；第二處是第 步，錯(cuò)誤的原因是 ?。
沒(méi)按順序計(jì)算，乘除是同級(jí)運(yùn)算，除法在前面，應(yīng)該先進(jìn)行除法計(jì)算　
沒(méi)有按符號(hào)法則正確確定結(jié)果的符號(hào)　
知識(shí)點(diǎn)2　混合運(yùn)算中的數(shù)字規(guī)律6. [新考法 規(guī)律探究法]觀察下面“品”字形圖案中各數(shù)之間 的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出 a 的值為(　B　)
【解析】觀察可得11＋ b ＝ a ，11＝2×6－1，所以 b ＝26＝64，故 a ＝11＋64＝75.
所以 a ＝2 042， b ＝20，
所以 a － b ＝2 042－20＝2 022.
8. 觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：－2，4，－8，16，－32，64，…①0，7，－4，21，－26，71，…②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為 ；取每行數(shù)的第2 023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為 ?.
－22 024＋2 024　
【解析】觀察數(shù)列可得，第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為(－2)10＝210，
第①行數(shù)的第2 023個(gè)數(shù)為(－2)2 023，第②行數(shù)的第2 023個(gè)數(shù)為(－2)2 023＋2 024，
因?yàn)?－2)2 023＋(－2)2 023＋2 024＝－22 024＋2 024，
所以取每行數(shù)的第2 023個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和為－22 024＋2 024.
10. 老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成有理數(shù)運(yùn)算，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn).過(guò)程如圖所示：
(1)接力中，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生是 ?；
(2)請(qǐng)給出正確的計(jì)算過(guò)程.
【解】－42＋20÷(－5)－6×(－2)2＝－16＋(－4)－6×4＝－16＋(－4)＋(－24)＝－44.
11. 嘉嘉和琪琪用如圖中的A，B，C，D四張帶有運(yùn)算的卡片，做一個(gè)“我說(shuō)你算”的數(shù)學(xué)游戲，規(guī)則如下：嘉嘉說(shuō)一個(gè)數(shù)，并對(duì)這個(gè)數(shù)按這四張帶有運(yùn)算的卡片排列出一個(gè)運(yùn)算順序，然后琪琪根據(jù)這個(gè)運(yùn)算順序列式計(jì)算， 并說(shuō)出計(jì)算結(jié)果.例如：嘉嘉說(shuō)2，對(duì)2按A→B→C→D的順序運(yùn)算，則琪琪列式計(jì)算得：[(2＋3)×(－3)－2]2＝(－15－2)2＝(－17)2＝289.
(1)嘉嘉說(shuō)－2，對(duì)－2按C→A→D→B的順序運(yùn)算，請(qǐng)列式并計(jì)算結(jié)果；
【解】(－2－2＋3)2×(－3)＝－3.
(2)嘉嘉說(shuō)3，對(duì)3按C→B→D→A的順序運(yùn)算，請(qǐng)列式并計(jì)算結(jié)果.
[(3－2)×(－3)]2＋3＝12.
12. [新考法 探究循環(huán)規(guī)律法]閱讀材料，解決問(wèn)題：由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，…，不難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以3，9，7，1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得到：因?yàn)?100＝34×25，所以3100的個(gè)位數(shù)字與34的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為1；
因?yàn)?2 009＝34×502＋1，所以32 009的個(gè)位數(shù)字與31的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3.
【解】因?yàn)?1＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，所以7的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以7，9，3，1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn).因?yàn)?99＝74×24＋3，所以799的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3；因?yàn)?1＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32768，…，所以8的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以8，4，2，6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn).因?yàn)?99＝84×24＋3，所以899的個(gè)位數(shù)字與83的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為2.
(1)請(qǐng)你仿照材料，分別求出799的個(gè)位數(shù)字及899的個(gè)位數(shù)字；
(2)請(qǐng)?zhí)剿鞒?21＋721＋821的個(gè)位數(shù)字；
【解】由(1)同理可得，2的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以2，4，8，6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，因?yàn)?21＝24×5＋1，所以221的個(gè)位數(shù)字與21的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為2.因?yàn)?21＝74×5＋1，所以721的個(gè)位數(shù)字與71的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為7.因?yàn)?21＝84×5＋1，所以821的個(gè)位數(shù)字與81的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為8.因?yàn)?＋7＋8＝17，所以221＋721＋821的個(gè)位數(shù)字是7.
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出822－222－322的個(gè)位數(shù)字.
【解】822－222－322的個(gè)位數(shù)字是1.

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1.6 有理數(shù)的乘方

版本： 滬科版（2024）

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