一?單項(xiàng)選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）
1. 設(shè)，則（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求出z及即可計(jì)算作答.
【詳解】依題意，，于是得，
所以.
故選：C
2. 某中學(xué)的高一、高二、高三共有學(xué)生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，為了解該校學(xué)生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生120人，則該樣本中的高二學(xué)生人數(shù)為
A. 80B. 96C. 108D. 110
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)高二總?cè)藬?shù)為人，由總?cè)藬?shù)及抽樣比列方程組求解即可．
【詳解】設(shè)高二總?cè)藬?shù)為人，抽取的樣本中有高二學(xué)生人
則高三總?cè)藬?shù)為個(gè)，
由題可得：，解得：.
故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣中的比例關(guān)系，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．
3. 為保障婦女權(quán)益?促進(jìn)婦女發(fā)展?推動(dòng)男女平等，我國于2011年頒布實(shí)施《中國婦女發(fā)展綱要（2011—2020年）》（以下簡稱《綱要》.《綱要》實(shí)施以來，我國積極推動(dòng)和支持婦女參政議政，婦女參與決策和管理的比例明顯提高，婦女的政治權(quán)利得到有力保障和加強(qiáng).2018年召開的第十三屆全國人民代表大會(huì)共有女代表742名，政協(xié)第十三屆（2018年）全國委員會(huì)中有女委員440人.第一到十三屆歷屆全國人大女代表?政協(xié)女委員所占比重如圖：
下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 第十三屆全國人大女代表所占比重比第十一屆提高3.6個(gè)百分點(diǎn)
B. 第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重比第四屆提高10個(gè)百分點(diǎn)以上
C. 從第一到第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重的平均值低于12%
D. 第十三屆全國人大代表的人數(shù)不高于3000人
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折線圖逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.
【詳解】解：A.第十三屆全國人大女代表所占比重為24.9%，第十一屆為21.3%，提高3.6個(gè)百分點(diǎn)，A正確；
B.第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重為20.4%，第四屆為9%，提高11.4個(gè)百分點(diǎn)，B正確；
C.從第一到第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重的平均值為
，高于12%.
C錯(cuò)誤；
D.第十三屆全國人大代表的人數(shù)約為人，不高于3000人，D正確.
故選：C.
4. 設(shè)非零向量，的夾角為，定義運(yùn)算.下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則
B. （為任意非零向量）
C. 設(shè)在中，，，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)新定義逐一判斷A、C、D選項(xiàng)，舉反例說明B選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，因?yàn)椋裕?br>所以或，所以，故A正確；
對于B，設(shè)分別是與，與，與的夾角，
則，，
不妨取，此時(shí)，，
此時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，在中，，，則，所以，故C正確；
對于D，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以，故D正確；
故選：B.
5. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則面積的最大值為（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理和余弦定理化角為邊后，利用余弦定理求得，代入已知條件并應(yīng)用基本不等式求得的最小值，得的最大值，即得三角形面積最大值．
【詳解】解：，
，化簡得，即，
由余弦定理知，，
，
，
的面積．
故選：B．
6. 如圖，四棱錐的外接球的球心為，其中底面為正方形，若平面過球心，且，，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)條件解三角形即可求解.
【詳解】四邊形為正方形，
∴，∴即為所求異面直線與所成角，
由，可得，.
又，
∴，∴，∴，
∴.
故選：B
7. 有5個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（ ）
A. 甲與丙相互獨(dú)立B. 乙與丁不相互獨(dú)立
C. 甲與丁相互獨(dú)立D. 乙與丙相互獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】首先令事件：“第一次取出的球的數(shù)字是1”， 事件：“第二次取出的球的數(shù)字是2”， 事件：“兩次取出的球的數(shù)字之和是”， 事件：“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，得到，，，，再根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】從5個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，
共有個(gè)基本事件，
令事件：“第一次取出的球的數(shù)字是1”，
事件包含：，，，，共5個(gè)基本事件，
則，
令事件：“第二次取出的球的數(shù)字是2”，
事件包含：，，，，共5個(gè)基本事件，
則，
令事件：“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，
事件包含：，，，，共4個(gè)基本事件，
則，
令事件：“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，
事件包含：，，，，共5個(gè)基本事件，
則，
對選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.
對選項(xiàng)B，，，
所以乙與丁相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤.
對選項(xiàng)C，，，
所以甲與丁相互獨(dú)立，故C正確.
對選項(xiàng)D，，，
所以乙與丙不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.
故選：C
8. 如圖，正方體中，，，， 當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，
則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
∴，令，可得，
又，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，又，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即直線與平面所成的角最大.
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 給定組數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則這組數(shù)據(jù)的（ ）
A. 中位數(shù)為3B. 方差為C. 眾數(shù)為2和3D. 第85百分位數(shù)為4.5
【答案】ABC
【解析】
【分析】分別求出數(shù)據(jù)中的中位數(shù)、方差、眾數(shù)及百分比分位數(shù)即可判斷選項(xiàng)
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，2，2，2，3，3，3，4，5，5，故中位數(shù)為，故A正確；
數(shù)據(jù)中，2，3出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為2和3，故C正確；
平均數(shù)是，
方差是故B正確；
第85百分位數(shù),是數(shù)據(jù)中至少有85%的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個(gè)數(shù)字5為該組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
10. 在某次數(shù)學(xué)考試中，對多項(xiàng)選擇題的要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.”已知某道多項(xiàng)選擇題的正確答案是ABC，且某同學(xué)不會(huì)做該題，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是
B. 該同學(xué)隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是
C. 該同學(xué)僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分概率是
D. 該同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是
【答案】BC
【解析】
【分析】對各項(xiàng)中的隨機(jī)事件，計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出相應(yīng)的概率后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】該同學(xué)隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為，，，；
隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，共有6個(gè)基本事件，分別為，，，，，；
隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為，，，；
隨機(jī)選四個(gè)選項(xiàng)，共有1個(gè)基本事件，即；
僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分概率是，故A錯(cuò)誤；
隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是，故B正確；
僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是，故C正確；
隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
11. 如圖，直角梯形，，，，為中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且則（ ）
A. 平面平面B. 與平面所成角的正切值為
C. 二面角的大小為D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
（1）可先證，，證得面，再得到平面平面.
（2）先用線面角定義得到與平面所成角為，再求正切.
（3）由，得二面角的平面角為，再求其正切即可.
（4）由勾股定理可證，故不垂直.
【詳解】（1）由題意得，，且，
故四邊形為正方形，而，故，
又，有，
，，
由勾股定理得，
，又，面，
平面，故平面平面，所以A正確；
（2）面，有，又，
，面，
與平面所成角為，
，
，所以B錯(cuò)；
（3）由（2）知，，，
二面角的平面角為，
，，所以C正確；
（4），，
故，故不垂直，所以錯(cuò).
故選：AC.
【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：
①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；
②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
12. 設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，，則A可以是
B. 若，，，則
C. 若是銳角三角形，，，則邊長c的取值范圍是
D. 若，則角A的取值范圍是
【答案】CD
【解析】
【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)正弦定理即可判斷A錯(cuò)誤，對選項(xiàng)B，根據(jù)余弦定理即可判斷B錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C，根據(jù)余弦定理即可判斷C正確，對選項(xiàng)D，根據(jù)正弦定理角化邊公式得到，再利用余弦定理即可判斷D正確.
【詳解】對選項(xiàng)A，，解得，故A錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B，，解得或，故B錯(cuò)誤.
對選項(xiàng)C，因?yàn)槭卿J角三角形，
所以，解得，
故C正確.
對選項(xiàng)D，因?yàn)椋?br>所以，，，
即，又因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：CD
二?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)模的意義和已知條件可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)，
則，
即，可得
整理可得：，
所以，
可得：當(dāng)時(shí)最小為，的最小值為，
故答案為：.
14. 如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量的運(yùn)算關(guān)系可求得，再結(jié)合已知建立關(guān)系即可求出.
【詳解】設(shè)，
則
，
，
，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出，利用向量關(guān)系將表示出來.
15. 在正三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是______．
①，為異面直線；②平面；③若，則；④若，則直線與平面所成的角為45°．
【答案】②③
【解析】
【分析】①判斷A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面即可；②取DA的中點(diǎn)N，連接FN，MN，利用平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定證明即可；③取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ，F(xiàn)Q，由平行四邊形、等邊三角形及勾股定理求；④由線面角定義，應(yīng)用幾何法找到直線與平面所成角的平面角，進(jìn)而求其大小.
【詳解】對于①：如圖，連接EF，由題意得，所以A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以AF，BE不是異面直線，①錯(cuò)誤；
對于②：取DA中點(diǎn)N，連接FN，MN，得，，所以，，則四邊形EFNM是平行四邊形，所以，因?yàn)槊鍭FD，所以面ADF，②正確；
對于③：取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ，F(xiàn)Q，由平行且相等知：四邊形EFQB為平行四邊形，則有，又，即，
設(shè)，則，，，
∴，解得，③正確；
對于④：由，，可知△BCE為正三角形，，連接，
易知平面，故即直線與平面所成的角，
，，所以④錯(cuò)誤.

故答案為：②③
16. 如圖所示，要修建一個(gè)形狀為等腰直角三角形的廣場，，且在廣場外修建一塊三角形草地，滿足，.
①若，則______；
②欲使、之間距離最長，則______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①首先利用余弦定理求，并判斷的形狀，中根據(jù)余弦定理，求長；
②首先設(shè)，則，，由余弦定理求得，即，由正弦定理表示出，在中用余弦定理求出，由三角函數(shù)知識得最大值．
【詳解】①若，根據(jù)余弦定理得,
即，即，
，所以，
因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，，則，
所以,
即,
所以；
②設(shè)，則，，
則，
由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得
．
∴時(shí)，取得最大值．
此時(shí)
故答案為：；．
四?解答題（本題共6小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分.解答題應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟）
17. 已知向量．
（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，根據(jù)模長和數(shù)量積即可求解夾角，（2）根據(jù)模長公式求模長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
∵，
∴，
設(shè)與之間的夾角為，,
∴
∵，∴向量與的夾角為
【小問2詳解】
因?yàn)?
．
當(dāng)時(shí),記單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
故當(dāng),取最小值為3，當(dāng)時(shí)，取最大值為7，
故當(dāng)時(shí)，，∴的取值范圍是．
18. 隨著金融市場的發(fā)展，越來越多人選擇投資“黃金”作為理財(cái)?shù)氖侄?，下面將A市把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計(jì)如圖所示.
（1）求a的取值，以及把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)；（結(jié)果用小數(shù)表示，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）
（2）現(xiàn)按照分層抽樣的方法從年齡在和的投資者中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，求至少有1人年齡在的概率.
【答案】（1），中位數(shù)為
（2）
【解析】
【分析】（1）由各組頻率和為1列方程求解出，前2組的頻率和小于，前3組的頻率和大于，從而可判斷出中位數(shù)在第3組，然后求解，
（2）由分層抽樣的定義可求出齡在的投資者抽取3人，年齡在的投資者抽取2人，然后利用列舉法求解概率
【小問1詳解】
依題意，，解得，
因?yàn)榍?組的頻率和為，前3組的頻率和為，
所以所求中位數(shù)為.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可知年齡在和的頻率分別為，
所以年齡在的投資者應(yīng)抽取3人，記為A，B，C
年齡在的投資者應(yīng)抽取2人.記為a，b，
則任取2人，所有的情況為：
，共10種，
滿足條件的為共7種
故至少有1人年齡在的概率為.
19. 在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的大??；
（2）當(dāng)角B為鈍角時(shí)，若點(diǎn)E滿足，，，求BC長度．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可；
（2）由（1）知當(dāng)B為純角時(shí)，，（解法一）根據(jù)平面向量基本定理有，再兩邊平方根據(jù)數(shù)量積公式求解即可；（解法二）設(shè)，則，設(shè).在，中，利用的余弦定理相等列式求解即可
【小問1詳解】
∵
∴，
∴，
∴，而，∴或．
【小問2詳解】
由（1）知當(dāng)B為純角時(shí)，，
（解法一）∵，
∴
∴
∴
整理得：，即
∴
故BC的長度為．
（解法二）∵，設(shè)，則，設(shè)，
在有：，
∴， ①
又在，中有：
∴
∴ ②
②代入①有：
解得（舍去負(fù)值）
故BC的長度為．
20. 為普及抗疫知識?弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，.甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
（1）從甲?乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？
（2）若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
【答案】（1）派甲參賽獲勝的概率更大
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率分別計(jì)算甲、乙比賽勝出的概率比較即可得解；
（2）考慮問題的對立面，計(jì)算兩人都沒有贏得比賽的概率，根據(jù)對立事件的概率之和為1即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，
，，，
，
同理
因?yàn)椋?br>所以，派甲參賽獲勝的概率更大.
【小問2詳解】
由（1）知，設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，
，；
于是“兩人中至少有一人贏得比賽”.
.
21. 如圖，在等腰直角中，，腰長為為外一點(diǎn)，.
（1）若，求長；
（2）若，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在中，可得，，在中，可得，利用余弦定理可得；
（2）設(shè)，在中，根據(jù)正弦定理得，化簡可得的值.
【小問1詳解】
在中，，，
根據(jù)勾股定理得,即,.
∵等腰直角中，,
∴在中，,
根據(jù)余弦定理可得，
∵，
∴，
∴.
【小問2詳解】
設(shè)，則
在中，.
在中，根據(jù)正弦定理得，即，
即，解得，
∴.
22. 已知在長方形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，沿折起平面，使平面平面.
（1）求證：在四棱錐中，；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）當(dāng)點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.
【解析】
【分析】（1）、先在長方形中證明；再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面,得到；然后利用線面垂直的判定證明平面，進(jìn)而證明;
（2）、以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)表示出，再分別求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，進(jìn)而求出最終確定的位置；
【小問1詳解】
連接,為的中點(diǎn)，，,
為長方形,中，,
在中，,
同理,,,
在折疊后的圖形中：
平面平面，平面平面，,平面,
又平面，,
又，平面,平面,,平面，
又平面,,
【小問2詳解】
由（1）可知：、均為等腰直角三角形，過點(diǎn)作底邊的高，交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則,,,,
易知平面的一個(gè)法向量為，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，
設(shè),則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
取，則，，
即當(dāng)點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.

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