2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2-一元線性回歸模型及其應(yīng)用【課件】

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稱 為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中Y稱為_______或 ，x稱為 或 ， 稱為截距參數(shù)， 稱為斜率參數(shù)；e是 與 之間的隨機誤差，如果e＝ ，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.
知識點一　一元線性回歸模型
思考1　經(jīng)驗回歸方程一定過成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點嗎？答案　不一定.思考2　點( )在經(jīng)驗回歸直線上嗎？答案　在.
知識點三　殘差與殘差分析
1.殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為 ，通過經(jīng)驗回歸方程得到的 稱為 ， 減去 稱為殘差.2.殘差分析 是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對 的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
知識點四　對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析
1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以 ，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系.2.殘差平方和法殘差平方和 越小，模型的擬合效果越好.
橫軸為對稱軸的水平帶狀
思考　利用經(jīng)驗回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實值嗎？答案　不一定，他只是真實值的一個預(yù)測估計值.
1.求經(jīng)驗回歸方程前可以不進行相關(guān)性檢驗.(　　)2.在殘差圖中，縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號.(　　)3.利用經(jīng)驗回歸方程求出的值是準確值.(　　)4.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(　　)5.R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(　　)
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
例1　某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程 ；
(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力.
即預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.
跟蹤訓(xùn)練1　隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：
(2)用所求經(jīng)驗回歸方程預(yù)測該地區(qū)2021年(t＝7)的人民幣儲蓄存款.
所以預(yù)測該地區(qū)2021年的人民幣儲蓄存款為12千億元.
例2　已知某種商品的價格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并借助殘差平方和和R2說明回歸模型擬合效果的好壞.
所以回歸模型的擬合效果很好.
跟蹤訓(xùn)練2　為研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；
解　由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有，則需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與重量成線性關(guān)系.
例3　下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：
(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；
解　作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)型曲線y＝c1 的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù).
(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差；
解　對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝ln y，則有變換后的樣本點應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用經(jīng)驗回歸模型來建立y與x之間的非線性經(jīng)驗回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為
(3)利用所得模型，預(yù)測x＝40時y的值.
跟蹤訓(xùn)練3　為了研究甲型H1N1中的某種細菌隨時間x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：
求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程.
解　作出散點圖如圖(1)所示.
由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線y＝cebx的周圍，則ln y＝bx＋ln c.令z＝ln y，a＝ln c，則z＝bx＋a.
相應(yīng)的散點圖如圖(2)所示.
從圖(2)可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗回歸方程來擬合.
1.(多選)以下四個散點圖中，兩個變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是
解析　AC中的點分布在一條直線附近，適合線性回歸模型.
2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析　決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.
3.已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分數(shù)y的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比較大C.無任何參考數(shù)據(jù)D.以上解釋都無道理
解析　將x＝36代入經(jīng)驗回歸方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故這個人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B.
1.如果兩個變量之間的線性相關(guān)程度很高，則其R2的值應(yīng)接近于A.0.5 B.2 C.0 D.1
解析　R2越接近于1，相關(guān)程度越高，故選D.
2.對變量x，y進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是
解析　用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.
3.工人工資y(元)與勞動生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗回歸方程為 ＝50＋80x，下列判斷正確的是A.勞動生產(chǎn)率為1 000元時，工人工資為130元B.勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工人工資平均提高80元C.勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工人工資平均提高130元D.當(dāng)月工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2 000元
解析　因為經(jīng)驗回歸方程的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工人工資平均提高80元.
4.兩個變量的散點圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進行擬合比較合理的是A.y＝a·xb B.y＝a＋bln xC.y＝a·ebx D.y＝a·
解析　由散點圖可知，此曲線類似對數(shù)函數(shù)型曲線，因此可用函數(shù)y＝a＋bln x模型進行擬合.
解析　經(jīng)驗回歸方程是一個模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有些散點不一定在經(jīng)驗回歸直線上.
7.若經(jīng)驗回歸直線方程中的回歸系數(shù) ＝0，則樣本相關(guān)系數(shù)r＝____.
8.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表：??(1)表中數(shù)據(jù)m＝____；
(2)氣象部門預(yù)測三月中旬的平均氣溫約為22 ℃，據(jù)此估計，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為____件.
故三月中旬的銷售量約為14件.
9.已知變量x，y有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：?(1)作出散點圖；
(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的經(jīng)驗回歸方程.
(2)①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；②當(dāng)使用年限為8年時，試估計支出的維修費是多少？
解　由(1)知，當(dāng)x＝8時， ＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限為8年時，支出的維修費約是9.8萬元.
12.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.據(jù)某機構(gòu)預(yù)測，n(n≥10)個城市職工購買食品的人均支出y(千元)與人均月消費支出x(千元)具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為 ＝0.4x＋1.2，若其中某城市職工的人均月消費支出為5千元，則該城市職工的月恩格爾系數(shù)約為A.60% B.64% C.58% D.55%
13.(多選)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為 ＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗回歸方程過樣本點的中心( )C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD.若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg
解析　A，B，C均正確，是經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)，D項是錯誤的，經(jīng)驗回歸方程只能預(yù)測學(xué)生的體重，應(yīng)為大約58.79 kg.
14.某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm,182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_____ cm.
解析　因為兒子的身高與父親的身高有關(guān)，所以設(shè)兒子的身高為Y(單位：cm)，父親身高為X(單位：cm)，根據(jù)數(shù)據(jù)列表：
于是兒子身高與父親身高的關(guān)系式為Y＝X＋3，當(dāng)X＝182時，Y＝185.故預(yù)測該老師的孫子的身高為185 cm.
若x＝5，則預(yù)測y的值可能為A.e5 B. C.e7 D.
列出x，z的取值對應(yīng)的表格如下：
16.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)
解　設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.