本試卷共 4 頁， 共 19 題．滿分 150 分， 考試用時 120 分鐘．
注意事項：
1． 答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上的指定位置．
2． 回答選擇題時，選出每小題答案后，用 2 B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3． 考試結束后，將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要 求的．
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 復數(shù)滿足 (為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函數(shù)中，值域為且為奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
4. 為了得到曲線的圖象，可以將曲線上所有的點（ ）
A. 橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度
B. 橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度
C. 橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度
D. 橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度
5. 在中，是直線上一點且，則（ ）
A. -2B. C. D. 0
6. 已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，數(shù)列恒單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 四面體 中， ，點 在三角形 內(nèi)部 (包含邊界) 且 ，則三棱錐 的體積最大值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知實數(shù) 滿足，則 的值為（ ）
A. B. C. D. 3
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部 選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯的得 0 分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若樣本數(shù)據(jù)的樣本方差為9，則數(shù)據(jù)的方差為16
B. 若一組樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)
C. 已知隨機變量 ，若 ，則
D. 運動員每次射擊擊中目標的概率為0.7 ，則在11次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是8次．
10. 若函數(shù)在上恒成立，且，則下列結論中正確的有（ ）
A. B. 的最大值為
C. 若最小值為D. 的最大值為
11. 設 為非負整數(shù)， 為正整數(shù)，若 和 被 除得的余數(shù)相同，則稱 和 對模 同余，記為A ． 若 是素數(shù)， 為不能被 整除的正整數(shù)，則 ，這個定理稱之為費馬小定理． 下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 為素數(shù)，存在無數(shù)個正整數(shù)D. 已知實數(shù) ，則方程 的解只有 10 個
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 現(xiàn)有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在兩端且 3 位男生中有且只有 2 位相鄰，則不同的站法有_____
13 _____． (請用最簡數(shù)值作答)
14. 已知雙曲線的離心率為 ，若雙曲線上不存在以點為中點的弦，則的取值范圍為_____．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求的值；
（2）若方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．
16. 已知內(nèi)角，，的對邊分別是 ，，，已知 ．
（1）求角;
（2）若為外一點，在四邊形中，邊長 ， 求邊的最小值．
17. 已知定義域為的函數(shù)滿足，且，記.
（1）求數(shù)列通項公式；
（2），求數(shù)列的前項和 ；
（3），記數(shù)列的前項和為，求證：．
18. 繼 2023 年電子競技首次作為正式競賽項目登上杭州亞運會舞臺后，2024 年國際奧委會宣布首屆奧林匹克電子競技運動會將于 2025 年在沙特阿拉伯王國舉辦．這意味著電子競技作為虛擬體育正式成為奧運會項目的一部分．為迎接電子競技行業(yè)這一里程碑式的時刻， 甲、乙兩俱樂部計劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦友誼賽．在體育比賽中有兩種常見賽制：一種是局勝制，例如一場比賽有5局， 率先勝3局一方獲勝，本場比賽結束; 另一種是局勝制，例如一場比賽有7局，率先勝4局一方獲勝， 本場比賽結束．
（1）若采用5局3勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.9．已知甲、乙俱樂部采用這兩種賽制各進行了場比賽，試自行繪制列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，來推斷賽制是否對甲隊獲勝的場數(shù)有影響;
（2）設甲俱樂部每局比賽獲勝的概率均為，且每局比賽都能決出勝負，沒有平同： ①若兩俱樂部采用5局3勝制比賽，記事件： “甲俱樂部只要取得3局比賽的勝利比賽結束且甲獲勝”，事件： “兩俱樂部賽滿5局，甲俱樂部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：;
②若甲、乙兩俱樂部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進行局，贏得局數(shù)大于 局的俱樂部獲勝．若甲俱樂部每局比賽獲勝的概率，試判斷進行幾局比賽時，甲俱樂部獲勝的概率最大，并說明理由．
附：，其中 ．
19. 在直角坐標系中，為橢圓的左、右焦點．直線交橢圓于兩點，交軸于點． 其中點在軸上方，的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）將平面沿軸翻折，使軸正半軸和軸所確定的半平面與軸負半軸和軸所確定的半平面所成二面角的平面角為，且，
① 在取得最大值的情況下，若，求翻折后異面直線與所成角的正弦值;
②若在平面上存在點滿足，，且，求銳二面角的余弦值的最小值．0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5024
6.635

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