湖南省岳陽市平江縣頤華高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（共有8題，每題5分，共40分，每小題只有一項正確答案．）
1. 已知集合，則（）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域求出，從而求出交集.
【詳解】由函數(shù)定義域可得：，
由值域可得，故.
故選：D
2. 命題“，”的否定為（）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】D
【解析】
【分析】利用全稱命題的否定形式判定即可.
【詳解】命題“，”的否定為:“，”.
故選:D.
3. 已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，則每一段分段圖象均單調(diào)遞減，且整體也是單調(diào)遞減.
【詳解】由對任意，都有成立可得，
在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
故選:C.
4. “函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”是“”的（）.
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分不必要條件的定義求解.
【詳解】函數(shù)的對稱軸是，
若函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，則，
所以“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合零點的意義求出的零點，數(shù)形結(jié)合求出方程有三個根的a的取值范圍作答.
【詳解】由得：或，因函數(shù)，由解得，
因此函數(shù)有四個不同的零點，當(dāng)且僅當(dāng)方程有三個不同的根，
函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
方程有3個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
觀察圖象知，當(dāng)或，即或時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
6. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】分析：先利用已知條件判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，再解不等式.
詳解：由于是定義在上的奇函數(shù)，
∴，且在上為增函數(shù)，
∴f(x)是R上的增函數(shù)，
∵f(1)=3,
所以
∴2x-1＜1，
∴x＜1.
故選A.
點睛：解抽象的函數(shù)不等式，一般先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再把不等式化成的形式，再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)不等式解答.
7. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】，，即，
，
下面比較與的大小，構(gòu)造函數(shù)與，
由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖像與單調(diào)性可知，

當(dāng)時，；當(dāng)時，
由，故，故，即，
所以，
故選：A
8. 已知點在函數(shù)（且，）的圖象上，直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對稱性與單調(diào)性約束的范圍，然后進行驗證即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得，，得，得，
又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，
所以，得，得.所以.
又因為，所以或3.
當(dāng)時，，得，又，
所以，此時直線的函數(shù)的圖象的一條對稱軸，
且在區(qū)間內(nèi)單調(diào).所以.
當(dāng)時，，得，又，所以，
此時，
所以直線不是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.
所以，.
故選：A
二、多選題（本小題共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對得得2分，有錯選的得0分．）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）
A.
B. 函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
C. 是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D. 若，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)圖象變換一一判斷即可.
【詳解】解：依題意可得，，所以，又，解得，
所以，又函數(shù)過點，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正確；
由的圖象向左平移個單位長度得到，故B錯誤；
因為，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C正確；
對于D：若，則取得最大（小）值且取最?。ù螅┲担?br>所以，故D正確；
故選：ACD
10. 對任意兩個實數(shù)a，b，定義，若，，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）
A. 函數(shù)是偶函數(shù)
B. 方程有兩個實數(shù)根
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增
D. 函數(shù)有最大值0，無最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系得到函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】當(dāng)，即時，解得；
當(dāng)，即時，解得；
故，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知：函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；方程有兩個實數(shù)根，B正確；
函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯誤；
函數(shù)有最大值0，無最小值，D正確.
故選：ABD.
11. 已知θ，且sinθ+csθ＝a，其中a∈（0，1），則關(guān)于tanθ的值，在以下四個答案中，可能正確的是（）
A. ﹣3B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先由已知條件判斷，，得到，對照四個選項得到正確答案.
【詳解】∵sinθ+csθ＝a，其中a∈（0，1），
∴兩邊平方得：1+2，∴，
∵，∴可得，，
∴，
又sinθ+csθ＝a，所以csθ＞﹣sinθ，所以
所以，
所以tanθ的值可能是，．
故選：CD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出的取值范圍是本題解題關(guān)鍵．
12. 已知函數(shù)的定義域為R且具有下列性質(zhì)：
①是奇函數(shù)；
②；
③當(dāng)，，函數(shù)．
下列結(jié)論正確的是（）
A. 3是函數(shù)周期
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點有8個
D. 函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間（0，15）的交點有5個，則實數(shù)
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合①②條件可得函數(shù)周期為6，故錯誤；作出函數(shù)、圖像即可判斷、；考慮和兩種情況，數(shù)形結(jié)合即可判斷．
【詳解】解：對A：因為，所以令，可得，
即，故，
則，即，
因為為奇函數(shù)，所以，則，
所以，即函數(shù)的周期為6，故A錯誤；
對B、C：令，則，則，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，故，
再根據(jù)其周期為6，分別作出函數(shù)與的圖像如下：
數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且兩函數(shù)圖像共有8個交點，故B、C正確；
對D：作出函數(shù)在的圖像如下：
若函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間的交點有5個，
由圖可得實數(shù)或，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13. __________．
【答案】9
【解析】
【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算法則以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】原式
故答案為：9
14. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、平方關(guān)系、二倍角公式求解.
【詳解】，
所以，，
所以，
故答案為：.
15. 已知是在定義域上的單調(diào)函數(shù)，且對任意都滿足：，則滿足不等式的的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】由換元法求出的解析式，再解原不等式
【詳解】由題意得為正常數(shù)，令，則，
且，解得，
原不等式為，可得，解得，
故答案為：
16. 下列命題正確的是__________．（寫出所有正確的命題的序號）
①若奇函數(shù)的周期為4，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；
②如，則；
③函數(shù)是奇函數(shù)；
④存在唯一的實數(shù)使為奇函數(shù)．
【答案】①③
【解析】
【詳解】逐一考查所給的命題：
函數(shù)為奇函數(shù)，則，
函數(shù)的周期為，則，
據(jù)此有：，
則對函數(shù)上任意一點，可知點也在函數(shù)圖像上，
即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，說法①正確；
若，則，據(jù)此可知，
指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，
則，說法②錯誤；
函數(shù)有意義，則：，解得：，
函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱，
且，
即函數(shù)是奇函數(shù)，說法③正確；
函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足：恒成立，
即：恒成立，
則：，
經(jīng)檢驗時，函數(shù)為奇函數(shù)，說法④錯誤.
綜上可得：所給的命題中，正確的是①③.
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.
（1）求，的解析式；
（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶函數(shù)建立方程，解方程即可得答案；
（2）由題知，進而得，再解不等式即可得答案.
【小問1詳解】
解：因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有，
所以，
所以，，解得，.
所以，，.
【小問2詳解】
解：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以.
所以，對任意的，恒成立，即，
則，即，解得，
所以，的取值范圍.
18. 已知集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若命題“”是命題“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，分別求出集合后可求得，
（2）分類討論求出集合，再根據(jù)題意得A?B轉(zhuǎn)化為不等式求解即可
【小問1詳解】
因為，所以，
所以．
當(dāng)時，或，，
所以．
【小問2詳解】
若命題“”是命題“”的充分不必要條件，則A?B
由題意得
①當(dāng)，即a＝－時，B＝，滿足A?B；
②當(dāng)，即時，，
由A?B得：或，解得：或（舍去）
綜上：；
③當(dāng)，即時，，
由A?B，得或，解得：（舍）或，所以．
綜上可得：即
所以的取值范圍為：.
19. 設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）若，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可求解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得在上的最大值為或，從而得解；
【小問1詳解】
當(dāng)時，則，，
由二次函數(shù)的對稱性知：當(dāng)時，的最小值為1；
當(dāng)時，的最大值為10；
所以在區(qū)間值域的為.
【小問2詳解】
“對任意的，都有”等價于“在區(qū)間上”.
由（1）知時，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)的圖象開口向上，
所以在上的最大值為或，
則，即，解得，
故實數(shù)的取值范圍為區(qū)間.
20. 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．
（1）求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）4千克，480元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)單株產(chǎn)量與施用肥料滿足的關(guān)系，結(jié)合利潤的算法，即可求得答案；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的最值以及基本不等式求最值，分段計算水果樹的單株利潤，比較大小，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意得
；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
則當(dāng)時，取到最大值；
當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
由于，
故當(dāng)施用肥料為4千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是480元.
21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)和；(2)或.
【解析】
【詳解】分析：（1）整理函數(shù)的解析式可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知單調(diào)遞增區(qū)間為，又，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）由題意可知，由函數(shù)的定義域可知的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令，則，原問題等價于在上僅有一個實根.據(jù)此討論可得或.
詳解：（1）∵

，
令，
得，
又因為，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）將的圖象向左平移個單位后，得，
又因為，則，
的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.
令，則，
依題意得在上僅有一個實根.
令，因為，
則需或，
解得或.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
22. 設(shè)是函數(shù)定義域的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“準不動點”，也稱在區(qū)間上存在準不動點.已知.
（1）若，求函數(shù)的準不動點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在準不動點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，當(dāng)時，可得，可解得函數(shù)的準不動點；
（2）先根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，可得；再由在區(qū)間上存在準不動點可得與在內(nèi)有交點，分析求解即可．
【小問1詳解】
若時，則，
因為在內(nèi)均單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，則的解集為，
即的定義域為，
令，
即，解得，
故當(dāng)，函數(shù)的準不動點為．
【小問2詳解】
因為在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)恒成立，
因為在內(nèi)均單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，則，解得；
令，則，
整理得，可知與在內(nèi)有交點，
且，結(jié)合的單調(diào)性可得，解得；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多