知識點總結(jié)
知識點一 無理數(shù)指數(shù)冪
一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的 ．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．
知識點二 實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知識點三 分數(shù)指數(shù)冪的意義
知識點四 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知識點四 指數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù) (a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.
思考 為什么底數(shù)應(yīng)滿足a>0且a≠1?
答案 ①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數(shù)；③當a＝1時，ax＝1 (x∈R)，無研究價值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.
知識點五 兩類指數(shù)模型
1．y＝kax(k>0)，當 時為指數(shù)增長型函數(shù)模型．
2．y＝kax(k>0)，當 時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．
知識點六 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：
典型例題分析
考向一 運用指數(shù)冪運算公式化簡求值
例1 計算下列各式(式中字母都是正數(shù))：
(1)
(2)
(3)
反思感悟 一般地，進行指數(shù)冪運算時，可將系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．
考向二 分數(shù)指數(shù)冪運算的綜合應(yīng)用
例2 (1)已知am＝4，an＝3，求eq \r(am－2n)的值；
(2)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
反思感悟 條件求值問題的解法
(1)求解此類問題應(yīng)注意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等)，尋找已知式和待求式的關(guān)系，可考慮使用整體代換法．
(2)利用整體代換法解決分數(shù)指數(shù)冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式．
考向三 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例1 (1)函數(shù)y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的圖象可能是( )
(2)函數(shù)f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過定點________．
(3)已知函數(shù)y＝3x的圖象，怎樣變換得到y(tǒng)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的圖象？并畫出相應(yīng)圖象．
反思感悟 處理函數(shù)圖象問題的策略
(1)抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．
(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．
考向四 比較大小
例4 (1)比較下列各題中兩個值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,
(2)設(shè) 則a，b，c的大小關(guān)系為________．(用“>”連接)
反思感悟 比較冪值大小的3種類型及處理方法
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)，則方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)g（x）=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限，則t的取值范圍為
A．t≤–1B．t0，m，n∈N*，且n>1)
負分數(shù)指數(shù)冪
規(guī)定：＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分數(shù)指數(shù)冪
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義
a>1
00，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知識點三 分數(shù)指數(shù)冪的意義
知識點四 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知識點四 指數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.
思考 為什么底數(shù)應(yīng)滿足a>0且a≠1?
答案 ①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數(shù)；③當a＝1時，ax＝1 (x∈R)，無研究價值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.
知識點五 兩類指數(shù)模型
1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數(shù)增長型函數(shù)模型．
2．y＝kax(k>0)，當00，且a≠1)的圖象可能是( )
答案 D
(2)函數(shù)f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過定點________．
答案 (2,2)
(3)已知函數(shù)y＝3x的圖象，怎樣變換得到y(tǒng)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的圖象？并畫出相應(yīng)圖象．
解 y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函數(shù)y＝3x關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)y＝3－x的圖象，再向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y＝3－(x＋1)的圖象，最后再向上平移2個單位長度就得到函數(shù)y＝3－(x＋1)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的圖象，如圖所示．
反思感悟 處理函數(shù)圖象問題的策略
(1)抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．
(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．
考向四 比較大小
例4 (1)比較下列各題中兩個值的大?。?br>①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,
考點 指數(shù)冪的大小比較
題點 比較指數(shù)冪大小
解 (1)①∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0，且eq \f(1.70.3,1.50.3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1.7,1.5)))0.3，
又eq \f(1.7,1.5)>1,0.3>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1.7,1.5)))0.3>1，∴1.70.3>
方法二 冪函數(shù)y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>
③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1
(2)設(shè) 則a，b，c的大小關(guān)系為________．(用“>”連接)
答案 c>a>b
解析 構(gòu)造冪函數(shù)(x∈(0，＋∞))，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知a>b；構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，知aa>b.
反思感悟 比較冪值大小的3種類型及處理方法
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)即可
【詳解】因為，
，
，
，
，
所以原式=
故選：B
2．函數(shù)，則方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，則，當時，，轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題；當時，成立，進一步求出的范圍，即可求出答案.
【詳解】由函數(shù)，令，則，
當時，，
令，其圖象如圖所示
．
時，無解，
當時，成立，
由，得當時，有，解得；
當時，有，解得，
綜上，的取值范圍是．
故選：B.
3．已知函數(shù)g（x）=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限，則t的取值范圍為
A．t≤–1B．t0，m，n∈N*，且n>1)
負分數(shù)指數(shù)冪
規(guī)定：＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分數(shù)指數(shù)冪
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義
a>1
01；
當x

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