高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（二）函數(shù)性質(zhì)的總和問題學(xué)案（Word版附解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

例1 (1)(2023·菏澤模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集為( )
A．(－2，4] B．(－3，5]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]
答案 C
解析因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上為奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（a－2）＝0，,2b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因為y＝x3與y＝2x在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，所以f(x)在定義域[－5，5]上單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等價于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq \f(5,2)0，記a＝f(1)，b＝eq \f(f（－2）,2)，c＝eq \f(f（3）,3)，則( )
A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
答案 B
解析對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，不妨設(shè)x1＞x2，因為eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)＞0，則x2f(x1)－x1f(x2)＞0，所以eq \f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)＝eq \f(f（x1）,x1)－eq \f(f（x2）,x2)>0，即eq \f(f（x1）,x1)>eq \f(f（x2）,x2)，令g(x)＝eq \f(f（x）,x)，則函數(shù)g(x)＝eq \f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則g(1)＜g(2)＜g(3)，所以f(1)x1≥0，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，則eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)－2＝eq \f([f（x2）－2x2]－[f（x1）－2x1],x2－x1)>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，則g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|為偶函數(shù)，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以f(x)>2|x|的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故選D.
例2 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(2x＋1)為奇函數(shù)，則( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析因為函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)，因為函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù)，則f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因為f(2x＋1)為奇函數(shù)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三個選項未知．故選B.
(2)(2024·浙江名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)為偶函數(shù)，若f(0)＝0，eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝111，則n的值為( )
A．107 B．118
C．109 D．110
答案 D
解析對任意的x∈R，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2可得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，所以f(x＋3)＝f(x－1)，則f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期為4，因為f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(2－x)＝f(2＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則f(1)＝f(3)，因為f(1)＋f(3)＝2，則f(1)＝f(3)＝1，因為f(0)＋f(2)＝2且f(0)＝0，則f(2)＝2，所以f(1)＋f(2)＝3，因為f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，且111＝4×27＋3，因為eq \(∑,\s\up7(n),\s\d7(k＝1))f(k)＝27×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝111，故n＝4×27＋2＝110.故選D.
利用函數(shù)的奇偶性和周期性把所求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)．
(2024·湖南名校聯(lián)盟入學(xué)摸底考試)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x＋3)＝f(1－x)，f(0)＝－2，則eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝________．
答案 2
解析因為f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，可得f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＋f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝0，所以eq \(∑,\s\up7(2023),\s\d7(k＝1))f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2024)＝－f(0)＝2.
例3 (多選)(2024·東莞第四高級中學(xué)檢測)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))恒成立．當(dāng)x∈[2，3]時，f(x)＝x.則下列四個命題中正確的是( )
A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)
B．f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱
C．當(dāng)x∈[－3，－2]時，f(x)＝－x
D．當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝3－|x＋1|
答案 ACD
解析由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))得f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，故A正確；∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(x＋2)＝f(－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故B錯誤；當(dāng)x∈[－3，－2]時，－x∈[2，3]，則f(－x)＝－x＝f(x)，即此時f(x)＝－x，x∈[－3，－2]，故C正確；當(dāng)x∈[0，1]時，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0，1]．∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，當(dāng)x∈[－2，－1]時，x＋2∈[0，1]，此時f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋2，x∈[－1，0]，,x＋4，x∈[－2，－1），))當(dāng)x∈[－2，－1)時，f(x)＝3－|x＋1|＝3＋x＋1＝x＋4，當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝3－|x＋1|＝3－x－1＝2－x，故D正確．故選ACD.
函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆．
(多選)(2024·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，且滿足f(x＋3)＝f(1－x)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)
B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
C．函數(shù)f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)
D．若函數(shù)g(x)滿足g(x)＋f(x＋3)＝2，則eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝4048
答案 ABD
解析因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，故A正確；因為f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故B正確；因為f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故C錯誤；因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(1)＋f(3)＝0，f(0)＋f(2)＝0，因為g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝2－f(3)＋2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＝8－[f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝8－[f(3)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＝8，所以eq \(∑,\s\up7(2024),\s\d7(k＝1))g(k)＝506×[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝4048，故D正確．故選ABD.
例4 (多選)德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)”y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ，))其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集．關(guān)于函數(shù)f(x)有如下四個命題，其中正確的是( )
A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
B．?x1，x2∈?RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立
C．任取一個不為零的有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對任意的x∈R恒成立
D．不存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形
答案 ACD
解析對于A，若x∈Q，則－x∈Q，滿足f(x)＝f(－x)；若x∈?RQ，則－x∈?RQ，滿足f(x)＝f(－x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，A正確．對于B，取x1＝π∈?RQ，x2＝－π∈?RQ，則f(x1＋x2)＝f(0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B錯誤．對于C，若x∈Q，則x＋T∈Q，滿足f(x)＝f(x＋T)；若eq \a\vs4\al(x∈?RQ)，則x＋T∈?RQ，滿足f(x)＝f(x＋T)，故C正確．對于D，△ABC要為等腰直角三角形，只可能有如下四種情況：①如圖1，直角頂點A在直線y＝1上，斜邊在x軸上，此時點B，點C的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知|x1－x2|＝1，那么點A的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；②如圖2，直角頂點A在直線y＝1上，斜邊不在x軸上，此時點B的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；③如圖3，直角頂點A在x軸上，斜邊在直線y＝1上，此時點B，點C的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則BC中點的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；④如圖4，直角頂點A在x軸上，斜邊不在直線y＝1上，此時點A的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點B的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點B的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形，故D正確．故選ACD.
解決與函數(shù)有關(guān)的新定義問題的策略
(1)聯(lián)想背景：有些題目給出的新函數(shù)是以熟知的初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)為背景定義的，可以通過閱讀材料，聯(lián)想和類比、拆分或構(gòu)造，將新函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本初等函數(shù)進行求解．
(2)緊扣定義：對于題目定義的新函數(shù)，通過仔細閱讀，分析定義以及新函數(shù)所滿足的條件，圍繞定義與條件來確定解題的方向，然后準(zhǔn)確作答．
(3)巧妙賦值：如果題目所定義的新函數(shù)滿足的條件是函數(shù)方程，可采用賦值法，求得特殊函數(shù)值或函數(shù)解析式，再結(jié)合掌握的數(shù)學(xué)知識與方程思想來解決問題．
(4)構(gòu)造函數(shù)：有些新定義型函數(shù)可看成是由兩個已知函數(shù)構(gòu)造而成的．
(多選)對于實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定義函數(shù)f(x)＝x－[x]，則( )
A．f(3)＝1
B．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)
C．方程f(x)＝eq \f(1,2)在x∈[0，1)上僅有一個解
D．函數(shù)f(x)是增函數(shù)
答案 BC
解析由題意知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,x＋1，－1≤x

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