考向一 三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系
例1 (2023·廣東七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcs(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,3)))
答案 D
解析 根據(jù)正弦和角與差角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式可得f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin[(ωx＋φ)＋φ]－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)csφ＋cs(ωx＋φ)sinφ－2sinφcs(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)csφ－cs(ωx＋φ)sinφ＝sin(ωx＋φ－φ)＝sinωx(ω>0，φ∈R)．由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)．由f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))上單調(diào)遞增，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤π，,\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≥\f(3π,2)，,\f(1,2)×\f(2π,ω)≥\f(3π,2)－π，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ω≥－\f(1,2)＋2k，,ω≤\f(1,3)＋\f(4k,3)，,ω≤2))(k∈Z)．又ω>0，當(dāng)k＝0時(shí)，可得00，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,8)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，直線x＝eq \f(π,8)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，若f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(π,4)))上單調(diào)，則ω的最大值是( )
A．14 B．16
C．18 D．20
答案 A
解析 設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，因?yàn)閤＝－eq \f(π,8)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，直線x＝eq \f(π,8)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，則eq \f(2n＋1,4)T＝eq \f(π,8)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝eq \f(π,4)，其中n∈N，所以T＝eq \f(π,2n＋1)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝4n＋2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(π,4)))上單調(diào)，則eq \f(π,4)－eq \f(π,5)≤eq \f(T,2)＝eq \f(π,ω)，所以ω≤20.所以ω的可能取值為2，6，10，14，18.
①當(dāng)ω＝18時(shí)，f(x)＝sin(18x＋φ)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,4)＋φ))＝0，所以φ－eq \f(9π,4)＝kπ(k∈Z)，則φ＝kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)，因?yàn)椋璭q \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(18x＋\f(π,4)))，當(dāng)eq \f(π,5)

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