一、選擇題（每小題3分，共24分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x2-7x=1B. 3x+4=1C. 3x2-2xy-5y2=0D. =0
【答案】A
【解析】
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可得答案.
【詳解】A、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確；
B、該方程中的未知數(shù)是最高次數(shù)是1，屬于一元一次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、該方程不是整式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．
2. 維維在一次射擊訓(xùn)練中，連續(xù)10次射擊的成績(jī)?yōu)?次8環(huán)，4次9環(huán)，1次10環(huán)，則維維這10次射擊的平均成績(jī)?yōu)椋? ）
A. 8.8環(huán)B. 8.7環(huán)C. 8.6環(huán)D. 8.5環(huán)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)計(jì)算出總環(huán)數(shù)再除以射擊次數(shù)即可得到平均成績(jī)．
【詳解】
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的定義，熟練掌握求平均數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．
3. 若菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該菱形的邊長(zhǎng)為（ ）
A. B. 4C. 25D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，即可得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出和 ，根據(jù)勾股定理求出AD即可．
【詳解】解：解方程，得，
即，
∵四邊形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的邊長(zhǎng)為，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì)，正確求出方程的根是解題的關(guān)鍵．
4. 已知小明同學(xué)身高1.5米，經(jīng)太陽光照射，在地面的影長(zhǎng)為2米，他此時(shí)測(cè)得寶塔在同一地面的影長(zhǎng)60米，那么塔高為（ ）
A. 45米B. 60米C. 80米D. 90米
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)塔高為xm，利用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”得到，然后解關(guān)于x的方程即可．
【詳解】解：設(shè)塔高為xm，
根據(jù)題意得，解得x=45．
所以塔高為45m．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．
5. 如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角為的滑雪道，滑雪道長(zhǎng)米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度的長(zhǎng)為（ ）米
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題．根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：，
米，
故選：A．
6. 如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗（）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度x為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出x的長(zhǎng)．求出和相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出，再根據(jù)外徑的長(zhǎng)度解答．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵外徑為，
∴，
∴．
故選：C．
7. 二次函數(shù)的最小值是0，那么的值等于（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了求二次函數(shù)的最值．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的最小值是0，
∴，解得：．
故選：B．
8. 如圖，中，，，在x軸上，，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在此函數(shù)圖象上的點(diǎn)D處，則k的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得和的長(zhǎng)，設(shè)，則點(diǎn)，，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，列方程，即可求解．
詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：
，，
根據(jù)折疊，可得，，
，
，
，
根據(jù)勾股定理，可得，
∵中，，，，
∴，
設(shè)，
則點(diǎn)，，
點(diǎn)和點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得，
∴，
∴，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9. 的值等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了特殊的三角值的混合運(yùn)算．根據(jù)即可解答．
【詳解】解：，
故答案為：．
10. 若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式及方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求得．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：．
故答案為：
11. 已知，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)．直接利用比例的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：，
∴，
故答案為：．
12. 將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式之一般式化為頂點(diǎn)式，利用配方法整理求解即可．利用配方法先提出二次項(xiàng)的系數(shù)，湊成完全平方式即可求解．
【詳解】解：
，
故答案為：．
13. 如圖，已知斜坡的坡度，坡長(zhǎng)米，在斜坡上有一棵銀杏樹，小李在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，測(cè)得水平距離米．若，點(diǎn)，，，在同一平面上，于點(diǎn)，則銀杏樹的高度為_________米．

【答案】
【解析】
【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用．根據(jù)坡度為和勾股定理求出和，從而得出，再由直角三角形和求出，繼而求出銀杏樹的高度．
【詳解】解：在中，．
設(shè)，，
米，
．
（負(fù)值舍去）．
（米），（米）．
（米），
（米）．
，
．
即，
（米）．
（米）
故答案為：
14. 如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，且過點(diǎn)，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③； ④．其中錯(cuò)誤的結(jié)論有_________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．由對(duì)稱性可求得拋物線與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，容易判斷①②③，再由時(shí)可判斷④，可得出答案．
【詳解】解：二次函數(shù)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，
拋物線與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，即，故③錯(cuò)誤；
開口向下，與軸的交點(diǎn)在軸的上方，
，，
，故②錯(cuò)誤；
拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，即，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，
，故④錯(cuò)誤；
綜上可知錯(cuò)誤的是②③④，
故答案為：②③④．
三、解答題（共10小題，共78分）
15. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握用配方法、公式法和因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）選用公式法求解此一元二次方程；
（2）選用配方法求解此一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
，
，；
【小問2詳解】
解：整理得，
配方，得，即，
開平方，得，
，．
16. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
17. 某學(xué)校每年抽出一部分資金購買書籍用于擴(kuò)充圖書室．已知2022年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為10000元，2024年用于購買圖書的費(fèi)用增加到14400元，求該校這兩年購買圖書的費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程即可．
【詳解】解：設(shè)該校這兩年購買圖書的費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為，
則，
解得：，（舍去），
答：該校這兩年購買圖書的費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為．
18. 如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，點(diǎn)E在BC邊上，DF⊥AE于F．
（1）求證：△ADF∽△EAB；
（2）若DF=6，求線段EF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，，然后利用得到，最后結(jié)合，即可證明；
（2）先利用勾股定理得出AF=8，由△ADF∽△EAB得，可求出，然后利用勾股定理求出AE，最后根據(jù)線段的和差即可求出EF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：在中，，
，
，即，解得，
在中，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，利用圖形中發(fā)現(xiàn)公共角、公共邊等隱含條件證明相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)A、B、C點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①，圖②，圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡．
（1）在圖①中，畫出的邊上的中線；
（2）在圖②中畫出，點(diǎn)、分別在邊、上，滿足；
（3）在圖③中畫出，點(diǎn)、分別在邊、上，使得與是位似圖形，且點(diǎn)為位似中心，位似比為．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）見解析
【解析】
【分析】本題考查作圖位似變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
（1）取的中點(diǎn)，連接，線段即為所求；
（2）分別取，的中點(diǎn)，，連接，線段即為所求；
（3）取格點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，取點(diǎn)，使得，連接，線段即為所求．
【小問1詳解】
解：如圖①中，線段即為所求．
；
小問2詳解】
解：如圖②中，線段即為所求．
；
【小問3詳解】
解：如圖③中，線段即為所求．
．
20. 如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為）建羊圈（矩形，用的圍欄圍成總面積為的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程實(shí)際應(yīng)用，設(shè)，則，再根據(jù)矩形面積計(jì)算公式列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)，則，
由題意得，，
解得或（舍去），
∴羊圈的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度為．
21. 為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級(jí)共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對(duì)每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測(cè)評(píng)后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定（成績(jī)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：體育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．
信息二：美育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．
信息三：20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）．
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：______；
（2）下列結(jié)論正確的是______；（填序號(hào)）
①體育成績(jī)低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；
②參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“合格”；
（3）請(qǐng)結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．
【答案】（1）4 （2）①
（3）18人．
【解析】
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識(shí)，個(gè)體占比，中位數(shù)定義，用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）用樣本總體減去良好成績(jī)的人生，合格成績(jī)的人數(shù)，待提高成績(jī)的人數(shù)即可得出答案；
（2）①用體育成績(jī)低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷；②用中位數(shù)的定義判斷即可；
（3）用樣本估計(jì)總體即可求解．
【小問1詳解】
解：，
故答案為：4．
【小問2詳解】
解：①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)圖可知：
體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有8人，
∴體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的，故①正確．
②∵一共有20人，成績(jī)從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，
∴中位數(shù)位于之間，
即參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“良好”，故②錯(cuò)誤．
故有①正確，
故答案為：①．
【小問3詳解】
解：根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績(jī)都在90分以及以上的只有2人．
故七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)有（人）．
22. 閱讀與計(jì)算，請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．
角平分線分線段成比例定理，如圖1，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過作．交的延長(zhǎng)線于．
任務(wù)：
（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖3，已知中，，，，平分，則的周長(zhǎng)是______．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，以及勾股定理．
（1）如圖2，過作．交的延長(zhǎng)線于，利用平行線分線段成比例定理得到，利用平行線的性質(zhì)得，，由得，所以，于是有；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出，再利用（1）中的結(jié)論得到，即，則可計(jì)算出，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而可得到的周長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：如圖2，過作．交的延長(zhǎng)線于，
，，，
，
，
，
；
（2）解：如圖3，，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周長(zhǎng)．
故答案為：．
23. 如圖，在四邊形，，，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、、重合時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）線段的長(zhǎng)為_____；
（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；
（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
【答案】（1）10； （2）2或5.5；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)D作于E，先證明四邊形是矩形，得，，從而得出，然后由勾股定理求解；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，只能是， 當(dāng)時(shí)，得，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，只能是，過點(diǎn)D作于E，證明，則，求得，故，此時(shí)，解得：；
（3）分兩種情況： 1)當(dāng)點(diǎn)P上時(shí)，延長(zhǎng)到F，證明出，則，解得：；2)當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，延長(zhǎng)、相交于E，延長(zhǎng)到F，由，解得：，，可得，則，此時(shí)，故，解得：．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)D作于E，如圖，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理，得，
故答案為：10；
【小問2詳解】
解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B、C重合
∴只能是，如圖，

當(dāng)時(shí)，由（1）知，，
∴，
解得：；
②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B、C重合
∴只能是，過點(diǎn)D作于E，如圖，

由翻折得：
由（1）知：，，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
解得：；
綜上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，t的值為2或．
【小問3詳解】
解：①分兩種情況：1)當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，延長(zhǎng)到F，如圖，

由（1）知：，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
解得：；
2)當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，延長(zhǎng)、相交于E，延長(zhǎng)到F，如圖，

∵
∴
∴
∴
解得：，，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得：．
綜上，當(dāng)時(shí)，t的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．注意分類討論思想的應(yīng)用，以免漏解．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，且a是常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)、（其中）是坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，以、為鄰邊構(gòu)造矩形．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，求；
（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）由題意得，，則軸，根據(jù)軸，可得，，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；
（3）由，可得m>0(m-5)2-3(m-5)>m2-3m，解不等式組即可．
【小問1詳解】
解：拋物線是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，，
∴軸，
點(diǎn)在拋物線上，軸，
，，
，，
；
小問3詳解】
解：由于，如圖，

拋物線在矩形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而減小，
m>0(m-5)2-3(m-5)>m2-3m，
；
綜上所述，的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，列不等式（組解決數(shù)學(xué)問題．
分組
人數(shù)
m
7
2
7

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