一、兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
注：兩角和與差正切公式變形
；
．
二、二倍角公式
①；
②；
③；
三、降次（冪）公式
注：．
四、半角公式
五、輔助角公式
（其中）．
六、其他常用變式
．
七、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
一、單選題
1．（2024·安徽安慶·二模）已知，則（ ）
A．－1B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知條件利用兩角和差的正弦公式展開求得，最后由二倍角公式結(jié)合齊次式化簡求值即可.
【詳解】由，
得，
即，
則，得，則，
所以
．
故選：A．
2．（2024高三上·福建三明·期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由和差角公式以及輔助角公式即可化簡求解.
【詳解】根據(jù)題意，，即，
故，
故選：A
3．（2024·安徽亳州·模擬預測）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知條件算出即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為，
所以，
所以.
故選：C.
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知條件切化弦，整理得出，然后把展開可求出，從而利用兩角和的余弦公式可求解.
【詳解】由于，且，
則，
整理得，
則，
整理得，
所以.
故選：D.
5．（2024高三上·上海靜安·期中）已知、是不同的兩個銳角，則下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意得到與的范圍，再利用正余弦函數(shù)的和差公式，對選項逐一進行化簡，從而利用正余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】因為、是不同的兩個銳角，即，
所以，，
對于A，因為，
所以一定成立，故A錯誤；
對于D，可能成立，故D錯誤；
對于B，因為，
所以恒成立，
即一定不成立，故B正確；
對于C，可能成立，故C錯誤.
故選：B.
6．（2024高三·北京海淀·階段練習）已知O為坐標原點，點．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①④C．①③D．③④
【答案】C
【分析】根據(jù)點的坐標，寫出向量的坐標，根據(jù)模的計算公式求出向量的模，可判斷①②;根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，求出相關(guān)向量的數(shù)量積，可判斷③④.
【詳解】對于①：，，所以，
，故，故①正確；
對于②：， ，，
，因為關(guān)系不定，故不一定相等，故②不正確；
對于③，，，
，
，，故③正確；
對于④，，
，因為未知，所以 與不一定相等，故④不正確.
故選：C
7．（2024·安徽安慶·二模）已知第二象限角滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由兩角和的正弦公式代入化簡所求表達式可得，即可得出答案.
【詳解】因為，且為第二象限角，所以，
于是
.
故選：D.
8．（2024·河南·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由題解得，再由求解即可.
【詳解】由，解得，
所以.
故選：A.
9．（2024高三上·山西忻州·階段練習）已知，則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用兩角和的正切恒等變換公式可求得=，對所求式子利用誘導公式進行化簡，再利用弦化切即可求解.
【詳解】因為，所以，解得=，
則，
故選：D.
10．（2024·江西·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用兩角差的正弦公式展開再平方得到，從而求出，再由兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，即，
所以，則，
所以
.
故選：D
11．（2024·山西晉中·三模）已知，為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.
【詳解】因為，所以 ，
又，為銳角，
所以，，且．
因為，為銳角，，所以，
又， 所以，
故．
故選：D.
12．（2024·全國·模擬預測）已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，求解即可．
【詳解】解：因為
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故選：D.
13．（2024·廣東汕頭·二模）若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導公式化簡可得的值.
【詳解】由已知可得
.
故選：A.
14．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先將代入所求式子通分化簡，再結(jié)合二倍角公式、兩角差的正弦公式，即可得解．
【詳解】解：
．
故選：A．
15．（2024高一下·湖南衡陽·階段練習）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，根據(jù)角的范圍可得到答案.
【詳解】由題意知，
則，即，
所以，即，
又，，則，所以，
，，則
所以有即.
故選：A.
16．（2024·全國）已知為銳角，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
17．（2024·全國）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
18．（2024·全國）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換

所以
即
故選：C.
19．（2024高三上·江西贛州·期末）已知函數(shù)，的最小值為a，則實數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由輔助角公式化簡得，，可得，分析取最小值的情況，求得，即可得到，進而求出a的值.
【詳解】解：，且
則，解得，
，，
則，
，即，解得，
故選：D.
20．（2024高三上·山東·階段練習）已知，，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先對已知等式化簡結(jié)合可求出，則可求出，然后對變形化簡可得，從而可求出的值.
【詳解】因為，
所以，所以．
因為，所以，
因為，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故選：C
21．（2024·廣東廣州·一模）若，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根據(jù)兩角和的余弦公式可得，由誘導公式及的范圍即可求解.
【詳解】，.
由，可得，
即.
，
，
，，且，
根據(jù)函數(shù)易知：，即得：.
故選：A
22．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式，可化簡原式得到，再利用輔助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解
【詳解】，
則
故選：D
23．（2024高一上·浙江寧波·期末）已知，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)誘導公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.
【詳解】由題意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.
24．（2024·重慶·模擬預測）已知角，滿足，，則（ ）．
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)和角公式可得，結(jié)合二倍角公式以及弦切互化得齊次式即可求解.
【詳解】由得，進而，
所以，
故選：B
25．（2024·全國·模擬預測）已知，，滿足，且，，則的值為（ ）
A．－2B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意切化弦結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合運算求解即可.
【詳解】由，即，可得，
則，
可得，
因為，即，
可得，
又因為，即，所以．
故選：B．
26．（2024·全國）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.
【詳解】由題意可得：，
則：，，
從而有：，
即.
故選：B.
【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.
27．（2024·全國·模擬預測）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和差的正弦公式進行求解即可.
【詳解】，，，
故選：B
28．（2024高三上·陜西·階段練習）已知，則等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
故．
故選：C.
29．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)二倍角公式及兩角和的正弦公式進行計算即可.
【詳解】原式
，
故選：C.
30．（2024高三上·江蘇·階段練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用兩角差的正切公式結(jié)合弦化切可得出，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【詳解】因為，即，
整理可得，解得，且有
因此，.
故選：A.
31．（2024高三下·上海金山·期中）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
32．（2024高一下·湖北荊州·期中）化簡：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倍角公式結(jié)合誘導公式求解即可.
【詳解】
故選：A
33．（2024高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.
【詳解】且，，.
又，，.
當時，
，
，，不合題意，舍去；
當，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：.
【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.
34．（2024·江蘇無錫·三模）已知，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.
【詳解】因為，
又因為，，
所以，
所以
因為，所以，
所以，
所以當為奇數(shù)時，，，
當為偶數(shù)時，，，
因為，所以，
因為，所以.
故選：C.
35．（2024·全國·模擬預測）若，則（ ）
A．5B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識求得正確答案.
【詳解】，
所以，則，
所以
故選：A
36．（2024高三上·河南周口·階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）

A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【分析】根據(jù)的圖象求出的解析式，代入化簡得，，函數(shù)的零點個數(shù)即方程的根的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得解.
【詳解】根據(jù)題意：
，
由圖可知，
，，，
，
又，，
又，所以或，
又，即，，
所以，
，
令，所以與一一對應(yīng)，
故函數(shù)的零點個數(shù)即方程的根的個數(shù)即可，根據(jù)圖象不難看出，兩個函數(shù)共有11個交點，
故選：C．

【點睛】思路點睛：根據(jù)圖象求出，代入的解析式化簡得，換元令，由此將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合得解.
37．（2024·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到關(guān)于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【詳解】因為，又，
所以，則，即，
則，即，所以或（舍去），
所以.
故選：B.
38．（2024·福建泉州·模擬預測）若，則（ ）
A．0B．C．3D．7
【答案】D
【分析】
由條件結(jié)合平方關(guān)系及二倍角公式可求，根據(jù)商的關(guān)系和二倍角公式及誘導公式化簡，代入求值即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，即
又，
所以，
故選：D.
二、多選題
39．（2024·全國）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
40．（河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學期期末數(shù)學試題）古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用三角恒等變換，即可化簡，即可求解.
【詳解】，故A正確；
故B正確；
，故C錯誤；
．故D錯誤；
故選：AB
41．（2024高三上·廣東·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個零點
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為
【答案】AD
【分析】首先化簡得，對于A：直接用周期公式求解；對于B：求出的范圍，然后結(jié)合的圖象得零點個數(shù)；對于C：直接計算的值即可判斷；對于D：求出，結(jié)合圖象來列不等式求解.
【詳解】
，
對于A：，A正確；
對于B：當時，，則分別取時對于的的值為函數(shù)在區(qū)間上的零點，只有個，B錯誤；
對于C：，故點不是的對稱中心，C錯誤；
對于D：由已知，
當時，，
因為在上的最大值為，
所以，解得，D正確.
故選：AD.
三、填空題
42．（2024·湖北荊門·模擬預測）若，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可得，從而求，再根據(jù)誘導公式及兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案為:.
43．（2024高三·全國·專題練習）已知，則
【答案】
【分析】由將所求角轉(zhuǎn)化為已知角，再利用誘導公式結(jié)合二倍角的余弦公式即可得解.
【詳解】因為，
所以
.
故答案為：.
44．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知，則 ．
【答案】
【分析】由于要求的正切，等式左邊就將其看成整體，按照兩角差的正弦公式展開，等式右邊直接利用兩角和差的余弦公式整理化簡即可.
【詳解】由兩角差與和的余弦公式，
等式右邊變?yōu)椋海?br>等式左邊將看作整體，按照兩角差的正弦公式展開，左邊得到：.
于是根據(jù)左邊等于右邊得到：，即，顯然，否則，這與矛盾，于是等式兩邊同時除以，得到.
故答案為：
45．（2024高三上·四川·期中）寫出一個使等式成立的的值為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用通分，兩角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化簡，找出條件關(guān)系，求出滿足條件的一個角即可
【詳解】因為
所以
所以
解得：
當時，
所以使等式成立的的一個值為：
故答案為：（答案不唯一）
46．（2024·北京海淀·模擬預測）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是 .
【答案】（滿足或的值均可）
【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】解：實數(shù)，滿足方程組，
則，
由于，
所以，則；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取時，．
故答案為：（滿足或的值均可）
47．（2024·全國·模擬預測）已知，，則 ．
【答案】
【分析】由誘導公式、輔助角公式、倍角公式得出，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合得出.
【詳解】由題知，則，即，即，即，則或，．因為，所以，所以，解得．
故答案為：
48．（2024高一下·上海浦東新·階段練習）已知，且，求的值為 ．
【答案】/
【分析】注意到，利用誘導公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.
【詳解】，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負值舍去），又，則（正值舍去），于是計算可得：
，而，于是
.
故答案為：.
49．（2024高一下·江蘇揚州·期中）已知，，，，則 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，，則，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案為：.
50．（2024高三上·陜西商洛·期中）已知，滿足，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角和差公式整理得，進而可得結(jié)果.
【詳解】因為，
即，整理得，即，
所以．
故答案為：．
51．（2024高三上·江蘇南通·期中）在中，若，則 .
【答案】
【分析】利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導公式化簡可得的值，再利用二倍角的正切公式化簡可得的值.
【詳解】因為，
所以，，
由題意可得，
若，則，不妨設(shè)為銳角，則，
則，不合乎題意，
所以，，故，因此，.
故答案為：.
52．（2024高三上·廣東廣州·開學考試）若角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù) .
【答案】
【分析】由題意可得角是第一象限的角，且，根據(jù)誘導公式可得，不妨取，代入中利用兩角和的正切變形公式化簡可求出的值
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，
所以
因為，，
所以角是第一象限的角，
所以，
不妨取，則，
所以
，
所以，
所以，
所以，
故答案為：
53．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若是的內(nèi)角，且，則等于 .
【答案】
【分析】利用兩角和的正切公式求得，即可求出.
【詳解】由題意知，，即，
∴，
又，∴.
【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式，屬基礎(chǔ)題．
54．（2024高一上·江蘇泰州·期末）若，為銳角，且，則 ；
【答案】
【解析】利用兩角和差正切公式來構(gòu)造出，代入可求得結(jié)果；根據(jù)的規(guī)律可整理得到結(jié)果.
【詳解】
即
故答案為：；
【點睛】本題考查利用兩角和差正切公式求值的問題，關(guān)鍵是能夠通過兩角和差正切公式和特殊角三角函數(shù)值構(gòu)造出所求式子的構(gòu)成部分.
55．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡得到即，由，得到，結(jié)合，即可求得的值.
【詳解】由，
可得，
兩式平方相加，可得：，
即，
又由，可得，所以，所以
因為，且，所以.
故答案為：.
56．（2024高一上·重慶沙坪壩·期末）若，且，，則 .
【答案】
【分析】由題意求出的范圍，，的值，而，由兩角差的余弦公式代入即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因為，，則，
，，所以
所以
，
所以.
故答案為：.
57．（2024高三下·湖南·階段練習）若銳角、滿足，，則 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.
【詳解】因為，，則，，
由、，則，，
所以，，，
所以
.
故答案為：.
58．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點為角終邊上一點.若，且，則 .
【答案】
【分析】利用三角函數(shù)定義求出，利用同角關(guān)系求出，再利用三角恒等變換求出結(jié)果.
【詳解】因為點為角終邊上一點，所以.
又因為，，所以.
因為，所以.
因為，所以，
所以，所以.
故答案為：
59．（2024·山西臨汾·模擬預測）已知為銳角，且，則 ．
【答案】
【分析】對已知式整理可得，結(jié)合角的范圍可得，進而以為整體，結(jié)合三角恒等變換分析求解.
【詳解】因為，
即，
且為銳角，則，
可知，則，
可得，
所以.
故答案為：.
60．（2024高三上·廣東湛江·階段練習）已知，則 .
【答案】
【分析】化簡得到，根據(jù)得到且，從而求出答案.
【詳解】由，
得.
因為，所以當且僅當兩個等號同時成立，
即且時，，
又，，
所以，所以.
故答案為：
61．（2024·全國·模擬預測）在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此類推，在正邊形中，可得到三角恒等式 ；
通過上述， ．
【答案】 ，
【分析】第一個空利用類比和已知格式推斷在正邊形中可得到三角恒等式；
第二個空利用誘導公式將化為，
然后利用降冪公式化簡，結(jié)合求出結(jié)果.
【詳解】記單位向量，在邊長為1的正邊形中，
因為，
所以，
．
由恒等式對任意恒成立，
可知，即，
．
故答案為： ；.
四、解答題
62．（2024高一下·浙江紹興·期末）為了推導兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點E為BC上一點，且，過點D作于點F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；
(2)若，求.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用直角三角形的邊角關(guān)系推理作答.
（2）利用（1）的信息結(jié)合已知，證得，再借助二倍角公式及同角公式計算作答.
【詳解】（1）在中，，，，則，
在中，，，，則，
在中，，，
則，
依題意，四邊形是矩形，則，
所以.
（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，
，又是銳角，于是，
所以.
63．（2024高一下·遼寧·期中）某數(shù)學學習小組研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：
(1)在①和②中任選一個進行證明：
(2)求值：.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）若選①，由利用兩角和的正弦公式及二倍角公式即可證明；
若選②，由利用兩角和的余弦公式及二倍角公式即可證明；
（2）由題，，利用，結(jié)合公式②及正弦的二倍角公式得，即，所以，解此方程即可.
【詳解】（1）若選①，證明如下：
.
若選②，證明如下：
.
（2）由題，，因為，則，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得，
又因為，所以，所以，
整理得解得或，
又，所以.
64．（2024高一上·山西長治·期末）(1)試證明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推導：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
【答案】（1）證明見解析；（2）①答案見解析；②答案見解析
【分析】在單位圓里面證明，然后根據(jù)誘導公式即可證明和，利用正弦余弦和正切的關(guān)系即可證明；用正弦余弦正切的和角公式即可證明對應(yīng)的二倍角公式.
【詳解】(1)不妨令.
如圖，
設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，.
連接.若把扇形繞著點旋轉(zhuǎn)角，則點分別與點重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而，＝，∴.
根據(jù)兩點間的距離公式，得：
，
化簡得：
當時，上式仍然成立.
∴，對于任意角有：.
(2)①公式的推導：
.
公式的推導：
正切公式的推導：
②公式的推導：
由①知，.
公式的推導：
由①知，.
公式的推導：
由①知，.
65．（2024高三上·廣東揭陽·期中）在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：．具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點分別為A，B．
則，，由向量數(shù)量積的坐標表示，有．
設(shè)，的夾角為，則，
另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，對于任意角，有：．
此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）
解決下列問題：
(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）
(2)證明：．
【答案】(1)正確
(2)證明見解析
【分析】(1)利用單位向量和共線向量的概念即可求解；(2)結(jié)合圖像表示出，，，然后結(jié)合(1)中結(jié)論即可求解.
【詳解】（1）正確；因為對于非零向量，是方向上的單位向量，
又且與共線，所以.
（2）因為為的中點，則，
從而在中，，
又M是AB的中點，∴，
又，，
所以，
化簡得，．
66．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；
(2)當，求函數(shù)的值域．
【答案】(1)函數(shù)的對稱軸為，對稱中心
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)運算求解；
（2）采用整體替換的方法，先確定出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)確定出最值，由此求解出的值域.
【詳解】（1）因為，
令，解得；
令，解得；
所以函數(shù)的對稱軸為，對稱中心.
（2）因為，則，
當，即時，函數(shù)取到最大值；
當，即時，函數(shù)取到最小值；
所以函數(shù)的值域為.
67．（2024高三下·上海松江·階段練習）已知.
(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角、輔助角公式化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；
（2）先求，然后由平方關(guān)系和和差公式可得.
【詳解】（1），
由，解得，
又，
函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）知，
又，
，
，
.
68．（2024高三·全國·對口高考）已知函數(shù)；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在區(qū)間上的取值范圍；
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）將代入函數(shù)，利用值為0，求出的值，利用正弦定理求出的值，即可求出角的值；
（2）化簡函數(shù)，即可求出對應(yīng)區(qū)間上函數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意，
在中，，，
，
∴或，
∴在三角形中得或.
所以當時，由勾股定理得，
∴,是等腰直角三角形，
∴.
當時, 由正弦定理得,
，即，
∴，
解得：或，
∵,
∴,
∴,
綜上所述,為或.
（2）由題意，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴,
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，
當, 即時,取最小值,
當, 即時, 取最大值，
所以在區(qū)間上的取值范圍是.
69．（2024高三上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）計算求值：
(1)已知、均為銳角，，，求的值
(2)計算的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平方和公式和三角函數(shù)的和差公式即可得答案.
（2）根據(jù)誘導公式、二倍角公式、輔助角公式即可得答案.
【詳解】（1）、均為銳角，則，
所以，
，
所以
.
（2）
.
（一）
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
題型1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用
1-1．（2024高三下·廣東廣州·階段練習），，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出，再由兩角差的正切公式求.
【詳解】，，則有，，
.
故選：B.
1-2．（2024·安徽淮南·二模）已知，則（ ）
A．B．C．或D．0或
【答案】A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，，湊角法求出或，舍去不合題意的解，得到答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，
所以
當時，
，
因為，
所以，故滿足題意，
當時，
因為，故不合題意，舍去；
故選：A
1-3．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.
【詳解】，
，
兩式相加得，
.
故選：C.
題型2：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形
2-1．（2024·山東泰安·二模）已知，則 .
【答案】
【分析】利用輔助角公式求得，根據(jù)倍角公式和誘導公式化簡目標式，即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，故可得，
則
故答案為：.
2-2．（2024高三上·山東青島·期末）已知，，則 .
【答案】/
【分析】將已知兩式平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】因為，，
故，
，
以上兩式相加可得，即，
故，
故答案為：
2-3．（2024高三·全國·對口高考）的值是 .
【答案】1
【分析】利用正切的和差公式變形即可得解.
【詳解】因為，
所以，故.
故答案為：.
2-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)） ．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，經(jīng)過等量代換與運算可得答案.
【詳解】
．
故答案為：.
2-5．（2024高三下·河南平頂山·階段練習）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用輔助角及兩角和與差的正弦公式化簡，可得，進而求解.
【詳解】由，
可得，
即，
化簡可得，
即，
所以，，
即，，
可得．
故選：C．
（二）
角的變換問題
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
題型3：角的變換問題
3-1．（2024·四川成都·模擬預測）設(shè)，則等于（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】C
【分析】先用兩角差的正切公式可求出的值，再用兩角和的正切公式即可求解
【詳解】因為，所以，
故，
故選：C．
3-2．（2024·四川·三模）若為銳角，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式計算.
【詳解】由為銳角，且，所以，則
.
故選：D
3-3．（2024高一上·福建福州·期末）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先求出，利用差角公式求解答案.
【詳解】因為，所以，所以；
.
故選：A.
3-4．（2024高一上·黑龍江哈爾濱·期末）已知則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cs（α+β）．
【詳解】∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故選：D
（三）
給角求值
（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
題型4：給角求值
4-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）求值：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先化切為弦將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式以及誘導公式進行化簡求值.
【詳解】原式
，
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于弦切互化以及三角恒等變換公式的運用，一方面需要利用以及輔助角公式將分子化為一個整體，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式將分母化為一個整體.
4-2．（2024·廣東湛江·一模） ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和兩角和的余弦公式，準確化簡，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式和兩角和的余弦公式，可得：
.
故答案為：.
4-3．（2024·重慶·模擬預測）式子化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.
【詳解】原式
.
故選：B.
4-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）計算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關(guān)系化簡即可.
【詳解】因為
，所以原式
故選：C
（四）
給值求值
給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．
題型5：給值求值
5-1．（2024·全國）已知，tanα=2，則cs(α?π4)= ．
【答案】
【詳解】由得，又，所以，因為，所以，因為，所以．
5-2．（2024高三上·河北·期末）已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，結(jié)合弦切互化求解.
【詳解】（法一）
．
（法二）因為，所以，
則
．
故答案為：．
5-3．（2024·山東濟寧·三模）已知，則 .
【答案】/
【分析】由輔助角公式和二倍角的余弦公式化簡即可得出答案.
【詳解】因為，
則.
故答案為：.
5-4．（2024·江西·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】利用誘導公式結(jié)合二倍角公式即可求解.
【詳解】由題意可得，
.
故答案為：
5-5．（2024·全國·模擬預測）若，則 ．
【答案】
【分析】利用誘導公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得，然后由可解.
【詳解】因為
，
所以，
所以．
故答案為：
（五）
給值求角
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導公式求角．
題型6：給值求角
6-1．（2024高三上·上海嘉定·期中）若為銳角，，則角 .
【答案】
【分析】結(jié)合兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，進而求得.
【詳解】由于為銳角，所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案為：
6-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，，其中，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用倍角公式可得，再結(jié)合兩角和差公式運算求解；
（2）根據(jù)同角三角關(guān)系可得，利用兩角和差公式求，并結(jié)合角的范圍分析求解.
【詳解】（1）因為，可得，
又因為，則，可得，
所以.
（2）因為，則，且，可得，
所以，
可得，
又因為，可得，所以.
6-3．（2024高一上·福建三明·階段練習）已知，，，.
(1)求；
(2)求角.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）兩邊平方得，從而求出，得到，聯(lián)立求出正弦和余弦，得到正切值；
（2）由題目條件得到，故，由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，進而由求出正弦值，結(jié)合角的范圍得到答案.
【詳解】（1）①，兩邊平方得，
所以，
從而，
因為，所以，
故，，，
所以，②
聯(lián)立①②解得，，
故；
（2）因為，，，
所以，
由于在上單調(diào)遞減，
所以，
其中，
由（1）知，，
而，與矛盾，舍去，
，滿足要求，
故，
所以
，
因為，
所以.
6-4．（2024高三上·江西撫州·階段練習）已知，，且，，則的值是 .
【答案】
【分析】由平方關(guān)系求得，，再求出即可得解.
【詳解】解：因為，，且，，
所以，，且，
則，
所以.
故答案為：.
（六）
三角恒等變換的綜合應(yīng)用
（1）進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．
題型7：三角恒等變換的綜合應(yīng)用
7-1．（2024·湖南·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當時，求的最大值，并求當取得最大值時x的值．
【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)最大值為，此時.
【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，求得，得到，進而求得取得最大值時x的值.
【詳解】（1）解：因為
，
所以的最小正周期為，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）解：因為，所以，
所以，所以，
當，即時，，
所以的最大值為，此時．
7-2．（2024高三上·天津·期中）已知函數(shù)，圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由
，
因為圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，可得，即，
所以，可得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：由，可得，
因為，可得，所以，
所以.
7-3．（2024高三·全國·對口高考）已知．若的最小正周期為．
(1)求的表達式和的遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】(1)；的單調(diào)遞增區(qū)間為．
(2)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和．
【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，利用周期公式求，可得其函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）利用不等式性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
所以，
因為的最小正周期為，，
所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）因為，
所以，
所以，即，
所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，
當時，函數(shù)取最小值，最小值為.
7-4．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當即時，函數(shù)取最大值.
7-5．（2024高三上·天津和平·階段練習）已知函數(shù)
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：
(2)若，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡函數(shù)式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可；
（2）結(jié)合（1）得，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及正弦函數(shù)的和差公式計算即可.
【詳解】（1）原函數(shù)式可化為，
則其最小正周期為，
令，
即單調(diào)遞減區(qū)間為：；
（2）由上可知，
又，所以，
則，
故
.

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