第I卷（選擇題共30分）
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．）
1. 一元二次方程的根的情況為（ ）
A. 無實數(shù)根B. 有一個實數(shù)根
C. 有兩個相等的實數(shù)根D. 有兩個不相等的實數(shù)根
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程根的情況，涉及一元二次方程根的判別式，由題中一元二次方程得到判別式，即可判斷答案，熟記一元二次方程根的情況與判別式符號關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：一元二次方程，
，
，
一元二次方程的根的情況為有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：D．
2. 如圖，是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，且，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)求角度，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，得到，數(shù)形結(jié)合即可得到，從而得到答案，熟記旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示：
是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，
，
，
，
故選：C．
3. 在四張大小、形狀完全相同的卡片上，分別畫有等腰三角形、平行四邊形、正五邊形、圓，現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上的圖形恰好是中心對稱圖形的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查求解一步概率問題，涉及中心對稱圖形，根據(jù)題意，找出全部結(jié)果數(shù)及中心對稱圖形數(shù)，利用簡單概率公式代值求解即可得到答案，讀懂題意，掌握中心對稱圖形定義及簡單概率公式是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：等腰三角形、平行四邊形、正五邊形、圓中中心對稱圖形的是平行四邊形、圓2種，
現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上的圖形恰好是中心對稱圖形的概率是，
故選：B．
4. 如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，平行四邊形的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點，均在軸正半軸上，若平行四邊形的面積是，求值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征、平行四邊形性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖像上點的坐標特征，設(shè)出點的坐標、根據(jù)平行四邊形面積公式列方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意設(shè)，關(guān)鍵平行四邊形的性質(zhì)求得，利用面積公式即可求解；
【詳解】解：設(shè)，
四邊形是平行四邊形，
，
則，
平行四邊形的面積是，
，
解得：
故答案為：A
5. 如圖，根據(jù)一個幾何體的三視圖，求這個幾何體的表面積（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查由三視圖還原立體圖形并求組合體的表面積，涉及圓柱的表面積求法，根據(jù)三視圖準確得到立體圖形，熟練掌握圓柱表面積求法列式求解即可得到答案，發(fā)揮空間想象能力，熟記圓柱表面積計算方法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：有這個幾何體的三視圖可知，幾何體是兩個圓柱的組合體，上層是直徑較小的圓柱、下層是直徑較大的圓柱，
這個幾何體的表面積是兩個圓柱的表面積減去上層圓柱底面圓面積的2倍，則；
；
這個幾何體的表面積是，
故選：C．
6. 下列關(guān)于二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握兩個函數(shù)各系數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵；利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)對每個選項逐一分析即可．
【詳解】解： A、對于二次函數(shù)來說，，；對于一次函數(shù)來說，，，故，矛盾，不符合題意；
B、對于二次函數(shù)來說，；對于一次函數(shù)來說，，矛盾，不符合題意；
C、對于二次函數(shù)來說，，；對于一次函數(shù)來說，，符合題意；
D、對于二次函數(shù)來說，，；對于一次函數(shù)來說，，矛盾，符合題意；
故選：C
7. 在中，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查求角度，涉及非負數(shù)和為零的條件、特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理等知識，先由非負數(shù)和為零的條件得到，再由特殊角的三角函數(shù)值求出，最后由三角形內(nèi)角和定理即可得到答案，熟記非負數(shù)和為零的條件、特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理等知識是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在中，若，
，，
，
解得，
，
在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，
故選：C．
8. 如圖，在與中，，，連接，，若，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，由已知條件可得出，由相似三角形的性質(zhì)可得出， ，根據(jù)角的和差關(guān)系得出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出， 即可得出．
【詳解】解：∵，且，即
∴，
∴，
∴
即，
∵
∴，
∴
∵，．
∴，
∴，
故選：A．
9. 如圖，在中，，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，根據(jù)垂徑定理可知=,根據(jù)圓周角定理可知， 即可求出的度數(shù).
【詳解】解：在中，，
∴
根據(jù)垂徑定理可知=,
根據(jù)圓周角定理可知，

故選D.
【點睛】考查垂徑定理和圓周角定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.
10. 如圖，已知開口向下的拋物線對稱軸為直線，與x軸交于點1,0，與一次函數(shù)的圖象交于，下列結(jié)論正確的有（ ）
①；
②；
③使不等式成立的x的取值范圍是或；
④若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則；
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程的根與系數(shù)，根據(jù)圖像可知，結(jié)合對稱軸得，即可判定①和②錯誤；進一步結(jié)合交點和圖像位置關(guān)系可知其取值范圍，判定③正確；結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)即可求得④正確．
【詳解】解：由圖像知，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，則，
∴，則①錯誤；
，則②錯誤；
∵一次函數(shù)的圖象與拋物線交于，，
∴不等式成立的x的取值范圍是或，則③正確；
∵一元二次方程有實數(shù)根，
∴，解得，則④正確；
故選：B．
第II卷（非選擇題共70分）
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. 春節(jié)前夕，為減少庫存，某商店決定對一種飲料進行降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，這種飲料的銷售單價定為120元/箱時，每天可售出100箱，銷售單價每降低2元，每天可多售出7箱，已知每箱飲料的進價為80元/箱，當(dāng)這種飲料降價后的銷售單價為多少元時，該商店可獲利3976元？設(shè)降價后的銷售單價為元，則可列方程為________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)實際問題列方程，設(shè)降價后的銷售單價為元，由銷售利潤為3976元建立等量關(guān)系列方程即可得到答案，讀懂題意，找準等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)降價后的銷售單價為元，則由題意可得
，即，
故答案為：．
12. 如圖，在中，是邊上的高，，，，則線段長為________
【答案】5
【解析】
【分析】本題主要考查了余弦的定義，勾股定理，由余弦的定義可得出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)線段的和差即可得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：5．
13. 如圖，P為拋物線上第一象限內(nèi)點，過點P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形的周長的最大值為________

【答案】12
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值及二次函數(shù)的圖像上點的坐標特征，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．設(shè)點P的坐標為，，根據(jù)四邊形的周長得到，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值．
【詳解】解：設(shè)點P的坐標為，，
由題意可知：四邊形的周長，
∴，
當(dāng)時，C有最大值12．
故答案為：12．
14. 如圖，在四邊形中，，設(shè)，則________

【答案】
【解析】
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，進而根據(jù)內(nèi)角和求解即可；
【詳解】解：，
，
，
，
，
故答案為：
15. 如圖，為圓的直徑，為圓弧上的三等分點，已知，求陰影部分的面積________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查求不規(guī)則圖形面積，涉及等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、同底等高三角形面積及扇形面積公式等知識，連接，如圖所示，由等邊三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定得到，進而確定陰影部分的面積，利用扇形面積公式代值求解即可得到答案，根據(jù)題意，準確作出輔助線，數(shù)形結(jié)合將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，如圖所示：
為圓弧上的三等分點，
，
，
是等邊三角形，則，
，
，
，
線段與構(gòu)成的弓形面積始終不變，
陰影部分的面積，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7個小題，共55分，解答時應(yīng)寫出證明過程或解題步驟．）
16. 計算題
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此題考查了解一元二次方程和實數(shù)的混合運算.
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用立方根、零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．
【小問1詳解】
解：，
，
∴或，
解得，；
【小問2詳解】
解：
．
17. 如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是一個單位長度．

（1）將以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出的圖形并寫出的坐標；
（2）以原點為位似中心，畫出與的相似比為2的圖形，得到，并寫出的坐標．
【答案】（1）見解析，
（2）見解析；或
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變換——旋轉(zhuǎn)和位似圖形：
（1）分別確定A，B，C的對應(yīng)點，再順次連接即可；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，分別確定A，B，C的對應(yīng)點，再順次連接即可．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
∴；
小問2詳解】
解：如圖，即為所求．

∴的坐標為或．
18. 某通信公司推出兩種電話計費方式
（1）設(shè)一個月內(nèi)用手機主叫時間為，根據(jù)上表，寫出在不同時間范圍內(nèi)，兩種方式的計費金額關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）你認為選擇哪種方式更省錢？請直接寫出答案．
【答案】（1）對于種計費方式：；對于種計費方式：
（2）①若時，方式更省錢；②若時，方式一樣省錢；③若時，方式更省錢
【解析】
【分析】本題考查分段函數(shù)解實際應(yīng)用題，讀懂題意，理解不同分段函數(shù)的含義，準確列式求解是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題中兩種計費方式的表格直接分段表述出計費金額關(guān)于的函數(shù)解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所得到的兩種方式的計費金額關(guān)于的函數(shù)解析式，分類比較計費金額大小即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)計費金額為元，
對于種計費方式：，化簡得；
對于種計費方式：，化簡得；
【小問2詳解】
解：由（1）可知：
①當(dāng)一個月內(nèi)用手機主叫時間為時，方式的計費金額為元；方式的計費金額為元；方式更省錢；
②當(dāng)一個月內(nèi)用手機主叫時間為時，方式的計費金額為元；方式的計費金額為元；
若時，，此時方式更省錢；
若時，，此時方式一樣省錢；
若時，，此時方式更省錢；
③當(dāng)一個月內(nèi)用手機主叫時間為時，方式計費金額為元；方式的計費金額為元；
，此時方式更省錢；
綜上所述，①若時，方式更省錢；②若時，方式一樣省錢；③若時，方式更省錢．
19. 為測量某棟樓的高度，小麗與小明先從與樓底端在同一水平線上的點出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，在處測得樓頂?shù)母┙菫椋撞康母┙菫?，求該棟樓的高度．（參考?shù)據(jù)：，，結(jié)果保留根號）
【答案】
【解析】
【分析】過點作于，作于，如圖所示，根據(jù)坡度定義，設(shè)，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根據(jù)題意，利用矩形的判定得到四邊形是矩形，結(jié)合矩形的性質(zhì)及含的直角三角形性質(zhì)，在得到，進而由勾股定理列方程求出，最后在中解直角三角形即可得到答案．
【詳解】解：過點作于，作于，如圖所示：
沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，
，且，
設(shè)，則在中，由勾股定理可得，即，解得或（負值不合題意，舍去），
，
，
四邊形是矩形，則，
在中，，則，
，設(shè)，則，由勾股定理可得，解得，即，
在中，，則，解得，
，
答：該棟樓的高度是．
【點睛】本題考查三角函數(shù)測高，涉及坡度定義、勾股定理、解方程、矩形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、解直角三角形等知識，根據(jù)題意，構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)求線段長是解決問題的關(guān)鍵．
20. 如圖，，是的弦，平分．過點作的切線交的延長線于點，連接，．延長交于點，交于點，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求長
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識；
（1）欲證明是的切線，只要證明，由即可解決問題．
（2）先證明，在中利用30度性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．
為圓的切線，
．
平分，
．
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
是的切線；
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
，
在中，，，
，
．
21. 如圖，在矩形中，，，點P沿邊從點A開始向點B以速度移動，點Q沿邊從點D開始向點A以的速度移動．如果P，Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（），那么：
（1）當(dāng)t為何值時，為等腰直角三角形？
（2）當(dāng)t為何值時，以點Q，A，P為頂點的三角形與相似？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由題意，，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，所以，即可求得答案；
（2）對和兩種情況分別列方程求解，即得答案．
【小問1詳解】
由題意，，，
若為等腰直角三角形，則，
，
解得，
當(dāng)為何值時，為等腰直角三角形；
【小問2詳解】
分兩種情況討論：
在矩形中，
①若時，，
，
解得；
②若時，，
，
解得；
所以當(dāng)或時，以點Q，A，P為頂點的三角形與相似．
22. 如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A-4,0，兩點，直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點C，點D的坐標為
（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；
（2）若P是拋物線上的點且在直線l的下方，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求出點P的坐標及該面積的最大值；
（3）若Q是y軸上的點，且，請直接寫出點Q的坐標
【答案】（1）
（2）點，的面積最大為；
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式的求解，
（1）利用待定系數(shù)法將點A、點B和點D代入求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，過點P作軸交于點H，設(shè)點，則點，那么，化簡求得二次函數(shù)的最大值即可；
（3）根據(jù)直線的解析式為，求得點，則，分類討論①若點Q位于直線上面；②若點Q位于直線下面，分別求解即可．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于A-4,0，兩點，且過點D，
∴，解得，
則二次函數(shù)；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，
則，解得，
∴直線的解析式為，
過點P作軸交于點H，如圖，
設(shè)點，則點，
∴
則當(dāng)時，點，的面積最大為；
【小問3詳解】
解：∵直線的解析式為，
∴點，
∴，
則，
根據(jù)題意設(shè)點，
①若點Q位于直線上面，
過點D作軸交于點Q，如圖，
∵，
∴，
則點；
②若點Q位于直線下面，
∵，，
∴點Q位于與y軸平行的直線上，與題意矛盾，
則無解；
故點Q的坐標．
計費方式
月使用費/元
主叫限定時間/
主叫超時費/（元/）
28
100
0.25
46
400
0.18

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