考向一 設(shè)而不求問題
例1 (2024·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－ln x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)求證：exf(x)＋(ex－1)ln x－ex＋eq \f(1,2)>0.
解 (1)∵f(x)＝ex－1－ln x，
∴f′(x)＝ex－1－eq \f(1,x)，
設(shè)μ(x)＝ex－1－eq \f(1,x)，則μ′(x)＝ex－1＋eq \f(1,x2)>0，
∴μ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵μ(1)＝0，∴f′(1)＝0，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)0，
∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則f(x)min＝f(1)＝1.
(2)證明：要證exf(x)＋(ex－1)ln x－ex＋eq \f(1,2)>0，
只需證ex(ex－1－ln x)＋(ex－1)ln x－ex＋eq \f(1,2)>0，即證(x－1)ex－ln x＋eq \f(1,2)>0.
令g(x)＝(x－1)ex－ln x＋eq \f(1,2)，
則g′(x)＝xex－eq \f(1,x)(x>0)，
當(dāng)x>0時(shí)，令h(x)＝g′(x)＝xex－eq \f(1,x)，
則h′(x)＝(x＋1)ex＋eq \f(1,x2)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
即g′(x)＝xex－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
又g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2,3)eeq \s\up7(\f(2,3))－eq \f(3,2)＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(e\s\up7(\f(2,3))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))\s\up12(\s\up7(\f(2,3)))))0，∴存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))，使得g′(x0)＝0.
由g′(x0)＝x0e x0－eq \f(1,x0)＝eq \f(xeq \\al(2,0)ex0－1,x0)＝0，
得xeq \\al(2,0)ex0＝1，即e x0＝eq \f(1,xeq \\al(2,0))，即－2ln x0＝x0，
∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)＝xex－eq \f(1,x)0，g(x)單調(diào)遞增，
∴g(x)min＝g(x0)＝(x0－1)ex0－ln x0＋eq \f(1,2)＝eq \f(x0－1,xeq \\al(2,0))＋eq \f(x0,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)＋2x0－2,2xeq \\al(2,0)).
令φ(x)＝x3＋x2＋2x－2，
則當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))時(shí)，φ′(x)＝3x2＋2x＋2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,3)>0，
∴φ(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))上單調(diào)遞增，
∴φ(x0)>φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2,27)>0，
∴g(x)>0，
∴(x－1)ex－ln x＋eq \f(1,2)>0，即exf(x)＋(ex－1)ln x－ex＋eq \f(1,2)>0.
隱零點(diǎn)問題解題策略
我們把函數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，但零點(diǎn)不可求出的問題稱為隱零點(diǎn)問題，具體求解步驟如下：
(1)用零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，f′(x)＝0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍(有時(shí)范圍可根據(jù)具體情況適當(dāng)縮小)．
(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．
(3)將零點(diǎn)方程f′(x)＝0適當(dāng)變形，整體代入f(x)最值式子進(jìn)行化簡，可以消除f(x)最值式子中的指對項(xiàng)，也可以消除其中的參數(shù)項(xiàng)，再將得到的f(x)最值式子進(jìn)行化簡證明．
(2024·湖北部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(x－4)ln x＋x2＋ax－2.
(1)證明：f(x)有唯一的極值點(diǎn)；
(2)若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)證明：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
因?yàn)閒′(x)＝ln x＋eq \f(x－4,x)＋2x＋a＝ln x－eq \f(4,x)＋2x＋a＋1，所以f′(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽，
所以f′(x)有唯一的零點(diǎn)x0∈(0，＋∞)，使得f′(x0)＝0，
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)有唯一的極值點(diǎn)．
(2)由(1)知，f(x)在x＝x0處取得極小值，也是最小值，
由f′(x0)＝0，得a＝－ln x0－2x0＋eq \f(4,x0)－1，
所以f(x0)＝(x0－4)ln x0＋xeq \\al(2,0)＋ax0－2
＝(x0－4)ln x0＋xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln x0－2x0＋\f(4,x0)－1))x0－2
＝－4ln x0－xeq \\al(2,0)－x0＋2
＝－4ln x0－(x0＋2)(x0－1)，
當(dāng)01時(shí)，－4ln x0

相關(guān)學(xué)案

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（八）概率與函數(shù)、數(shù)列的交匯問題學(xué)案（Word版附解析）：

這是一份高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（八）概率與函數(shù)、數(shù)列的交匯問題學(xué)案（Word版附解析），共8頁。

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（二）函數(shù)性質(zhì)的總和問題學(xué)案（Word版附解析）：

這是一份高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（二）函數(shù)性質(zhì)的總和問題學(xué)案（Word版附解析），共8頁。

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（六）數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用問題學(xué)案（Word版附解析）：

這是一份高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（六）數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用問題學(xué)案（Word版附解析），共5頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（七）與球有關(guān)的切、接問題學(xué)案（Word版附解析）

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（七）與球有關(guān)的切、接問題學(xué)案（Word版附解析）
高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（三）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)學(xué)案（Word版附解析）

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（三）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)學(xué)案（Word版附解析）
高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（五）三角函數(shù)中有關(guān)ω的范圍問題學(xué)案（Word版附解析）

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（五）三角函數(shù)中有關(guān)ω的范圍問題學(xué)案（Word版附解析）
高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（一）基本不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案（Word版附解析）

高考數(shù)學(xué)科學(xué)創(chuàng)新復(fù)習(xí)方案提升版素能培優(yōu)（一）基本不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部