帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界、多解問題 考點(diǎn) 1 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界極值問題 由于帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中將運(yùn)動(dòng)一段圓弧或一個(gè)完整的圓。粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界相切，往往是分析臨界條件的出發(fā)點(diǎn)。 不同邊界條件下臨界條件的分析 平行邊界：常見的臨界情景和幾何關(guān)系如圖所示 矩形邊界：如圖所示，可能會(huì)涉及與邊界相切、相交等臨界問題 三邊形邊界如圖所示是正△ABC區(qū)域內(nèi)某正粒子垂直AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子臨界軌跡示意圖。已知邊長(zhǎng)為2a，D點(diǎn)距A點(diǎn)eq \r(3)a，粒子能從AB間射出的臨界軌跡如圖甲所示，粒子能從AC間射出的臨界軌跡如圖乙所示： 考點(diǎn)2 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的多解問題 1. 帶電粒子電性不確定形成多解 受洛倫茲力作用的帶電粒子，由于電性不同，當(dāng)速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。 如圖甲所示，帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b。 2. 磁場(chǎng)方向不確定形成多解 有些題目只知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而不知其方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解。 如圖乙所示，帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。 3. 臨界狀態(tài)不唯一形成多解 帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面這邊反向飛出，從而形成多解，如圖丙所示 4. 運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解 帶電粒子在部分是電場(chǎng)，部分是磁場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解，如圖丁所示。 帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界、多解問題 1. 如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.15 T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑為R＝0.10 m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)。置于原點(diǎn)的粒子源可沿x軸正方向以不同的速度射出帶正電的粒子流，粒子的重力不計(jì)，比荷eq \f(q,m)＝1.0×108 C/kg。 (1)請(qǐng)判斷當(dāng)粒子分別以v1＝1.5eq \r(3)×106 m/s和v2＝0.5eq \r(3)×106 m/s的速度射入磁場(chǎng)時(shí)，能否打到熒光屏上？ (2)要使粒子能打在熒光屏上，求粒子流的速度v0的大小應(yīng)滿足的條件。 (3)若粒子流的速度v0＝3.0×106 m/s，且以過O點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離。 2. (多選)(2017·常德月考)如圖所示，寬為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界為PP′、QQ′。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的微觀粒子沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，要使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子的入射速度v0的最大值可能是下面給出的(粒子的重力不計(jì))(　　) A.eq \f(qBd,m)　　　　　　　　　　 B.eq \f(2qBd,m) C.eq \f(2qBd,3m) D.eq \f(qBd,3m) 3. 如圖，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，∠OCA＝30°，OA的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在△OCA區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸的方向從OA邊射入磁場(chǎng)。已知粒子從某點(diǎn)射入時(shí)，恰好垂直于OC邊射出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0。不計(jì)重力。 (1)求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??； (2)若粒子先后從兩不同點(diǎn)以相同的速度射入磁場(chǎng)，恰好從OC邊上的同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求該粒子這兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和； (3)若粒子從某點(diǎn)射入磁場(chǎng)后，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC邊相切，且在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq \f(5,3)t0，求粒子此次入射速度的大小。 4. (多選)如圖所示，在xOy平面存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第一、二、四象限內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，第三象限內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。P(－eq \r(2)L,0)、Q(0，－eq \r(2)L)為坐標(biāo)軸上的兩個(gè)點(diǎn)?，F(xiàn)有一電子從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計(jì)電子的重力，則下列說法正確的是(　　) A．若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好經(jīng)原點(diǎn)O第一次射出磁場(chǎng)分界線，則此時(shí)電子運(yùn)動(dòng)的路程一定為eq \f(πL,2) B．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則電子運(yùn)動(dòng)的路程一定為πL C．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則電子運(yùn)動(dòng)的路程可能為2πL D．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則nπL(n為任意正整數(shù))都有可能是電子運(yùn)動(dòng)的路程 答案精析 1. [答案]　(1)v1能，v2不能　(2)v0>1.5×106 m/s　(3)0.15 m [解析]　(1)粒子以不同速度射入磁場(chǎng)的軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)得當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r>R時(shí)，粒子沿圖中①方向射出磁場(chǎng)能打到屏上，當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r≤R時(shí)，將沿圖中②③方向射出磁場(chǎng)，不能打到屏上。當(dāng)粒子速度為v1時(shí)，洛倫茲力提供向心力，得qv1B＝meq \f(v12,r1)，解得r1＝eq \r(3)R>R，故能打到屏上；同理，當(dāng)粒子的速度為v2時(shí)， 解得r2＝eq \f(\r(3),3)R1.5×106 m/s時(shí)，粒子能打到熒光屏上。 (3)設(shè)速度v0＝3.0×106 m/s時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r4，由洛倫茲力提供向心力，得qv4B＝meq \f(v42,r4)，解得r4＝2R。如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡就是以E點(diǎn)為圓心，以r4為半徑的一段圓弧。因圓形磁場(chǎng)以O(shè)為軸緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，故磁場(chǎng)邊界變?yōu)橐設(shè)為圓心，以2R為半徑的圓弧ABE，當(dāng)A點(diǎn)恰轉(zhuǎn)至B點(diǎn)，此時(shí)粒子的出射點(diǎn)為B，偏角α最大，射到熒光屏上P點(diǎn)離A點(diǎn)最遠(yuǎn)。由幾何知識(shí)得AP＝CA·tan α＝(2R－r4 tan 30°)·tan 60°＝eq \f(\r(3)－1,5) m≈0.15 m。 2. 解析：選BC　微觀粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，qvB＝eq \f(mv2,R)，R＝eq \f(mv,qB)，要使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子的入射速度v0最大時(shí)，軌跡與QQ′相切。如粒子帶正電，R＝eq \f(R,2)＋d，d＝eq \f(R,2)，v0＝eq \f(2qBd,m)，B正確；如粒子帶負(fù)電，R＋eq \f(R,2)＝d，v0＝eq \f(2qBd,3m)，C正確。 3 . 答案：(1)eq \f(πm,2qt0)　(2)2t0　(3)eq \f(\r(3)πL,7t0) 解析：(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t0內(nèi)其速度方向改變了90°，故其周期T＝4t0① 設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子速度為v，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。由洛倫茲力提供向心力，得qvB＝meq \f(v2,r)② 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿足v＝eq \f(2πr,T)③ 聯(lián)立①②③式得B＝eq \f(πm,2qt0)。④ (2)設(shè)粒子從OA邊兩個(gè)不同位置射入磁場(chǎng)，能從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖(a)所示。設(shè)兩軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ1和θ2。由幾何關(guān)系有θ1＋θ2＝180°⑤ 粒子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和t1＋t2＝eq \f(T,2)＝2t0。⑥ (3)如圖(b)，由題給條件可知，該粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為150°。設(shè)O′為圓弧的圓心，圓弧的半徑為r0，圓弧與AC相切于B點(diǎn)，從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系和題給條件可知，此時(shí)有∠OO′D＝∠BO′A＝30°⑦ r0cos∠OO′D＋eq \f(r0,cos ∠BO′A)＝L⑧ 設(shè)粒子此次入射速度的大小為v0， 由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律v0＝eq \f(2πr0,T)⑨ 聯(lián)立①⑦⑧⑨式得v0＝eq \f(\r(3)πL,7t0)。⑩ 4. 解析：選AC　 若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好經(jīng)原點(diǎn)O第一次射出磁場(chǎng)分界線，則其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，則電子運(yùn)動(dòng)的路程為圓周的eq \f(1,4)，即為eq \f(πL,2)，故選項(xiàng)A正確；若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡可能如圖甲、乙所示，因此電子運(yùn)動(dòng)的路程可能為πL，也可能為2πL，故選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤，C正確。

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