專題17 同角三角函數的基本關系和誘導公式5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測（解析版）-試卷下載-教習網

一、同角三角函數基本關系
1、同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．
（2）商數關系：；
二、三角函數誘導公式
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當為奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可．
注：1、利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數的基本關系式得到關于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【詳解】因為，又，
所以，則，即，
則，即，所以或（舍去），
所以.
故選：B.
2．（2024·四川巴中·模擬預測）勾股定理，在我國又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內隨機取一點，該點落在小正方形內的概率為，則“趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設正方形的邊長，較小的角為，則中間小正方形的邊長為，由題意可得，顯然可得，即可得到，從而求出.
【詳解】設正方形的邊長，較小的角為，則中間小正方形的邊長為，
由題意可得，
顯然，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以，所以.
故選：D
3．（2024·全國·模擬預測）已知，則（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用已知的三角函數值，利用換元法，結合三角函數的誘導公式，可得答案.
【詳解】令，則，
從而
.
故選：A.
4．（2024·山西·模擬預測）已知為銳角，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到，利用同角三角函數的關系求角的正弦，再利用誘導公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.
【詳解】因為為銳角，所以且，所以得，
由誘導公式得，.
所以.
故選:D
5．（2024高三上·安徽合肥·階段練習）已知角為鈍角，且角終邊上有一點，則角（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數的誘導公式及三角函數的定義即可求解.
【詳解】點，由誘導公式可化為，
由三角函數的定義知，，
又因為為鈍角，，
所以.
故選:B.
6．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習）在平面直角坐標系中，在在角終邊上，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據三角函數的定義求角的三角函數值，再利用誘導公式化簡求值.
【詳解】因為點在角終邊上，則，，
所以,
.
故選：B
7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函數定義求得，再利用誘導公式化簡即可.
【詳解】由題意得，
，
故選：C.
8．（2024·全國·模擬預測）已知直線的傾斜角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據直線一般方程可求得，再利用誘導公式及同角三角函數之間的基本關系可得其結果.
【詳解】由直線的方程為，得斜率，
則
；
故選：A．
9．（2024·陜西寶雞·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用誘導公式對已知條件化簡得；再利用同角三角函數基本關系求出；最后利用二倍角公式即可求解.
【詳解】.
由可得：.
因為，
所以.
所以.
故選：C.
10．（2024·全國·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由誘導公式和同角三角函數關系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齊次化求出答案.
【詳解】
因為，
所以，
故，
因為，
所以，故，
解得，
所以.
故選：B．
11．（2024·全國·模擬預測）已知圓，過點，作圓的兩條切線，切點分別為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設切線的方程為，求得圓心到切線的距離，求得的值，得到，結合，即可求解.
【詳解】由題意知，圓的圓心為，半徑，
且切線，的斜率都存在，
設切線的方程為，即，
因為直線與圓相切，所以圓心到切線的距離，
解得或，所以，
在四邊形中，因為，可得，
所以.
故選：A．
12．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用誘導公式，平方關系和商關系即可求解.
【詳解】.
故選：D
13．（2024·陜西西安·二模）已知，則（）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】因為，由誘導公式可得選項.
【詳解】.
故選：A.
14．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據，借助于誘導公式，即可求得結果．
【詳解】，
的值為，
故選：
15．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查誘導公式的基礎運用，套用公式即可.
【詳解】利用誘導公式可得，
故選：B.
16．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化簡已知得，再求的值.
【詳解】由得，
所以在第一、二象限，
所以.
故選：D.
17．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式以及同角三角函數的平方關系可得出關于、的方程組，求出這兩個量的值，即可求得的值.
【詳解】因為，
由題意可得，解得，
因此，.
故選：B.
18．（2024高一下·湖南長沙·階段練習）已知，且，（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將已知等式兩邊平方，利用三角函數的基本關系求得的值，結合的范圍確定與的正負，再利用完全平方公式及三角函數的基本關系可求得的值.
【詳解】因為，兩邊平方得，
故，所以與導號，
又因為，所以，，
所以.
故選：C.
19．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）已知是三角形的一個內角，且滿足，則（）
A．2B．1C．3D．
【答案】A
【分析】利用平方關系可求得，可解得，再結合是三角形的一個內角即可得，即可求出.
【詳解】將兩邊同時平方可得，即；
所以
若，解得，這與是三角形的一個內角矛盾，
所以，解得，此時求得.
故選：A.
20．（2024高三上·北京·階段練習）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于直線對稱，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據題意利用任意角的三角函數的定義，結合誘導公式可求得結果.
【詳解】因為平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于直線對稱，
所以，即，
所以，
因為，
所以，
故選：B
21．（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知，則“”是“”的（）
A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件
【答案】D
【分析】根據誘導公式的逆運用以及由三角函數的概念即可判斷其充分性，由代入化簡計算即可判斷其必要性，從而得出結論.
【詳解】若，則，
故，即．
又，故或，充分性不成立；
若，即，所以，
所以，所以必要性成立．
故選：D．
22．（2024·陜西榆林·二模）已知，則=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用誘導公式和倍角公式化簡求值.
【詳解】，
由，有，
兩邊平方得，則，
故.
故選：C.
23．（2024高三上·北京海淀·階段練習）已知為第二象限的角，且，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據平方關系求出，再利用誘導公式即可得解.
【詳解】因為為第二象限的角，且，
所以，
所以.
故選：A.
24．（2024高一上·山西太原·階段練習）已知，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據角的范圍及正弦值求出余弦值，進而利用誘導求出答案.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
.
故選：C
25．（2024·全國·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結合誘導公式與同角三角函數的基本關系運算即可得.
【詳解】由題意得，則，
故
.
故選：D.
26．（2024高三上·云南昆明·階段練習）若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由誘導公式可得出，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，結合同角三角函數的商數關系可求得的值.
【詳解】因為，則，
所以，，
聯立，解得，
因此，.
故選：B.
27．（2024高三上·四川成都·階段練習）已知角的終邊過點，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函數定義，結合誘導公式計算得解.
【詳解】由角的終邊過點，得，，
所以.
故選：A
28．（2024高三上·安徽·階段練習）在平面直角坐標系中，設角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若角的終邊過點，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據任意角的三角函數的定義可得，再利用誘導公式、二倍角公式運算求解.
【詳解】由題意得，，則，
則
．
故選：A．
29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的終邊上一點，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函數的定義可得，進而由商數關系可求.
【詳解】因為是角的終邊上一點，
所以，
則，
故選：B.
30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根據終邊上的點可求得：，，再結合三角函數誘導公式從而求解.
【詳解】因為：（為坐標原點），
所以:由三角函數的定義，得，，
所以：.故C項正確.
故選：C.
31．（2024高一上·江蘇常州·階段練習）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整體代換法與誘導公式化簡求值即可.
【詳解】依題，令，則，
，
所以
.
故選：A
32．（2024高三上·重慶永川·期中）已知，，則（）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由條件化簡求得，將所求式子利用三角恒等變換化簡再根據同角三角函數關系式轉化為正切求得結果.
【詳解】由，即，
又，解得，
.
故選：B.
33．（2024高一下·山東濰坊·階段練習）下列化簡正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】應用誘導公式以及同角三角函數的基本關系對四個選項驗證即可.
【詳解】對于A，由誘導公式得，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：B.
二、多選題
34．（2024·遼寧·模擬預測）設為第一象限角,,則（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由題意得是第一象限角,所以,再利用誘導公式和同角三角函數關系式對選項逐個計算確定正確答案.
【詳解】由題意得,
則,
若在第四象限,則,
所以也是第一象限角,即,,A項錯誤;
,B項正確;
,C項錯誤;
,D項正確.
故選:BD.
35．（江蘇省宜興中學、泰興中學、泰州中學2023-2024學年高一上學期12月聯合質量檢測數學試卷）質點和在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，同時出發(fā).的角速度大小為，起點為圓與軸正半軸的交點，的角速度大小為，起點為角的終邊與圓的交點，則當與重合時，的坐標可以為（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由題意列出重合時刻t的表達式，進而可得Q點的坐標，通過賦值對比選項即可得解.
【詳解】點的初始位置，銳角，
設時刻兩點重合，則，即，
此時點，
即，，
當時，，故A正確；
當時，，即，故C正確；
當時，，即，故D正確；
由三角函數的周期性可得，其余各點均與上述三點重合，故B錯誤，
故選：ACD.
36．（2024高一下·河南焦作·階段練習）已知角，是銳角三角形的三個內角，下列結論一定成立的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據三角形內角和及誘導公式，三角函數單調性一一判定選項即可.
【詳解】由題易知，
，，
即A、B、C結論成立.
對于D，由銳角三角形知，，得，
因此，所以錯誤.
故選：ABC
37．（2024高一下·河北滄州·階段練習）在△ABC中，下列關系式恒成立的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】結合三角形的內角和定理和誘導公式，準確運算，即可求解.
【詳解】對于A中，由，所以A正確；
對于B中由，所以B正確；
對于C中，由
，所以C正確；
對于D中，
，所以D錯誤．
故選：ABC.
38．（2024高一上·江蘇無錫·階段練習）下列結論正確的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】本題可通過誘導公式將轉化為，A正確，然后通過誘導公式將轉化為，B正確，最后根據以及同角三角函數關系判斷出C錯誤以及D正確.
【詳解】A項：，A正確；
B項：因為，
所以，B正確；
C項：因為，
所以，C錯誤；
D項：，D正確，
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查誘導公式以及同角三角函數關系的應用，考查的公式有、、、等，考查化歸與轉化思想，是中檔題.
39．（2024高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】對于A、B，由同角三角函數的基本關系進行化簡證明即可，對于C、D，由誘導公式進行化簡證明即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
40．（2024·全國）若，則．
【答案】
【分析】根據同角三角關系求，進而可得結果.
【詳解】因為，則，
又因為，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
41．（2024高一上·福建莆田·階段練習）已知，，那么 .
【答案】
【分析】由同角三角函數關系及已知條件求得，代入目標式求值即可.
【詳解】由，，則，
所以.
故答案為：
42．（2024高三·全國·對口高考）若，求的值為 .
【答案】/
【分析】由已知求出，再將化為，利用齊次式法求值，即得答案.
【詳解】由可得，
因為不適合，故，
所以，
故，
故答案為：
43．（2024高三上·江西南昌·階段練習）若，則 .
【答案】
【分析】分式上下同除以，化弦為切，代入求值即可.
【詳解】，
.
故答案為：.
44．（2024·上海浦東新·模擬預測）已知是關于的方程的兩根，則 .
【答案】
【分析】先通過根與系數的關系得到的關系，再通過同角三角函數的基本關系即可解得.
【詳解】由題意：，所以，
所以，即，解得.
故答案為：.
45．（2024高三·全國·專題練習）已知，則．
【答案】
【分析】
由立方差公式，得.將兩邊平方，解得，代入即可得解.
【詳解】由題知，
因為，兩邊平方有，
所以，所以.
故答案為：.
46．（2024高三上·安徽合肥·階段練習）已知，，且為第二象限角，則 .
【答案】/
【分析】由已知可求出的取值范圍，由同角三角函數的平方關系求出的值，可求出的值，再利用誘導公式結合弦化切可求得所求代數式的值.
【詳解】因為，，且為第二象限角，
則，解得或，
因為，
整理可得，即，解得（舍）或，
所以，，，
所以，，
因此，.
故答案為：.
47．（2024·全國·模擬預測）若，則的最大值為，的最小值為．
【答案】 9 1
【分析】借助誘導公式將函數式轉化，再利用兩點間的距離公式將數轉化為形，利用形的直觀來求最值.
【詳解】因為，
所以
，
此式可看作點到點的距離．
而點的軌跡是圓．
又點到圓心的距離為2，所以的最大值，的最小值．
故答案為：9；1
【點睛】將所給函數式展開必將陷入命題人的圈套，此時要整體把握目標，借助誘導公式將函數式轉化，再利用兩點間的距離公式將數轉化為形，利用形的直觀來求最值，既簡單又節(jié)省時間．本題不僅要求學生具備扎實的基本功，具有整體把握目標的能力，還對學生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、運算求解能力等要求較高．
48．（2024·四川綿陽·三模）已知，，則 .
【答案】/
【分析】根據誘導公式以及同角關系即可求解.
【詳解】由得，
由可得，故.
故答案為：
49．（2024·山西陽泉·三模）已知，且，則．
【答案】/
【分析】整體法誘導公式結合同角三角函數關系求出答案.
【詳解】因為，所以，故，
所以.
。
故答案為：
50．（2024·浙江溫州·二模）已知，則 .
【答案】
【分析】利用同角三角函數的關系化簡為齊次式，再代入，可得答案.
【詳解】因為，
所以、.
故答案為：
51．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知，則的值是．
【答案】5
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.
【詳解】因為，
所以
，
故答案為：5.
52．（2024高三·全國·專題練習）已知，則．
【答案】
【分析】由同角三角函數的平方關系和商數關系，并分析三角函數值的正負即可求解.
【詳解】解：已知①，則，
，
，，則，，
②，
聯立①②，得，
，
故答案為：.
53．（2024高三上·湖南衡陽·期中）已知，則．
【答案】
【分析】平方，結合同角三角函數平方關系即正弦二倍角公式求解.
【詳解】兩邊平方得：
，
解得：.
故答案為：
54．（2024·全國·模擬預測）已知，則 .
【答案】/0.2
【分析】由三角函數的誘導公式化簡可得.
【詳解】由題可得.
故答案為：
55．（2024高三上·內蒙古包頭·階段練習）若，則 .
【答案】
【分析】以為整體，根據誘導公式運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
56．（2024高一下·黑龍江佳木斯·開學考試）已知，且，則．
【答案】/
【分析】設,,則,，從而將所求式子轉化成求的值，利用的范圍確定的符號.
【詳解】設,,那么,從而.
于是.因為,
所以.由,得.
所以,
所以.
故答案為：.
57．（2024高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知角的終邊與單位圓交于點，則 .
【答案】/-0.5
【分析】根據任意角三角比的定義和誘導公式求解.
【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以
，
故答案為：.
58．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若角的終邊落在直線上，則．
【答案】或
【分析】化簡得到，考慮角為第一或第三象限角兩種情況，計算得到答案.
【詳解】因為角的終邊落在直線上，所以角為第一或第三象限角，
，
當角為第一象限角時，，；
當角為第三象限角時，，．
故答案為：或.
四、解答題
59．（2024高三·全國·專題練習）已知角的終邊落在直線上．求
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】由角的終邊落在直線上可得，再根據同角函數的關系求解即可.
【詳解】（1）由角的終邊落在直線上可得
則原式=；
（2）原式.
60．（2024高一下·安徽·期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點P，若點位于軸上方且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，，三個直接的關系，可得.
（2）由可得.
【詳解】（1）由三角函數的定義，，，
兩邊平方，得
則，，，
所以，
.
（2）由（1）知，，
.
61．（2024高一上·廣東東莞·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，為單位圓上一點，射線繞點O按逆時針方向旋轉后交單位圓于點B，點B的橫坐標為.
(1)求的表達式，并求；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據三角函數的定義，得到，進而求得的值；
（2）根據題意，求得，進而三角函數的基本關系式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為點，可得，所以，
根據三角函數的定義，可得，
所以.
（2）解：由，可得，
因為，所以，
當時，即，可得；
當時，即，可得，
綜上可得，的值為.
62．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證:.
【答案】見解析
【解析】從左邊入手，先按多項式展開，再利用“1”的代換，構造完全平方式等于右邊得證.
【詳解】左邊
右邊.
所以原等式成立.
【點睛】本題主要考查了利用同角三角函數基本關系式證明等式問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
63．（2024高二·全國·課后作業(yè)）證明：.
【答案】證明見解析
【解析】直接利用商數關系和平方關系，從左邊證明等于右邊即可.
【詳解】左邊=，
，
，
=右邊.
即原等式成立.
【點睛】本題主要考查同角三角函數基本關系式的運用，還考查了轉化求解問題的能力，屬于中檔題.
64．（2024高一上·四川廣安·期末）已知
(1)化簡；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導公式化簡即可；
（2）利用誘導公式及同角三角函數的關系計算即可.
【詳解】（1）因為
，
所以.
（2）由誘導公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
65．（2024高一·全國·課后作業(yè)）證明：，．
【答案】證明見解析
【分析】按的奇偶性分類討論，用誘導公式變形可證．
【詳解】證明：當n為偶數時，令，，
左邊．
右邊，∴左邊=右邊．
當n為奇數時，令，，
左邊
．
右邊，∴左邊=右邊．
綜上所述，，成立．
66．（2024高一·全國·專題練習）求證：．
【答案】證明見解析.
【分析】利用三角函數的誘導公式和同角三角函數基本關系式證明.
【詳解】左邊==–tanα=右邊，
∴等式成立．
67．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）（1）求證：；
（2）設，求證.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）（2）應用誘導公式化簡等式中結構復雜的一側，即可證結論.
【詳解】（1）左邊= =右邊，所以原等式成立.
（2）方法1：左邊= ===右邊，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左邊= ===右邊，等式成立.
68．（2024高三·全國·對口高考）若，求的值.
【答案】
【分析】由已知可求出，利用誘導公式化簡，進而結合齊次式法求值，即得答案.
【詳解】由可得，
故
.
69．（2024高三上·河南周口·期中）（1）若，求的值；
（2）設，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由同角關系得，然后化求值為關于的齊次式，再弦化切代入計算；
（2）由誘導公式、同角關系化簡后代入計算．
【詳解】（1），則，，
.
（2）∵
，
∴．
70．（2024高三上·江蘇揚州·期末）在平面直角坐標系中，是坐標原點，角的終邊與單位圓的交點坐標為，射線繞點按逆時針方向旋轉弧度后交單位圓于點，點的縱坐標關于的函數為
(1)求函數的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根據特殊值對應的特殊角及三角函數的定義，結合函數值的定義即可求解；
（2）根據（1）中結論及誘導公式，利用同角三角函數的平方關系及商數關系即可求解.
【詳解】（1）因為點在單位圓上，所以由三角函數的定義可得，
又因為，所以，
所以，
.
（2）由可得，即，
由于得，又，所以，
由平方關系得，
所以.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口訣
函數名不變，符號看象限
函數名改變，符號看象限
（一）
同角求值
（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數的符號，再利用三角形三角函數定義求未知三角函數值．
（2）若無象限條件，一般“弦化切”．
題型1：同角求值
1-1．（2024高一上·廣東江門·期末）已知，求，的值.
【答案】為第四象限角時，，；為第二象限角時，，
【分析】借助同角三角函數基本關系計算即可得.
【詳解】由，故有，即，
又，故，
即，則，
當時，即為第四象限角時，，
當時，即為第二象限角時，.
1-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，則 .
【答案】0
【分析】利用同角的三角函數關系直接求解，注意分類討論．
【詳解】因為且，可知為第二象限角或第三象限角，
由得
（1）當為第二象限角時，，，；
（2）當為第三象限角時，，，；
綜上可知：.
故答案為：0.
1-3．（2024高三·全國·對口高考）已知，求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將平方即可求得答案；
（2）利用立方和公式結合同角的三角函數關系即可求得答案；
（3）結合（1）的結果，將化為，繼而化為，即可得到關于的方程，即可求得答案.
【詳解】（1）由可得，
即；
（2）
；
（3）由于，故，
即，
由于，故，
故.
1-4．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，是關于的一元二次方程的兩根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用韋達定理以及同角三角函數的平方關系求解即可；
（2）根據已知條件判斷出，所以利用即可求解.
【詳解】（1）由已知得①，②，
將①兩邊同時平方得，
則，所以；
（2）∵，，，
∴，，∴，
.
1-5．（2024高三·山西運城·學業(yè)考試）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根據，分式同除可得.
（2）根據先將轉化為，再將分式同除可得.
【詳解】（1）
（2）
（二）
誘導求值與變形
（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數化成銳角三角函數．
（2）通過等誘導變形把所給三角函數化成所需三角函數．
（3）等可利用誘導公式把的三角函數化
題型2：誘導求值與變形
2-1．（2024高三·全國·專題練習）的值為
【答案】/
【分析】根據三角函數的誘導公式，準確運算，即可求解.
【詳解】由三角函數的誘導公式，可得：

.
故答案為：.
2-2．（2024高一下·甘肅天水·期末）化簡
【答案】
【分析】應用誘導公式化簡后，根據同角三角函數的關系得解.
【詳解】原式．
2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知則．
【答案】/
【分析】通過換元，得到，，再利用誘導公式即可求出結果.
【詳解】令，則，，
因為，所以，所以，
故答案為：.
2-4．（2024高三·江蘇·對口高考）已知，且，則的值是 .
【答案】
【分析】先用誘導公式化簡，再通過同角三角函數的基本關系求得.
【詳解】，因為，所以，所以，所以，所以.
故答案為：.
2-5．（2024高三上·山東泰安·期中）已知是第四象限角，且，則 .
【答案】
【分析】利用誘導公式與同角三角函數的基本關系進行求解即可.
【詳解】由題意，得，
即
因為是第四象限角，即，
所以，
則，
所以，
故答案為：-2
2-6．（2024高一上·湖南長沙·階段練習）若、是關于的方程的兩個根，則 .
【答案】/
【分析】先根據韋達定理得到，進而求得，，再結合誘導公式化簡求值即可.
【詳解】由題意得，，則或，
又，即，解得或（舍去），
則，
所以
.
故答案為：.
2-7．（2024高三·全國·專題練習）（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正切函數的誘導公式，結合特殊角的正切值進行求解即可.
【詳解】．
故選：C．
（三）
同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用
（1）利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形．
（2）注意角的范圍對三角函數符號的影響．
題型3：三角函數式化簡求值
3-1．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習）已知為第二象限角，且滿足，則
【答案】/
【分析】根據為第二象限角得到，利用同角三角函數關系式化簡得到
的值，兩邊平方得到，再由誘導公式化簡可得答案.
【詳解】因為為第二象限角，所以，
，
所以，兩邊平方可得，
則.
故答案為：.
3-2．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知，若，則= .
【答案】
【分析】將所求式利用同角的三角函數基本關系式進行三角恒等變換化簡即得.
【詳解】由知于是，
故
故答案為：.
3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的終邊經過點，則（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用誘導公式化簡，再進行弦化切代入即可.
【詳解】
因為角的終邊經過點，則，則，
故選：C.
3-4．（2024高三·全國·專題練習）已知sin(3π＋θ)＝，則＋＝ .
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由誘導公式及同角三角函數基本關系式化簡求值.
【詳解】由，可得，
∴

.
故答案為：18.
3-5．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據題意結合倍角公式以及齊次式問題分析求解.
【詳解】因為，
又因為，即，且，
可得，
則，
所以.
故選：C.
題型4：同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用
4-1．（2024高一上·江蘇淮安·期末）已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據誘導公式化簡，判斷，結合計算，即可得答案.
（2）判斷，求出其值，化簡為，代入求值即可.
【詳解】（1）由于，且，
故，且，
則；
（2）由于，
因為，故，則，
所以.
4-2．（2024高一下·山東東營·期中）已知角滿足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據同角三角函數關系，求得，即可求得結果；
（2）利用誘導公式化簡，根據（1）中所求，即可求得結果.
【詳解】（1）由題意和同角三角函數基本關系式，有，
消去得，解得或
因為角是第三象限角，所以，，
（2），
當角是第一象限角時，，
當角是第三象限角時，，
4-3．（2024高三·全國·專題練習）已知，求的值．
【答案】
【分析】根據誘導公式和正余弦齊次式的求法可將所求式子化為關于的式子，代入的值即可得到結果.
【詳解】因為，
，
所以，
又，所以.
故答案為：.
4-4．（2024高一上·廣東深圳·期末）已知．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平方關系及商數關系有，即可求值；
（2）應用誘導公式化簡，再由商數關系及已知求值.
【詳解】（1）；
（2）.
（四）
三角恒等式的證明
三角恒等式的證明中涉及到同角三角函數基本關系，和角公式，差角公式，二角公式，輔助角公式等基本知識點，理解和掌握這些基本知識點是解答該類問題的基礎和關鍵
題型5：三角恒等式的證明
5-1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證：當或3時，.
【答案】證明見解析
【分析】根據題設，應用誘導公式化簡等式左側即可.
【詳解】當時，左邊=；
當時，左邊=；
綜上，或有原等式恒成立.
5-2．（2024高一·全國·課前預習）求證：＝．
【答案】證明見解析
【分析】運用誘導公式結合同角三角函數的基本關系將等式兩邊分別化簡，進而證明問題.
【詳解】左邊
.
右邊.
∴左邊＝右邊，故原等式成立．
5-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析
【解析】根據同角三角函數式關系,結合齊次式的化簡即可證明.
【詳解】（1）證明:根據同角三角函數關系式,化簡等式左邊可得
而右邊
所以原式得證.
（2）證明:根據同角三角函數關系式,可得
而右邊
原式得證.
（3）證明:
而右邊
原式得證
（4）證明:由同角三角函數關系式可知
而右邊
原式得證
【點睛】本題考查了利用同角三角函數關系證明三角函數恒等式,屬于基礎題.
5-4．（2024高三·全國·專題練習）（1）求證：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求證：2sin2α=sin2β+1.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）將代入左式，化簡即可得到右式.
（2）將，代入條件，通分化簡得到，即2cs2α=cs2β，然后由，將余弦化成正弦即可證得結論.
【詳解】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cs2α）=tan2α-tan2αcs2α=tan2α-sin2α，則原等式得證.
（2）因為tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
從而2cs2α=cs2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，則原等式得證.

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