考向一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等問(wèn)題
例1 (1)(2023·揚(yáng)州三模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，f(x)和g(x)的定義域均為R，g(x)為偶函數(shù)，f(x)－ex－sinx也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是( )
A．f(0)＝0 B．g(0)＝0
C．f(x)＜f(ex) D．g(x)＜g(ex)
答案 C
解析 根據(jù)題意，設(shè)h(x)＝f(x)－ex－sinx，由于h(x)為偶函數(shù)，則h(－x)＝h(x)，即f(－x)－e－x＋sinx＝f(x)－ex－sinx，等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得－f′(－x)＋e－x＋csx＝f′(x)－ex－csx，即－g(－x)＋e－x＋csx＝g(x)－ex－csx，又由g(x)為偶函數(shù)，變形可得g(x)＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)＋csx，故f(x)＝eq \f(1,2)(ex－e－x)＋sinx＋c(c為常數(shù))．對(duì)于A，由于c不確定，f(0)＝0不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，g(0)＝eq \f(1,2)×(1＋1)＋1＝2，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)F(x)＝ex－x，則F′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)＝ex－1＞0，F(xiàn)(x)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，F(xiàn)′(x)＝ex－1＜0，F(xiàn)(x)為減函數(shù)，則F(x)≥F(0)＝1，故ex＞x在R上恒成立，又由g(x)＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)＋csx≥1＋csx≥0，f(x)為R上的增函數(shù)，則f(x)＜f(ex)，C正確；對(duì)于D，g(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，不能保證g(x)＜g(ex)成立，D錯(cuò)誤．故選C.
(2)(多選)(2024·滁州模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq \f(ln x,x2)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．f(x)在x＝eq \r(e)處取得極大值eq \f(1,2e)
B．若f(x)eq \f(e2,2)
C．f(eq \r(2))

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