一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合A=?1,1,2,4,B=x∣0≤x≤2，則A∩B=( )
A. {?1,2}B. {1,4}C. {1,2}D. {?1,4}
2.若z=1+i，則z=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
3.已知向量a=1,2，b=?4,x，a⊥b，則x=( )
A. ?8B. ?2C. 2D. 8
4.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a6+a7=15，則S11=( )
A. 30B. 55C. 80D. 110
5.已知x∈R，則“x=1”是“x+1(x?1)=0”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 必要條件D. 既不充分也不必要
6.已知甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球．先從甲中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊抑须S機(jī)取出一球，用A1表示事件“從甲罐出的球是紅球”，A2表示事件“從甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”，則下列結(jié)論正確的是( )
A. PB=922B. PB|A1=711
C. PB|A1+PB|A2=711D. PA1A2=14
7.小明、小紅等5人報(bào)名學(xué)校的三類(lèi)選修課(球類(lèi)、武術(shù)類(lèi)、田徑類(lèi))，規(guī)定每個(gè)人只能報(bào)其中的一類(lèi)選修課，且每類(lèi)選修課至少一人報(bào)名，則小明和小紅不報(bào)同一類(lèi)選修課的情況有( )
A. 132種B. 114種C. 96種D. 84種
8.已知點(diǎn)P為橢圓C:x216+y212=1上任意一點(diǎn)，直線l過(guò)⊙M:x2+y2?4x+3=0的圓心且與⊙M交于A,B兩點(diǎn)，則PA?PB的取值范圍是( )
A. 3,35B. 2,34C. 2,36D. 4,36
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題是真命題的是( )
A. 若m//α，n//α，則m//n；B. 若α⊥γ，β⊥γ，則α//β
C. 若m⊥α，n//α，則m⊥nD. 若α//β，β//γ，m⊥α，則m⊥γ
10.已知函數(shù)fx=x3?3x2?3?m，則( )
A. fx只有1個(gè)極小值點(diǎn)
B. 曲線y=fx在點(diǎn)3,f3處的切線斜率為9
C. 當(dāng)fx有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為?3,1
D. 當(dāng)fx只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為?∞,3∪1,+∞
11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的 曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為x2+y23=x2y2，則( )
A. 曲線C有兩條對(duì)稱(chēng)軸
B. 曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為12
C. 曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積最大值為18
D. 四葉草面積小于π4
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若an是公比為3的等比數(shù)列，且a1+a3=5，則a5= ．
13.曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線的傾斜角為 ．
14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，Q為圓M:(x?4)2+(y?1)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
記?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=5，c=4 5，sinC=45．
(1)求sinA的值．
(2)若?ABC是銳角三角形，求?ABC的面積．
16.(本小題12分)
已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．
(1)求an的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=n?a2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn．
17.(本小題12分)
如圖，在三棱錐P?ABC中，底面ABC為等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=4，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，PO=2 3，且PO⊥面ABC．
(1)證明：AC⊥面POB；
(2)若M為BC的中點(diǎn)，求平面PAB與平面POM的夾角的余弦值．
18.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=ex?ax?a3．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；
(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
19.(本小題12分)
已知A，B分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P2 2,n是雙曲線C上的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=|AB|=4．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)(4,0)的直線l:x=my+4，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)(異于A，B).
(i)求m的取值范圍；
(ii)設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上．
參考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.CD
10.BC
11.BCD
12.812
13.π4
14.3
15.解：(1)因?yàn)?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=5，c=4 5，sinC=45，
由正弦定理的asinA=csinC得sinA=asinCc=5×454 5= 55．
(2)解法一：因?yàn)?ABC為銳角三角形，由sinA= 55得csA= 1?sin2A=2 55，
同理可得csC= 1?sin2C=35，
所以，sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC= 55?35+2 55?45=11 525，
所以，S△ABC=12acsinB=12×5×4 5×11 525=22．
解法二：因?yàn)?ABC為銳角三角形，由sinC=45可得csC= 1?sin2C=35，
由余弦定理得c2=a2+b2?2abcsC，即25+b2?10b×35=80，整理可得b2?6b?55=0，
因?yàn)閎>0，解得b=11，故S?ABC=12absinC=12×5×11×45=22．

16.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an是公差為d，且d≠0，且a1=1，
∴a3=a1+2d=1+2d，a9=a1+8d=1+8d，
又a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a32=a1a9，
∴1+2d2=1×1+8d，即d2?d=0，
即d(d?1)=0，解得d=1或d=0(舍)，
∴an=a1+(n?1)d=1+(n?1)=n．
(2)由(1)得an=n，則a2n=2n，又bn=n?a2n，則bn=n?2n，
又Sn=b1+b2+b3+???+bn?1+bn，
所以Sn=1×2+2×22+3×23+???+n?12n?1+n?2n①，
2Sn=1×22+2×23+3×24+???+n?12n+n?2n+1②，
②得：?Sn=2+22+23+???+2n?n?2n+1=21?2n1?2?n?2n+1=1?n?2n+1?2，
所以Sn=n?1?2n+1+2．

17.解：(1)連接BO，因?yàn)锽O是等腰直角三角形ABC斜邊AC的中線，所以，AC⊥OB，
因?yàn)镻O⊥面ABC，AC?面ABC，則PO⊥AC，
因?yàn)镻O∩OB=O，PO、OB?平面POB，所以，AC⊥平面POB．
(2)因?yàn)镻O⊥面ABC，OB⊥AC，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，O?xyz．
則A0,?2,0、B2,0,0、P0,0,2 3、O0,0,0、M1,1,0，
AB=2,2,0，AP=0,2,2 3，OP=0,0,2 3，OM=1,1,0，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=x1,y1,z1，
則m?AB=2x1+2y1=0m?AP=2y1+2 3z1=0，取x1= 3，可得m= 3,? 3,1，
設(shè)平面POM的一個(gè)法向量為n=x2,y2,z2，
則n?OP=2 3z2=0n?OM=x2+y2=0，取x2=1，可得n=1,?1,0，
所以，csm,n=m?nm?n=2 3 7× 2= 427．
因此，平面PAB與平面POM的夾角的余弦值為 427．

18.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，fx=ex?x?1，則f′(x)=ex?1，
則f′(1)=e?1，f(1)=e?2，
故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程y?e+2=e?1x?1，
即為y=e?1x?1;
(2)f′(x)=ex?a，
當(dāng)a?0時(shí)，f′(x)>0恒成立，f(x)無(wú)極值;
當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x>lna時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x0，得a>1，
故a的取值范圍是(1,+∞)．
19.解：(1)由題意可知A(?a,0)，B(a,0)，因?yàn)閨AB|=2a=4，所以a=2．
因?yàn)镻(2 2,n)，k1k2=n2 2+2?n2 2?2=n2(2 2)2?4=n24=4，得n2=16，
又因?yàn)镻(2 2,n)在雙曲線上，則(2 2)24?16b2=1，
所以b2=16．
所以雙曲線C的方程為x24?y216=1．
(2)(i)由題意知直線l的方程為x=my+4，Dx1,y1，Ex2,y2．
聯(lián)立x24?y216=1x=my+4,
化簡(jiǎn)得4m2?1y2+32my+48=0，
因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以y1y2>0，
即m滿(mǎn)足：{m2?1≠0(32m)2?192(4m2?1)>0y1y2=484m2?1>0,
所以m12 ，
即m的取值范圍為(?∞,?12)∪(12,+∞).
(ii)y1+y2=?32m4m2?1，y1y2=484m2?1，則y1y2=?3y1+y22m，
直線AD的方程為y=y1x1+2(x+2)，直線BE的方程為y=y2x2?2(x?2)．
聯(lián)立直線AD與BE的方程，得y1x1+2(x+2)=y2x2?2(x?2)，
所以y2my2+2?y1my1+6x=2y1my1+6+2y2my2+2，
所以6y2?2y1x=4my1y2+4y1+12y2，
所以x=2my1y2+2y1+6y23y2?y1=?3y1?3y2+2y1+6y23y2?y1=3y2?y13y2?y1=1，
所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線x=1上.

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