1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大.(　　)(2)A公司員工甲購買了某公司的股票，第一天漲了10%，第二天跌了10%，則員工甲不賺不賠.(　　)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa和y＝lgax的增長速度.(　　)(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.(　　)
2.當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是A.y＝100x B.y＝lg100xC.y＝x100 D.y＝100x
根據(jù)函數(shù)特點可知，指數(shù)函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當(dāng)x越來越大時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)增長速度最快.
3.(2024·南寧聯(lián)考)有一組實驗數(shù)據(jù)如表：
則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是A.y＝ B.y＝lg2x
通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，A，B選項中的函數(shù)增長速度越來越慢，不正確；C選項中，當(dāng)x＝6時，y≈21.33；D選項中，當(dāng)x＝6時，y＝18，誤差偏大，故C選項正確.
4.(2023·福州模擬)我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達(dá)到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的關(guān)系為h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為A.26米 B.28米C.31米 D.33米
例1　(1)(多選)(2024·欽州模擬)為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W＝f(t)，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示.給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為A.在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放 量均達(dá)標(biāo)B.在t2時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相等C.甲企業(yè)的污水排放量的最小值大于乙企業(yè)的污水排放量的最大值D.在[0，t1]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水排放量高于乙企業(yè)的污水排放量
題型一　用函數(shù)圖象刻畫變化過程
由圖可知在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量均超標(biāo)，故A錯誤；在t2時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相等，故B正確；甲企業(yè)的污水排放量的最小值不大于乙企業(yè)的污水排放量的最大值，故C錯誤；在[0，t1]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水排放量高于乙企業(yè)的污水排放量，故D正確.
(2)在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由實驗數(shù)據(jù)得到散點圖.由此散點圖，在區(qū)間[－2,3]上，下列四個函數(shù)模型(a，b為待定系數(shù))中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
由散點圖的定義域可排除C，D選項，由散點圖的增長方式可知函數(shù)模型為指數(shù)型.
判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當(dāng)P沿A－B－C－M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是
函數(shù)圖象大致如A選項所示.
例2　(1)(2023·南京模擬)目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，發(fā)現(xiàn)地震時釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lg E＝4.8＋1.5M.則里氏8.0級地震所釋放出來的能量是里氏6.0級地震所釋放出來的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍
題型二　已知函數(shù)模型的實際問題
設(shè)里氏8.0級地震所釋放出來的能量為E1，里氏6.0級地震所釋放出來的能量為E2，則lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，
(2)(2023·無錫模擬)根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度≤0.1 mg/m3為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所竣工時室內(nèi)甲醛濃度為6.05 mg/m3，使用了甲醛噴劑并處于良好通風(fēng)環(huán)境下時，室內(nèi)甲醛濃度μ(t)(單位：mg/m3)與竣工后保持良好通風(fēng)的時間t(t∈N)(單位：天)近似滿足函數(shù)關(guān)系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時間為(參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A.32天 B.33天 C.34天 D.35天
依題意可知當(dāng)t＝0時，μ(t)＝6.05，即6.05＝ ＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝ ＋0.05，由μ(t)＝ ＋0.05≤0.1，
又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的時間為34天.
已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·東莞聯(lián)考)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是100小時，在10 ℃的保鮮時間是60小時，則該食品在20 ℃的保鮮時間是A.20 小時 B.24 小時C.32 小時 D.36 小時
由題意可得eb＝100，e10k＋b＝60，
即該食品在20 ℃的保鮮時間是36小時.
題型三　構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
例3　(2023·宣城模擬)某旅游開發(fā)公司計劃2023年在某地質(zhì)大峽谷開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成本300萬元，若該項目在2023年有游客x萬人，則需另投入成本R(x)萬元，且R(x)＝ 該游玩項目的每張門票售價為100元.為吸引游客，該公司實行門票五折優(yōu)惠活動.當(dāng)?shù)卣疄楣膭钇髽I(yè)更好發(fā)展，每年給該游玩項目財政補貼10x萬元.
(1)求2023年該項目的利潤W(x)(萬元)關(guān)于游客人數(shù)x(萬人)的函數(shù)關(guān)系式(利潤＝收入－成本)；
該項目的門票收入為50x萬元，財政補貼收入為10x萬元，共60x萬元收入，
(2)當(dāng)2023年的游客人數(shù)為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
當(dāng)010p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
且 ∈[60,90]， ∈[50,60]，所以所以p1≥p2，故A正確；
因為 ＝40，所以p3＝ ＝100p0，故C正確；
假設(shè)p2>10p3，則所以所以 ，不可能成立，故B不正確；
所以p1≤100p2，故D正確.
三、填空題9.某商場為了實現(xiàn)100萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在利潤達(dá)到5萬元后，獎金y(單位：萬元)隨利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%，現(xiàn)有三個獎勵模型：①y＝0.2x，②y＝lg5x，③y＝1.02x，則符合該商場要求的模型為______.(填序號)
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的圖象，如圖所示.觀察圖象可知，在區(qū)間[5,100]內(nèi)，函數(shù)y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有函數(shù)y＝lg5x的圖象始終在直線y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝lg5x進(jìn)行獎勵符合商場的要求.
10.(2023·溫州聯(lián)考)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用85 ℃的開水泡制，再等茶水溫度降至55 ℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，如果茶水原來的溫度是T0 ℃，經(jīng)過一定時間t(單位：min)后的溫度T(單位：℃)可由公式T－Tα＝ 求得，其中Tα表示室溫，h是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有一杯85 ℃的綠茶放在室溫為25 ℃的房間中，如果茶溫降到40 ℃需要20 min，那么在25 ℃室溫下，用85 ℃的開水剛泡好的綠茶大約需要放置______ min才能達(dá)到最佳飲用口感.
由題意得40－25＝(85－25)× ，
設(shè)一杯85 ℃的綠茶放在室溫為25 ℃的房間中，茶溫降到55 ℃需要t min，則55－25＝(85－25)× ，
四、解答題11.(2023·南京統(tǒng)考)某企業(yè)為響應(yīng)國家“節(jié)約用水”的號召，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，該企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費(單位：萬元)與設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費C(單位：萬元)與設(shè)備占地面積x之間的函數(shù)關(guān)系為C(x)＝ (x>0).該企業(yè)的凈水設(shè)備購置費與安裝后4年需繳水費之和為y(單位：萬元).(1)要使y不超過7.2萬元，求設(shè)備占地面積x的取值范圍；
要滿足題意，則y≤7.2，
解得11≤x≤20.即設(shè)備占地面積x的取值范圍為[11,20].
(2)當(dāng)設(shè)備占地面積x為多少時，y的值最??？
所以當(dāng)設(shè)備占地面積為15 平方米時，y的值最小.
12.(2024·株洲模擬)研究表明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)y與聽課時間x(單位：分鐘)之間的變化曲線如圖所示，當(dāng)x∈[0,16]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)x∈[16,40]時，曲線是函數(shù)y＝lg0.8(x＋a)＋80圖象的一部分，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時，稱學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”.(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；
當(dāng)x∈[0,16]時，設(shè)函數(shù)f(x)＝b(x－12)2＋84(b

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