時量：120分鐘 滿分：150分
一、單選題（每小題5分，總分40分）
1. 下列敘述中正確的是（ ）
A. 已知向量，，且，則與的方向相同或相反
B. 若，則
C. 若，，則
D. 對任一非零向量，是一個單位向量
【答案】D
【解析】
【分析】對A，若，有一個為零向量即可判斷；對B，向量相等定義即可判斷；對C，若即可判斷；對D，由單位向量的定義判斷.
【詳解】對A，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，若或時，與的方向不是相同或相反，故A錯誤；
對B，，且，方向相同才可判斷，故B錯誤；
對C，當(dāng)時，若，，與是任意向量，故C錯誤；
對D，對任一非零向量，表示與方向相同且模長為1的向量，故D正確.
故選：D
2. 如圖，已知，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運算法則即可求出．
【詳解】由，得，而，
所以.
故選：B
3. 已知向量，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；
【詳解】由于，
則，
則；
故選：B
4. 在中，角的對邊分別為，若，則
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理可求得，根據(jù)的范圍可求得結(jié)果.
【詳解】由正弦定理可得：
且 或
本題正確結(jié)果：
【點睛】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知向量，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算律可得，再利用向量垂直的坐標(biāo)運算，可得，進而可得，，即可求解.
【詳解】因為，得到，化簡得，所以，
又，所以，得到，
所以，則，，
所以的面積為，
故選：A.
6. 平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).若與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù),先求得，再由，即可求解.
【詳解】∵三個力平衡，
∴，
∴.
設(shè)與的夾角為，則，
即，
解得
故選：A
7. 已知在正方形中，，為中點，為正方形內(nèi)部或邊界上一點，則的最大值為（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)，，得到，求出最大值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，
則，
故當(dāng)時，取得最大值，最大值為.
故選：D.
8. 在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由兩角差的正弦及平方關(guān)系求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求出的取值范圍．
【詳解】解：中，，
即，得，
又，，
所以，
化簡得，
解得，或（不合題意，舍去），則，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以，
設(shè)，其中，
所以，
由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得：在單調(diào)遞減；
，，
所以．
故選：A．
二、多選題（每小題6分，總分18分）
9. 下列說法中錯誤的有（ ）
A. 兩個非零向量，若，則與共線且反向
B. 已知不能作為平面內(nèi)所有向量一個基底
C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量滿足，則與的夾角是
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)共線以及基底的定義即可求解B，根據(jù)投影向量的計算公式即可求解C，根據(jù)模長以及夾角公式即可求解的D.
【詳解】對于A, 兩個非零向量，若，則與共線且反向,正確，
對于B，由于，故，
則與共線，故不能作為基底，B正確，
對于C, 在向量上的投影向量是，故C錯誤，
對于D, 非零向量滿足：
，
故，
故與的夾角是，D錯誤，
故選：CD
10. 在△中，內(nèi)角所對邊分別為，若，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理將邊化角，即可判斷A；利用余弦定理判斷B，利用正弦定理將邊化角，即可判斷C，利用完全平方公式判斷D.
【詳解】因為，由正弦定理可得，
所以，即，故A正確；
由余弦定理，即，
又，所以，即，故B錯誤；
因為，由正弦定理可得，
所以，故C正確；
因為，，所以
，故D正確.
故選：ACD
11. 已知點在所在的平面內(nèi)，，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，且，則
B. 若，則
C. 若，則動點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心
D. 若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項，根據(jù)得到，同理得到，故；B選項，取的中點，故，故⊥，取的中點，同理可得⊥，點P是的外心，故；C選項，由正弦定理得到，故，點P在的中線上，C錯誤；D選項，作出輔助線，結(jié)合向量數(shù)量積運算法則得到，從而得到，點在的中垂線上，故動點的軌跡經(jīng)過的外心.
【詳解】A選項，因為，所以，
所以，同理可得，
故點是的垂心，
故，故A正確；
B選項，取的中點，則，故，故⊥，
取的中點，則，故，故⊥，
故點P是的外心，故，B正確；
C選項，由正弦定理得，故，
故，
取的中點，則，
故點P在的中線上，重心在其上，故C錯誤；
D選項，
，
設(shè)的中點，，
所以，
，
所以，
故點在的中垂線上，故動點的軌跡經(jīng)過的外心，故D正確.
故選：ABD
【點睛】結(jié)論點睛：點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的重心，
點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的垂心，
點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的外心，
點為所在平面內(nèi)的點，且，則點為的內(nèi)心，
三、填空題（每小題5分，總分15分）
12. 已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式結(jié)合共線向量列出不等式組求解即得.
【詳解】由向量與的夾角為銳角，得，且不共線，
因此，解得且，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
13. 如圖，中，，且的面積為，點在邊上，，則的長度等于_____.

【答案】
【解析】
【分析】先利用三角形的面積公式求出的大小，再根據(jù)等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解.
【詳解】因為中，，且的面積為，
所以，解得，
所以或，
當(dāng)時，因為，所以，
又，所以，不符合題意；
當(dāng)時，因為，所以，
又，所以在中，由正弦定理可得，
即.
故答案為：
14. 已知在中，，，則的最大值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量數(shù)量積的定義將目標(biāo)式用三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值即可.
【詳解】在中，由正弦定理得，
所以，所以，
因為，
所以，
，
，因為，所以，
故當(dāng)時，即時，取得最大值，且最大值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是利用正弦定理結(jié)合數(shù)量積定義將目標(biāo)式用三角函數(shù)表示，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到所要求的最值即可．
四、解答題（第15題13分，第16、17題各15分，第18、19題各17分）
15 已知向量與，，．
（1）設(shè)與的夾角為，求的值；
（2）若向量與互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)乘與加法的坐標(biāo)公式計算可得，根據(jù)向量的夾角的坐標(biāo)公式即可求解；
（2）根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示列方程求的值．
【小問1詳解】
因為，，
所以，
所以，.
則，，
．
小問2詳解】
，
，
由向量與互相平行可得，，
整理可得，，解得，．
16. 在中，角、、所對的邊為、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若，的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得該三角形的周長.
【小問1詳解】
由余弦定理可得，且，故.
【小問2詳解】
由三角形的面積公式可得，可得，
由余弦定理可得，故，
因此，的周長為.
17. 如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發(fā)現(xiàn)在北偏東方向、距離為60海里處有毒販正駕駛小船以每小時海里的速度往北偏東的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時海里的速度前往緝捕．
（1）求緝毒船經(jīng)過多長時間恰好能將毒販抓捕；
（2）試確定緝毒船的行駛方向．
【答案】（1）緝毒船經(jīng)過2小時恰好能將毒販抓捕
（2）緝毒船的行駛方向為北偏東
【解析】
【分析】（1）設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，可知，利用余弦定理運算求解；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦定理可得，進而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)緝毒船經(jīng)過t小時恰好能將毒販抓捕，
由題意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以緝毒船經(jīng)過2小時恰好能將毒販抓捕.
【小問2詳解】
由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且為銳角，則，可得，
所以緝毒船的行駛方向為北偏東.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）依題意可得，再由正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【小問1詳解】
解：
，
∴，此時，，即，；
【小問2詳解】
解：由，
∴，由正弦定理及已知可得，
整理得，即，
由，則，所以，
則，因為，所以，，∴
由
；
由，即，所以，所以，所以，
則，則，
∴，
∴的取值范圍為．
19. 如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成兩條射線，、分別為、同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.
（1）在仿射坐標(biāo)系中，若，求；
（2）在仿射坐標(biāo)系中，若，，且與的夾角為，求；
（3）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，、分別在軸、軸正半軸上，，，、分別為、中點，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可知，，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值；
（2）計算出、、，利用平面向量的夾角公式可得出關(guān)于的方程，解之即可；
（3）設(shè)、，利用平面向量的線性運算得出、關(guān)于、的關(guān)系式，利用余弦定理可得出和平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡得出，設(shè)，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最大值.
【小問1詳解】
由題意可知，、的夾角為，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
因為，則，.
則，所以.
【小問2詳解】
由，，得，，
且，
所以，，
，則，
，
因為與的夾角為，則，解得.
【小問3詳解】
依題意設(shè)、，
且，，，
因為為的中點，則，
因為為中點，同理可得，
所以，，
由題意可知，，，
則，
在中依據(jù)余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
設(shè)，則，且，
所以，，，
，
為銳角，且，
因為，則，
故當(dāng)時，取最大值，
則
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．

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