數(shù)學(xué)
考試范圍：高考范圍；考試時(shí)間：120分鐘，滿分120分.
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上
一、單選題（共40分）
1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）.
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，在利用復(fù)數(shù)的模的公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.
2. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. 1B. 2C. lg2D. lg5
【答案】A
【解析】
【分析】
結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可直接求解.
【詳解】由題意，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)
A. 2B. 4C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【詳解】考點(diǎn)：集合運(yùn)算
或，又，所以，則其子集有4個(gè).
點(diǎn)評(píng)：此題考查集合運(yùn)算及絕對(duì)值不等式.
4. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出，再利用基本不等式求解.
【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，
所以．
因?yàn)?，且，，所以?br>所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值4．
故選：A
5. 李明開(kāi)發(fā)的小程序經(jīng)過(guò)t天后，用戶人數(shù)，其中k為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶，則用戶超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（ ）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依題意知，從而求得，再令，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】∵經(jīng)過(guò)t天后，用戶人數(shù)，
又∵小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶，∴，
即，可得，∴①
當(dāng)用戶超過(guò)50000名時(shí)有，
即，可得，∴②
聯(lián)立①和②可得，即，故，
∴用戶超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為34天.
故選：D.
6. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算和橢圓的定義可得關(guān)于的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)中點(diǎn)H，則，，，
代入數(shù)據(jù)并整理得：，
等式兩邊同除以得：，解得：或(舍).
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法
（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．
（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先求得a的取值范圍，然后結(jié)合函數(shù)的解析式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像存在兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可確定a的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可知函數(shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知：，
且函數(shù)在處滿足：，解得：，故，
方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
繪制函數(shù)和 y=x+3的圖像如所示:
令可得：，
由可知，，
則直線與函數(shù)的圖像在區(qū)間上存在唯一的交點(diǎn)，
原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與二次函數(shù)在區(qū)間0,+∞上存在唯一的交點(diǎn)，
很明顯當(dāng)，即時(shí)滿足題意，
當(dāng)直線與二次函數(shù)相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，亦即，
由函數(shù)解析式可得：當(dāng)時(shí)，，
故：，則，
切點(diǎn)坐標(biāo)為，從而：，即.
據(jù)此可得：的取值范圍是.
故選: A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
8. 定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作．若在區(qū)域D內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于x，y的二元函數(shù)，它就被稱為二元函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作．已知，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)“偏導(dǎo)函數(shù)”的知識(shí)求得，進(jìn)而利用判別式法求得正確答案.
【詳解】依題意，
，
同理可求得，所以，設(shè)，
則，由，
得，
，此方程有解，所以，
.
故選：B
【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類(lèi)情況.(3)類(lèi)比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.
二、多選題（共18分）
9. 已知復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. z的虛部為1
B.
C. 為純虛數(shù)
D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.
【詳解】，
則z的虛部為1，選項(xiàng)A正確；
，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
為純虛數(shù)，選項(xiàng)C正確；
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：AC．
10. 設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件的含義可知，判斷;根據(jù)題意可知，從而，判斷C;根據(jù)互斥事件的概率加法公式可判斷D.
【詳解】∵為兩個(gè)互斥事件，,
∴，即，故A正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
∵ 為兩個(gè)互斥事件,則，
∴ 故C選項(xiàng)正確，
∵為兩個(gè)互斥事件，
∴，故D選項(xiàng)正確．
故選∶．
11. 已知函數(shù)在處取得極值，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次求導(dǎo)證明單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到，AB正確，代換得到，C正確，若D成立得到，矛盾，得到答案.
【詳解】，則，恒成立，
故單調(diào)遞增， ，，
故存在，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，AB正確；
，，
，故C正確；
若，，則，，
，則，這與矛盾，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題（共15分）
12. 從原點(diǎn)向圓作兩條切線，則這兩條切線的夾角等于________度.
【答案】60
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心的坐標(biāo)和半徑，得到，，在直角三角形中，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系得到，從而確定答案.
【詳解】如圖，圓的方程可化為，圓心為，半徑為3，過(guò)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.
在中，，，
所以，故這兩條切線的夾角為.
故答案為：60.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題.
13. 已知函數(shù)，則___________
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)代入相應(yīng)的解析式求解,計(jì)算出的結(jié)果再次代入相應(yīng)的解析式中計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查了求分段函數(shù)的值,需要判定輸入值的大小并代入相應(yīng)的解析式中計(jì)算結(jié)果,直到計(jì)算出最后的輸出值才計(jì)算完成,本題較為簡(jiǎn)單.
14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)，若函數(shù)滿足：，都有，則稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)A的“界函數(shù)”．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，若函數(shù)是點(diǎn)B的“界函數(shù)”，則m的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)分成三種情況，結(jié)合，都有進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的取值范圍.
【詳解】函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為軸.由于在函數(shù)的圖像上，所以.依題意，都有，即：，都有.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞增，最小值為，最大值為，所以，此不等式在時(shí)無(wú)解.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上，最大值為，最小值在區(qū)間的端點(diǎn)取得，故，解得.
點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，最小值為，最大值為，所以，此不等式在時(shí)無(wú)解.
綜上所述，取值范圍是.
故答案為
【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查不等式的解法，屬于中檔題.
四、解答題（共77分）
15. 求值：（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.
16. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將面沿折疊成二面角，其二面角的平面角大小為．
（1）求證：；
（2）若，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
分析】（1）由，證明面，結(jié)合面即得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接
由已知有，，
又平面
所以面,又面
又所以
（2）由題意，，又面
以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,
則，，，
則，
設(shè)平面的法向量為
由，即，令
可得平面的一個(gè)法向量為
因?yàn)?br>設(shè)直線與平面所成角為
則
17. 石墨烯有超級(jí)好的保溫功能，從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶．現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對(duì)附著在材料、材料上的石墨各做了5次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖．
（1）由等高堆積條形圖提供的信息，填寫(xiě)列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；
（2）以實(shí)驗(yàn)結(jié)果成功的頻率為概率，用材料制作保溫產(chǎn)品2件，僅從石墨烯結(jié)晶成功與否的角度考慮，求產(chǎn)品制作成功件數(shù)的分布列與期望．
附：，其中．
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為，試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)
（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】
【分析】（1）借助等高堆積條形圖可得列聯(lián)表，再計(jì)算出卡方即可得；
（2）求出的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望.
【小問(wèn)1詳解】
提出假設(shè)：實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與材料無(wú)關(guān)，
，
所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為，試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)產(chǎn)品制作成功件數(shù)為，由題意可知服從二項(xiàng)分布，
成功的概率為，即，
則的可能取值為0，1，2，
，
，
，
的分布列為：
.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
（1）求、的值；
（2）對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），；（2）-∞,0.
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，再由奇函數(shù)的定義可求得的值；
（2）分析出函數(shù)為上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，將所求不等式變形為，可出關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，可得出，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知：是定義在上的奇函數(shù)，，，
即，
所以，，即對(duì)任意的恒成立，.
故：，；
（2）由（1）知，
因此在上是增函數(shù)，
對(duì)任意的，恒成立，
可轉(zhuǎn)化，
根據(jù)在上是奇函數(shù)可知恒成立.
恒成立，即恒成立，
所以，，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是-∞,0.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來(lái)求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
19. 已知圓：，直線：．
（1）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，由直線上的動(dòng)點(diǎn)引圓的兩條切線，若切點(diǎn)分別為，，則在直線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2) 在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【解析】
【分析】（1）先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)，弦心距和半徑的關(guān)系可求出實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則可求得以為直徑的圓，與圓的方程相減可得直線的方程，化簡(jiǎn)后可求出直線所過(guò)的定點(diǎn)
【詳解】（1）圓的方程可化為，
故圓心為，半徑.
則圓心到直線的距離為.
又弦長(zhǎng)為，則，
即，解得.
（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為 ①
則圓心為，半徑，圓與直線相離.
假設(shè)在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
由已知得，
則在以為直徑的圓，
即②上，
①—②得，直線的方程為 ③
又點(diǎn)在直線上，則，即，代入③式
得，
即直線的方程為
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意都成立，故，得.
故在直線上存在一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合計(jì)
實(shí)驗(yàn)成功
4
3
7
實(shí)驗(yàn)失敗
1
2
3
合計(jì)
5
5
10
0
1
2

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