例1 (2022·新高考Ⅰ卷改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x.
(1)判斷直線y＝b與曲線y＝f(x)和y＝g(x)的交點(diǎn)分別有幾個(gè)；
(2)證明：曲線y＝f(x)和y＝g(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
解 (1)設(shè)S(x)＝ex－x－b，S′(x)＝ex－1，
當(dāng)x0，
故S(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
所以S(x)min＝S(0)＝1－b.
當(dāng)b0，S(x)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)b＝1時(shí)，S(x)min＝1－b＝0，S(x)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)b>1時(shí)，S(x)min＝1－b0，S(b)＝eb－2b，
設(shè)u(b)＝eb－2b，則當(dāng)b>1時(shí)，u′(b)＝eb－2>0，
故u(b)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，故u(b)>u(1)＝e－2>0，
故S(b)>0，故S(x)＝ex－x－b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
設(shè)T(x)＝x－ln x－b，T′(x)＝eq \f(x－1,x)，
當(dāng)01時(shí)，T(x)min＝1－b0，T(eb)＝eb－2b>0，
所以T(x)＝x－ln x－b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)b1時(shí)，直線y＝b與曲線y＝f(x)和y＝g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)都是2.
(2)證明：由f(x)＝g(x)得ex－x＝x－ln x，即ex＋ln x－2x＝0，
設(shè)h(x)＝ex＋ln x－2x，其中x>0，故h′(x)＝ex＋eq \f(1,x)－2，
設(shè)s(x)＝ex－x－1，則當(dāng)x>0時(shí)，s′(x)＝ex－1>0，
故s(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
故s(x)＞s(0)＝0，即ex>x＋1，
所以h′(x)>x＋eq \f(1,x)－1≥2－1>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
而h(1)＝e－2>0，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e3)))＝eeq \f(1,e3)－3－eq \f(2,e3)

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