1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或模)．
(2)零向量：長度為0的向量，記作0．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
4．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
5．若F為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
6．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
7．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
一、單選題
1．（2024高三上·安徽·期中）已知平面向量和實數(shù)，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
根據(jù)平面向量共線的判定定理結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，則與共線，可知充分性成立；
若與共線，例如，則不成立，可知必要性不成立；
所以“”是“與共線”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024高三上·云南德宏·期末）已知為的邊的中點.若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】應用向量加減、數(shù)乘的幾何意義，用，表示出.
【詳解】由，
所以.
故選：B
3．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，不共線，，，，則（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】
由向量平行的性質(zhì)計算即可.
【詳解】
因為，所以，
，則
解得.
故選：A.
4．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖1，兒童玩具紙風車的做法體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角向中心點翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風車的主體部分就完成了，如圖2，是一個紙風車示意圖，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項；對于C項，理解折紙過程知點是線段的中點，易得結(jié)論；對于D項，合并其中兩個向量后，只需判斷余下的兩向量能否共線即可.
【詳解】不妨設，則，
對于A項，顯然與方向不一致，所以，故A項錯誤；
對于B項，由圖知是鈍角，則，故B項錯誤；
對于C項，由題意知點是線段的中點，則易得：,即得：，故C項正確；
對于D項，由，而與顯然不共線，故．即項錯誤．
故選：C．
5．（2024高二上·新疆·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，互為相反向量，則
C．空間中兩平行向量相等D．在四邊形ABCD中，
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)定義即可求解ABC,根據(jù)向量的減法運算即可求解D.
【詳解】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯誤；
對于B, 若，互為相反向量，則，故B錯誤；
對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；
對于D，四邊形ABCD中，，故D正確.
故選：D
6．（2024高三上·浙江·階段練習）已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形不等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】平面向量，，均為單位向量，則，當且僅當同向共線時取等號，
則當時，與共線，反之，與共線并且方向相反時，，
所以“”是“與共線”的充分不必要條件，A正確.
故選：A
7．（2024·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.
【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B
8．（2024高三·全國·對口高考）給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點；
③若，則；
④若，，則；
其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】結(jié)合向量的概念、性質(zhì)，說明、情況下的反例判斷①、②，由向量相等、共線，注意共線向量傳遞性的前提判斷③、④.
【詳解】①若，只能說明模相等，它們方向不一定相同或相反，錯；
②若，若且，即A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點，若四點共線，不能構(gòu)成平行四邊形，錯；
③若，即、分別為相等向量，故，對；
④若，，當為零向量時不一定成立，錯.
故選：D
9．（2024高一下·江西九江·期中）設為兩個非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合共線向量的定義分析判斷
【詳解】因為，所以同向共線，所以，
因為，所以同向共線，此時不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
10．（2024·海南）在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.
【詳解】
故選：C
【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.
11．（2024·山東濰坊·模擬預測）在中，，點為的中點，設，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量線性運算的幾何意義，結(jié)合平面向量基本定理進行求解即可.
【詳解】因為，點為的中點，
所以
.
故選：A.
12．（2024高二上·云南大理·期末）已知在中，點在邊上，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的線性運算即可.
【詳解】在中，，又點在邊上，且，
則，
故選：A.

13．（2024高三上·重慶·階段練習）在中，為邊上的中線，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因為，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
14．（2024·河南·模擬預測）在等腰梯形中，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，結(jié)合向量的線性運算求解即得.
【詳解】在等腰梯形中，，，，則有，
所以.
故選：A
15．（2024·全國·模擬預測）在等腰梯形中，，，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通過添設輔助線，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加減法將進行轉(zhuǎn)化，最終用來表示即得.
【詳解】
如圖等腰梯形中，取中點，連接，則,,
于是，
.
故選:D.
16．（2024·山西·一模）已知矩形中，為邊中點，線段和交于點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】取中點，可證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可確定為上靠近的三等分點，從而根據(jù)向量線性運算推導得到結(jié)果.
【詳解】取中點，連接，交于點，
，，四邊形為平行四邊形，
，又為中點，，同理可得：，
，
.
故選：D.
17．（2024高三上·廣東·開學考試）在中，已知，，與交于，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過作直線交于，結(jié)合和可求出，再由表示出即可求出答案.
【詳解】如圖，過作直線交于，因為，
所以，因為，所以設，則，
所以，因為，所以，
所以.
故選：C.
18．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點是上靠近的四等分點，與交于點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合平行四邊形性質(zhì)推出，根據(jù)向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】平行四邊形中,，則∽，
因為點是上靠近的四等分點，所以，
所以，

故．
故選：B．
19．（2024·四川綿陽·二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線B．A，B，C三點共線
C．B，C，D三點共線D．A，C，D三點共線
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.
【詳解】對A，與不共線，A錯誤；
對B，則與不共線，B錯誤；
對于C，則與不共線，C錯誤；
對于D，，
即，又線段AC與CD有公共點C，所以A，C，D三點共線，D正確.
故選：D.
20．（2024高三上·山東濱州·期中）已知點是平面內(nèi)任意一點，則“存在，使得”是“三點共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算即可得到結(jié)論.
【詳解】充分性：由得，
故，則，故三點共線，所以充分性成立，
必要性：若三點共線，由共線向量定理可知，從而，所以，所以，
所以必要性成立.
綜上所述：”是“三點共線”的充要條件.
故選：C
21．（內(nèi)蒙古通遼市科爾沁左翼中旗實驗高級中學2024屆高三上學期第二次月考數(shù)學試題）已知向量不共線，，，，則（ ）
A．A，B，C三點共線B．A，C，D三點共線
C．A，B，D三點共線D．B，C，D三點共線
【答案】C
【分析】根據(jù)向量共線定理進行判斷即可.
【詳解】因為不共線，，，，
易得互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，C，D三點不共線，故AD錯誤；
又，易得不共線，則A，C，D三點不共線，故B錯誤；
而，所以A，B，D三點共線，故C正確.
故選：C.
22．（2024·河南·三模）已知、、均為非零向量，且，，則（ ）
A．與垂直B．與同向C．與反向D．與反向
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的定義可得出結(jié)論.
【詳解】因為，，所以與同向，與反向，所以與反向．
故選：C.
23．（2024高三上·安徽亳州·期中）在中，，，與交于點，且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意結(jié)合三點共線的判定定理和結(jié)論分析可得和，運算求解即可.
【詳解】因為，則為的中點，可得，
注意到三點共線，可得，
又因為三點共線，則∥，
則存在實數(shù)，使得，即，
則，可得，
綜上所述：，解得，可得.
故選：B.
24．（2024高三下·河南·階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【答案】A
【分析】根據(jù)向量共線和模長相等的幾何與意義結(jié)合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項判斷即可.
【詳解】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項，如圖

，但是四邊形不是矩形，錯誤；
選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．
選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.
故選：A
25．（2024高三上·遼寧朝陽·階段練習）在梯形ABCD中，，，則（ ）
A．5B．6C．－5D．－6
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的線性表示即可求解.
【詳解】因為，
所以.
所以.
故選：B
26．（2024·福建福州·模擬預測）已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】依題意，設，又是兩個不共線的向量，
所以，所以．
故選：D
27．（2024·陜西安康·模擬預測）已知平面向量與不共線，向量，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)平面共線定理，由向量平行，求得滿足滿足的方程，求解即可.
【詳解】由，且均不為零向量，則，
可得，則，
整理得，解得或．
故選：C．
28．（2024高三上·河南·階段練習）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量共線的性質(zhì)分別設，，結(jié)合條件依次表示出，，對應解出，即可求解.
【詳解】設，，
則，
而與不共線，∴，解得，∴.
故選：A.
29．（2024高三上·福建·階段練習）在中，，，E是AB的中點，EF與AD交于點P，若，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算求得，由此求得m，n，進而求得.
【詳解】
因為，所以，
則.
因為A，P，D三點共線，所以.
因為，所以.
因為E是邊AB的中點，
所以.因為E，P，F(xiàn)三點共線，
所以，
則，解得，從而，，故.
故選：A
30．（2024高一下·陜西渭南·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量，必有
D．若滿足且與同向，則
【答案】C
【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.
【詳解】依題意，
對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；
對于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對于任意向量，必有，故正確；
對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.
故選：C.
31．（2024高一下·上?！ふn后作業(yè)）給出如下命題：
①向量的長度與向量的長度相等；
②向量與平行，則與的方向相同或相反；
③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；
④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；
⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．
其中正確的命題個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的基本概念，對每一個命題進行分析與判斷，找出正確的命題即可．
【詳解】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；
對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；
對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；
對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；
對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故選：B．
32．（2024高一下·山西朔州·期中）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則與的方向相反
D．若，則
【答案】B
【分析】對于A：利用向量不能比較大小直接判斷；對于B：利用向量的線性運算法則直接判斷；對于C：由，可以得到與的方向相同或與中有零向量.對于D： 的方向不確定.即可判斷.
【詳解】對于A：因為向量不能比較大小，所以A錯誤；
對于B：.故B正確；
對于C：若，則與的方向相同或與中有零向量.故C錯誤；
對于D：若，但的方向不確定.故D錯誤.
故選：B
33．（福建省南平市高級中學2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題）下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則不是共線向量
【答案】C
【分析】A. 因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；
B. 不一定相等，所以該選項錯誤；
C. 若，則，所以該選項正確；
D. 若，則也有可能是共線向量，所以該選項錯誤.
【詳解】A. 因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；
B. 若，則不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項錯誤；
C. 若，則，所以該選項正確；
D. 若，則也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選項錯誤.
故選：C
34．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若，則，，（ ）
A．都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形
B．一定不可能構(gòu)成三角形
C．都是非零向量時能構(gòu)成三角形
D．一定可構(gòu)成三角形
【答案】A
【分析】考慮非零向量共線和不共線，可得到BCD錯誤，A正確.
【詳解】ACD選項，若非零向量共線時，也能滿足，但無法構(gòu)成一個三角形，A正確，CD錯誤；
B選項，當非零向量兩兩不共線時，可構(gòu)成三角形，B錯誤.
故選：A
35．（2024·山東泰安·模擬預測）在中，點為中點，點在上且.記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、減法法則線性表示即可.
【詳解】如圖所示：

由，
所以，
又，
，
又因為為中點，
，
則，
故選：B.
36．（2024·河北邯鄲·三模）已知等腰梯形滿足，與交于點，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】
依題意，顯然，故有，
即，，則，故A正確；
又四邊形是等腰梯形，故，即，故B正確；
在中，，故C正確；
又，所以D錯誤；
故選：D.
37．（2024·河北·模擬預測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運算即可求解.
【詳解】如圖，
因為，所以是線段的四等分點，且,
所以,
故A,B錯誤；
由，可得，故C正確，D錯誤，
故選:C.
38．（2024·貴州貴陽·模擬預測）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，向量減法的三角形法則，用基底表示，從而求得結(jié)果.
【詳解】
由D為中點，根據(jù)向量的運算法則，
可得，
在中，.
故選:D．
39．（2024高三下·貴州黔東南·階段練習）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的線性運算的幾何意義，結(jié)合由中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化后即可判定.
【詳解】如圖所示，由中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得：
，
故選：D
40．（2024高一下·全國·階段練習）如圖所示，點E為的邊AC的中點，F(xiàn)為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合圖像將用表示，即可得出答案.
【詳解】解：
.
故選：C.
41．（2024高一下·四川瀘州·期末）在平行四邊形中，對角線與交于點，若，則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)即可求出．
【詳解】在平行四邊形中，，所以．
故選：B．
42．（2024·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點為E，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)向量的線性運算法則求解即可.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B.

43．（2024·廣東廣州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因為三點共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.
【詳解】由，得出，
由得
，
因為三點共線，所以，解得.
故選：D.
44．（2024·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，
又，，所以，
又三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故選：B.
45．（2024高三·山西·階段練習）如圖，在中，D是BC邊中點，CP的延長線與AB交于AN，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，將用表示，再根據(jù)N，P，C三點共線，即可得解.
【詳解】設，
則，
因為N，P，C三點共線，
所以，解得，
所以，所以.
故選：B.
46．（2024·湖北武漢）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】A
【分析】由向量共線的推論知且，結(jié)合已知有，再由重心的性質(zhì)有，根據(jù)平面向量基本定理列方程組即可求值.
【詳解】由題意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故選：A
47．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）在中，為上一點，為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．16
【答案】D
【分析】由題設且，進而可得，將目標式化為，結(jié)合基本不等式“1”的代換求最小值，注意等號成立條件.
【詳解】由題意，如下示意圖知：，且，又，
所以，故且，
故，
僅當，即時等號成立.
所以的最小值是16.
故選：D
48．（湖南省長沙市第一中學2023-2024學年高一下學期第一次階段性檢測數(shù)學試題）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實數(shù)的等式，解之即可.
【詳解】因為與共線，則存在，使得，即，
因為向量、不共線，則，整理可得，即，
解得或.
故選：C.
49．（2024高三·全國·專題練習）已知直線上有三點，，，為外一點，又等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】由向量共線可得，再結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即求.
【詳解】點、、是直線上不同的三點，
存在非零實數(shù)，使；
若，
，；
；
數(shù)列是等差數(shù)列，
；
．
故選：A．
二、多選題
50．（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列命題正確的是（ ）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.
【詳解】對A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A錯誤；
對B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對C，因為與反向共線，
且，都為單位向量，則＋＝，C正確；
對D，若，則，D正確，
故選:BCD.
51．（2024高三上·黑龍江雙鴨山·階段練習）下列說法中不正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若，為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
【答案】BC
【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.
【詳解】對于A，根據(jù)零向量的定義，若，則，故A正確；
對于B，當時，顯然與共線，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或，
故B錯誤；
對于C，設，，顯然為單位向量，但，故C錯誤；
對于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，
即是與非零向量共線的單位向量，故D正確.
故選：BC.
52．（2024高三·全國·專題練習）（多選題）給出下列命題，不正確的有（ ）
A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．的充要條件是且
D．已知λ，μ為實數(shù)，若，則與共線
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量共線的定義以及命題的充分必要條件的定義一一判斷求解.
【詳解】A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，
但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；
B正確，因為＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯誤，當且方向相反時，即使，也不能得到，
所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯誤，當時，與可以為任意向量，滿足，
但與不一定共線．
故選:ACD.
53．（2024高一下·湖南張家界·階段練習）下列命題中錯誤的有（ ）
A．平行向量就是共線向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．與同向，且，則
D．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件
【答案】BC
【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義即可判斷A的正誤；
根據(jù)方向相反的向量和相反向量的定義即可判斷B的正誤；
根據(jù)向量的定義即可判斷C的正誤；
根據(jù)平行向量和相等向量的定義即可判斷D的正誤．
【詳解】由平行向量和共線向量的定義可知，A選項正確；
因為相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，所以B選項錯誤；
因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C選項錯誤；
因為兩個向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等可以推出這兩個向量平行，
因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D正確．
故選：BC.
54．（2024高三·全國·專題練習）（多選題）給出下列命題，不正確的有（ ）
A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．的充要條件是且
D．已知λ，μ為實數(shù)，若，則與共線
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量共線的定義以及命題的充分必要條件的定義一一判斷求解.
【詳解】A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，
但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；
B正確，因為＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯誤，當且方向相反時，即使，也不能得到，
所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯誤，當時，與可以為任意向量，滿足，
但與不一定共線．
故選:ACD.
三、填空題
55．（2024·江蘇）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是 ．

【答案】或0
【分析】根據(jù)題設條件可設，結(jié)合與三點共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點共線，
∴可設，
∵，
∴，即，
若且，則三點共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長度為.
當時， ，重合，此時的長度為，
當時，，重合，此時，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點睛】本題考查了平面向量知識的應用、余弦定理的應用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設出．
56．（2024高三·全國·專題練習）下列命題正確的是 ．（填序號）
①向量、共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使；
②在中，；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量、不共線，則向量與向量必不共線．
【答案】④
【解析】取可判斷命題①的正誤；利用平面向量加法法則可判斷命題②的正誤；利用零向量與任何向量共線可判斷命題③的正誤；利用平面向量的基本定理可判斷命題④的正誤.
【詳解】對于命題①，若，，則向量、共線，但不存在，使得，命題①錯誤；
對于命題②，由平面向量加法法則可得，命題②錯誤；
對于命題③，零向量與任意非零向量共線，但零向量的方向任意，命題③錯誤；
對于命題④，、不共線，則向量、、、均為非零向量，
若與共線，則存在實數(shù)，使得，可得，
，此時不存在，故假設不成立，即與向量不共線，命題④正確.
故答案為：④.
【點睛】本題考查與向量有關(guān)命題正誤的判斷，考查共線向量的判斷以及平面向量加法法則的應用，屬于基礎(chǔ)題.
57．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則 .
【答案】1
【分析】
利用向量線性運算求得，與題干對照即可求解.
【詳解】
，則，，
所以.
故答案為：1
58．（2024高三·全國·專題練習）在中，是邊的中點，，過點的直線交直線分別于兩點，且，則 .
【答案】
【分析】由三點共線的性質(zhì)列式求值.
【詳解】
由題意：
由三點共線知，.
，
消去，得.
故答案為：
59．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù) .
【答案】
【分析】由題設共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設知：共線，且，如下圖，

作，垂足分別為，則，
所以，又，則，
所以，即，故.
故答案為：2
60．（2024高三·全國·專題練習）給出下列四個命題：
①若與是共線向量，則與也是共線向量；
②若，則與是共線向量；
③若，則與是共線向量；
④若，則與任何向量都共線．
其中為真命題的有 (填序號)．
【答案】①②③
【分析】對①，利用平面向量平行四邊形法則即可判斷①為真命題，對②，根據(jù)題意得到與同向，或是零向量，或，均為零向量，即可判斷②為真命題，對③，根據(jù)題意得到與方向相反，或，中至少有一個零向量，即可判斷③為真命題，對④，當是零向量，是非零向量時滿足題意，即可判斷④為假命題.
【詳解】對①，若與是共線向量，由向量的平行四邊形法則可知，
必有與是共線向量，故①為真命題.
對②，若，則與同向，或是零向量，或，均為零向量，
所以與是共線向量，故②為真命題；
對③，若，則與方向相反，或，中至少有一個零向量，
所以與是共線向量，所以③是真命題；
對④，當是零向量，是非零向量時，成立，
而不能與任何向量都共線，所以④是假命題．
故答案為：①②③
61．（2024高一下·安徽合肥·期中）設是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此利用向量共線定理可列出向量等式，即可求得答案.
【詳解】因為三點共線，故,
則，使得，
又，
故，則，解得，
故答案為：
62．（2024高三上·河南·專題練習）已知平行四邊形中，點為線段的中點，交于點，若，則 ．
【答案】/
【分析】作出圖像，利用平面向量的加減和數(shù)乘運算法則即可求解.
【詳解】作圖如下，

則，
故，，．
故答案為：．
63．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習）在梯形中，，則 ．
【答案】6
【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運算，即可求出，從而得到結(jié)果.
【詳解】因為，
又，得到，所以，
故答案為：.
64．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則 .

【答案】
【分析】利用向量的線性運算將用表示，然后根據(jù)系數(shù)相等求解即可.
【詳解】由題意可得，，
所以，所以.
故答案為：.
65．（2024高三下·全國·專題練習）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點E滿足，CD與AE交于點M，若，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量表示結(jié)合平面向量基本定理不解即得.
【詳解】平面四邊形中，，則，又，則，
因此，即，
，
而不共線，所以，.
故答案為：

66．（2024高三下·全國·專題練習）已知的邊的中點為，點在所在平面內(nèi)，且，若，則 .
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算結(jié)合平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得解.
【詳解】如下圖所示：
因為，則，可得，
所以，為的中點，又因為為的中點，
則，
同理可得，
所以，，
因為、不共線，則，解得，故.
故答案為：.
67．（2024高三上·四川南充·階段練習）在平行四邊形 中， 點E滿足且， 則實數(shù) ．
【答案】4
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合平面向量基本定理分析可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：
,
故答案為：4.
68．（2024高三上·江蘇南通·期中）在中，為邊上的中線，為上一點，且，若，且（），則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知，可由向量分別表示出，再由可得含有的等式，又不共線，可得方程組，計算即得.
【詳解】如圖所示，
由為邊的中點，得到，而，
因此，
所以，
因為，得，
因為，設（），所以，
所以，即．
因為與不共線，所以，得，故．
故答案為：.
69．（2024高三上·福建莆田·階段練習）在邊長為的等邊中，在邊上，延長到，使得，若（其中為常數(shù)），則 .
【答案】/1.5；/
【分析】結(jié)合與三點共線，可求得，再根據(jù)根據(jù)余弦定理建立方程即可求解.
【詳解】因為，所以，
又在邊上，即三點共線，所以，即，
所以，又，所以，，
設，，則，.
根據(jù)余弦定理可得，，
因為，所以，即，解得，
所以的長度為.
故答案為：；.

四、解答題
70．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形中，，為的中點，延長交于點，若，求的值.

【答案】
【分析】選為基底，根據(jù)三點共線結(jié)合向量的加減運算表示出，進而表示出以及，利用向量相等列出方程組，求得參數(shù)，即可推出，求得答案.
【詳解】選為基底，一方面，由三點共線得，，
另一方面，由三點共線得
，，
由三點共線知，
可得，解得，
所以，.
由
結(jié)合，得.
71．（2024高一下·河北張家口·階段練習）如圖，在中，是的中點，是線段上靠近點的三等分點，設.

(1)用向量與表示向量；
(2)若，求證：三點共線.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用向量的線性運算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的線性運算及向量共線的充要條件即可求解.
【詳解】（1）是的中點，
；
.
（2），
與平行，
又與有公共點，
三點共線.
72．（2024高三上·吉林四平·階段練習）如圖，在中，已知.
(1)用向量分別表示與；
(2)證明：三點共線.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）選作為一組基底，其他向量用基底表示即可求解；（2）找到和的線性關(guān)系即可得解.
【詳解】（1）因為，
則，.
（2）因為，
所以.
又因為與有公共點，所以三點共線.
73．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

74．（2024高三上·廣東廣州·開學考試）向量與能作為平面向量的一組基底.
(1)若，， ，證明三點共線
(2)若與共線，求的值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量線性運算得，再利用向量共線定理即可證明；
（2）由題設，則得到，解出即可.
【詳解】（1），，
，又因為有公共點點，三點共線.
（2）設，，
即
則，解得
75．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知點是邊長為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點，并繞點轉(zhuǎn)動，分別交邊于點，設，其中．
(1)求的值；
(2)求面積的最小值，并指出相應的的值．
【答案】(1)
(2)時，取得最小值．
【分析】（1）由正三角形的中心的性質(zhì)，有，又三點共線，所以；
（2）面積表示為的函數(shù)，通過換元和基本不等式，求最小值.
【詳解】（1）延長交與，由是正三角形的中心，得為的中點，
則，
由，，得，
又三點共線，所以，即．
（2）是邊長為1的正三角形，則，
．
由，則，
，，解得，
．
設，則，
則，當且僅當，即時取等號，
所以當，即時，取得最小值．
【點睛】方法點睛：
應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．求算式的限值范圍，根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
76．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，.
(1)用表示；
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．
【答案】(1)，，，，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合圖像計算即可得解；
（2）利用平面向量共線定理證明，即可得證.
【詳解】（1）解：在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，
則，
故，
，
，
；
（2）證明：因為，，
所以，
所以，
又因有公共點，
所以B，E，F(xiàn)三點共線．
向量運算
法則(或幾何意義)
運算律
加法
交換律：a＋b＝b＋a；
結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；
當λ

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