注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若an是公比為的等比數(shù)列，記為an的前項和，則下列說法正確的是（ ）
A. 若an是遞增數(shù)列，則，
B. 若an是遞減數(shù)列，則，
C. 若，則
D. 若，則bn是等比數(shù)列
【答案】D
【解析】
【分析】選項A，B，C中，分別取特殊數(shù)列滿足條件，但得不出相應的結論，說明選項A，B，C都是錯誤的，選項D中，利用等比數(shù)列的定義可以證明結論正確.
【詳解】A選項中，，滿足單調遞增，故A錯誤；
B選項中，，滿足單調遞減，故B錯誤；
C選項中，若，則，故C錯誤；
D選項中，，所以是等比數(shù)列.故D正確.
故選：D.
2. 已知公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則等差數(shù)列的前8項和為（ ）
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由題意設等差數(shù)列的公差為d，運用等比數(shù)列的中項的性質，結合等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d，進而利用求和公式得到n=8的結果；
【詳解】由題意設等差數(shù)列的公差為d，d≠0，由可得
又成等比數(shù)列，
可得a32＝a1a6，
即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），結合
解得d＝（0舍去），
則數(shù)列{an}的通項公式an＝2+（n﹣1）＝n+；
∴a8＝，∴
故選：B．
【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式及求和公式的應用，考查了等比數(shù)列中項的應用，屬基礎題．
3. 已知數(shù)列滿足，，關于數(shù)列有下述四個結論：
①數(shù)列為等比數(shù)列；②；
③；④若為數(shù)列的前項和，則.
其中所有正確結論的編號是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】對于①，將條件進行變形即可構造數(shù)列；對于②，由①用累加法即可求數(shù)列an的通項；對于③，由①得，即可判斷；對于④，由②利用分組求和即可得到.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列為等比數(shù)列,所以①正確;
又因為，
所以，
因為，
所以，
所以,故③正確；
由累加法得,所以②錯誤；
由分組求和得,所以④正確.
故選：C.
4. 已知數(shù)列是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設，，，則當時，的最大值為（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意計算，，，解不等式得到答案.
【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴,
∵是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴,
∴
，
∵，∴，解得，
則當時，的最大值是9.
故選：A.
【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，分組求和法，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.
5. 已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為1，第二行為3，5，第三行為7，9，11，第四行為13，15，17，19，如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第行，第列的數(shù)記為，比如，，，若，則（ ）
A. 64B. 65C. 71D. 72
【答案】D
【解析】
【分析】先計算出是第幾個奇數(shù)，然后計算出在第幾行，根據(jù)行數(shù)是奇數(shù)行或者偶數(shù)行，確定的值，從而求得的值.
【詳解】數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，記其通項公式為，令，解得.寶塔形數(shù)自上而下，每行的項數(shù)是，即首項是，公差是的等差數(shù)列，記其通項公式為，其前項和，，所以是第行的數(shù)模糊.第行是奇數(shù)行，是從右邊開始向左邊遞增，也即從，即的第項，遞增到第項，也即從右往左第項.故從左往右是第項，所以.所以.
故選：D.
【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列找規(guī)律，考查等差數(shù)列通項公式與前項和公式有關計算，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.
6. 近幾年，我國新能源汽車行業(yè)呈現(xiàn)一片生機勃勃的景象.電動汽車因其智能性與操控感越來越被人們接受與認可，尤其是其輔助駕駛功能.某品牌電動汽車公司為了更好地了解車主使用輔助駕駛功能的情況，進行了問卷調查，從中抽取了100位車主進行抽樣分析，分析100位車主在100次駕駛途中使用輔助駕駛功能的次數(shù)，得到如下頻率分布直方圖（60次以上的稱為經常使用輔助駕駛功能，則下列結論錯誤的是（ ）
A.
B. 估計車主在100次駕駛途中使用輔助駕駛功能的次數(shù)的平均數(shù)低于70
C. 從這100位車主中隨機選取一位車主，則這位車主經常使用輔助駕駛功能的概率約為
D. 按照“經常使用輔助駕駛功能”的人與“不經常使用輔助駕駛功能”的人進行分層抽樣，從這100人中抽取12人，則在經常使用輔助駕駛功能的人中應抽取8人
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A，根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解B，由頻率的計算即可求解C，利用抽樣比即可求解D.
【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得，故，A正確，
對于B，使用輔助駕駛功能的次數(shù)的平均數(shù)為，故B正確，
對于C，使用輔助駕駛功能的次數(shù)不少于60的頻率為，故C正確，
對于D，“經常使用輔助駕駛功能”的人與“不經常使用輔助駕駛功能”的頻率之比為，
故從這100人中抽取12人，則在經常使用輔助駕駛功能的人中應抽人，故D錯誤，
故選：D
7. 對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到如下折線圖．下面關于這兩位同學的數(shù)學成績的分析中，正確的共有（ ）個．
①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，與正態(tài)曲線相近，故而平均成績?yōu)?30分；
②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間內；
③乙同學的數(shù)學成績與考試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；
④乙同學在這連續(xù)九次測驗中的最高分與最低分的差超過40分．
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高分，平均成績?yōu)榈陀诜?，①錯誤；②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間內，②正確；③乙同學的數(shù)學成績與考試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續(xù)九次測驗中的最高分大于分與最低分低于分，最高分與最低分的差超過分，故④正確.故選C．
考點：1.折線圖的應用；2.線性相關及平均數(shù)和極差．
8. 博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則
A. P1?P2＝B. P1＝P2＝C. P1+P2＝D. P1＜P2
【答案】C
【解析】
【分析】將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.
【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321
方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故選C.
【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 在數(shù)列的相鄰兩項之間插入此兩項的和形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列．將數(shù)列1，2進行構造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…；第次得到數(shù)列，記，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的構造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構造等比數(shù)列，求出通項公式，再進行求和.
【詳解】由題意，第一次得到數(shù)列：1，3，2，此時；
第二次得到數(shù)列：1，4，3，5，2，此時；
第三次得到數(shù)列：1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；
第四次得到數(shù)列：1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時.
所以，故A對；
因為.
故，又，
所以是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
所以，故C錯誤；
所以，故D正確；
設有個數(shù)相加，有個數(shù)相加，有個數(shù)相加，……， 有個數(shù)相加，
所以，，，……，，
各式相加得：，
所以，所以，故B正確.
故選：ABD
10. 下列論述正確的是（ ）
A. 樣本相關系數(shù)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系
B. 由樣本數(shù)據(jù)得到經驗回歸直線必過中心點
C. 用決定系數(shù)比較兩個回歸模型的擬合效果時，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差
D. 研究某兩個屬性變量時，作出零假設并得到2×2列聯(lián)表，計算得，則有的把握能推斷不成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)相關系數(shù)的性質分析判斷；對于B：根據(jù)經驗回歸方程過樣本中心點分析判斷；對于C：根據(jù)決定系數(shù)的性質分析判斷；對于D：根據(jù)獨立性檢驗思想分析判斷.
【詳解】對于選項A：樣本相關系數(shù)的絕對值越大，線性相關性越強，
所以樣本相關系數(shù)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系，故A正確；
對于選項B：經驗回歸直線必過中心點，故B正確；
對于選項C：在回歸分析中，越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C錯誤；
對于選項D：因為，根據(jù)獨立性檢驗的思想可知有的把握能推斷不成立，故D正確；
故選：ABD.
11. 甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結論中正確的是（ ）
A. B.
C. 事件B與事件相互獨立D. ，，是兩兩互斥的事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用條件概率公式求出，可以判斷A；利用貝葉斯公式求出，可以判斷B；利用可以判斷C；由題意直接分析出，，是兩兩互斥的事件，即可判斷D.
【詳解】由題意分析可知：，，是兩兩互斥的事件.故D正確；
，，.
所以.故A正確；
同理，可得，
所以.，
所以，故B正確；
因為,而，
所以,
所以事件B與事件不是相互獨立事件，故C錯誤.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒有2個紅球和1個白球，乙盒有1個紅球和1個白球.先從甲盒中取出2個球放入乙盒，再從乙盒中取出2個球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個紅球”，事件B為“乙盒還剩1個紅球和1個白球”，則______，______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用條件概率與獨立事件的概率公式即可得解.
【詳解】第一空：，
第二空：從甲盒中取出的是一個紅球和一個白球，
乙盒中還剩下兩個紅球或者兩個白球.
則
故答案為：；.
13. 某企業(yè)生產甲?乙兩種產品，現(xiàn)從一批產品中隨機抽取兩種產品各5件進行檢測，檢測量結果如下：
由于表格被污損，數(shù)據(jù)a，b看不清，統(tǒng)計員只記得甲?乙兩種產品檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都相等，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出均值可得，再由方差相等可得，解方程組即可求解.
【詳解】，可得 ①，
，
則，
可得 ②，
由①②可得 ，所以 ，
故答案為： .
14. 已知數(shù)列滿足，，若表示不超過x的最大整數(shù)，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)迭代法可得利用裂項求和結合的定義即可求解.
【詳解】由得時，，
當時，也符合，所以
，故，
，
故答案為：1
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 某高校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的55名學生，得到數(shù)據(jù)如下表：
（1）判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關？
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生做進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．
下面的臨界值表供參考：
(參考公式：，其其中n＝a＋b＋c＋d)
【答案】（1）有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關；（2）．
【解析】
【分析】（1）由題中列聯(lián)表計算卡方，根據(jù)數(shù)值計算做出判斷即可；（2）由分層抽樣確定抽取的6人中男生和女生的人數(shù)，再根據(jù)古典概型計算概率即可.
【詳解】解：（1）由公式，
所以有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關．
（2）設所抽樣本中有m個男生，則，得，所以樣本中有4個男生，2個女生，分別記作
B1，B2，B3，B4，G1，G2．從中任選2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15個，
其中恰有1個男生和1個女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8個．
所以恰有1個男生和1個女生的概率為．
【點睛】方法點睛：古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.
16. 某次文化藝術展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內方經典的古錢幣造型作為該活動的舉辦標志，舉辦方計劃在入口處設立一個如下圖所示的造型現(xiàn)擬在圖中五個不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個區(qū)域的花卉品種不一樣.
現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.
（1）（i）共有多少種不同的栽種方法；
（ⅱ）記“在③和⑤區(qū)域栽種不同的花卉”為事件A，“完成該標志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為事件，求；
（2）設完成該標志的栽種所用的花卉品種數(shù)為，求的概率分布及期望.
【答案】（1）（i）420種；（ⅱ）
（2）分布列見解析，數(shù)學期望為
【解析】
【分析】（1）（i）規(guī)定涂色順序為：①→③→②→④→⑤，分類討論②和④是否同色，進而分析求解；（ⅱ）根據(jù)題意求，結合條件概率公式運算求解；
（2）分析可知：可能的取值為3，4，5，結合（1）中結論求分布列和期望.
【小問1詳解】
（i）規(guī)定涂色順序為：①→③→②→④→⑤，
若②和④同色，方法數(shù)為；
若②和④不同色，方法數(shù)為；
所以共有種不同的栽種方法；
（ⅱ）由題意可知：，，
所以.
【小問2詳解】
由題意可知：可能的取值為3，4，5，則有：
，，，
所以的概率分布列為
期望為.
17. 已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，是和的等比中項.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，求解即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法可求.
【小問1詳解】
設數(shù)列的公差為，則，
又是和的等比中項，所以，
解得或（舍去），
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以，
所以，
所以，所以
18. 在數(shù)列中，，，，
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設，，求數(shù)列前項和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）本問考查等比數(shù)列的證明，根據(jù)等比數(shù)列定義，為了證明數(shù)列為等比數(shù)列，需要證明為一個常數(shù)，根據(jù)已知條件，所以，于是問題得證；（2）根據(jù)第（1）問，是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是可以求出，于是可以累加法求通項，，則 ，，數(shù)列的前項和可以拆分為數(shù)列，的前項和.
試題解析：（1）由 ，得，
又，，所以
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
所以，
所以.
（2）, ，
，
記數(shù)列的前項和為Sn，則

記數(shù)列的前項和為，則

.
所以數(shù)列前項和為.
19. 已知等差數(shù)列的前項中，奇數(shù)項的和為56，偶數(shù)項的和為48，且（其中）：
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，，…，，…是一個等比數(shù)列，其中，，求數(shù)列的通項公式；
（3）若存在實數(shù)a，，使得對任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)已知條件求得，再利用已知求出，，再寫出數(shù)列的通項公式；
（2）先求出，再結合；
（3）先求出的單調性，再求的最小值.
【小問1詳解】
由題意，，，
因為，所以，解得，
所以，因為，且，所以，
設數(shù)列公差為，則，所以，
所以，通項公式.
【小問2詳解】
由題意，，，
設這個等比數(shù)列公比為q，則，那么，
另一方面，所以.
【小問3詳解】
記，
則，
因為，所以當時，，即，
又，所以當時，的最大值為，所以，
又，當時，，
所以，當時，的最小值，所以，
綜上，的最小值為.甲
7
7
9
乙
6
喜歡“應用統(tǒng)計”課程
不喜歡“應
用統(tǒng)計”課程
總計
男生
20
5
25
女生
10
20
30
總計
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.25
0010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
3
4
5

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