1．（4分）若，則等于（ ）
A．﹣5B．5C．D．
2．（4分）把拋物線y＝x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，那么下面四個命題中錯誤的是（ ）
A．如果∠ADC＝∠ACB，那么△ACD∽△ABC
B．如果∠ACD＝∠B，那么△ACD∽△ABC
C．如果，那么△ACD∽△ABC
D．如果，那么△ACD∽△ABC
5．（4分）一拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，頂點為（﹣2，1），則此拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點 D．若BC＝24，csB＝，則AD的長為（ ）
A．12B．10C．6D．5
7．（4分）如圖，D，E為△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC，若AD：DB＝1：3，AE＝2，則AC的長是（ ）
A．10B．8C．6D．4
8．（4分）若點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
9．（4分）若對于一切實數(shù)x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜﹣4或m＞0B．m＜﹣4或m≥0C．﹣4＜m＜0D．﹣4＜m≤0
10．（4分）下表是小紅填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容：
設(shè)鐵塔頂端到地面的高度FE為xm，根據(jù)以上條件，可以列出的方程為（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
11．（4分）如圖是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結(jié)論：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1，
其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
12．（4分）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本題共32分，每小題4分）
13．（4分）反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是 ．
14．（4分）如圖，直線y＝kx+b與拋物線y＝﹣x2+2x+3交于點A，B，且點A在y軸上，點B在x軸上，則不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集為 ．
15．（4分）如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體AB的高度為18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應(yīng)為 cm．
16．（4分）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 ．
17．（4分）若二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），則關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的實數(shù)根是 ．
18．（4分）如圖，已知正方形OBCD的三個頂點坐標(biāo)分別為B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若拋物線y＝（x﹣h）2與正方形OBCD的邊共有3個公共點，則h的取值范圍是 ．
19．（4分）如圖，等邊△ABC中，AB＝4，點D在BC上，BD＝1，E是線段AB上的一個動點（點E不與B點重合），F(xiàn)在射線CA上，且∠EDF＝∠B．設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)，則自變量x的取值范圍是 ，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 ．
20．（4分）設(shè)P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當(dāng)a≤x≤b，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：
①函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；
②函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；
③0≤x≤1是函數(shù)y1＝x2﹣1，y2＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；
④2≤x≤3是函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”
其中，正確的結(jié)論序號為 ．
三、解答題（本題共70分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.（答案寫在答題紙上）
21．（5分）解不等式：﹣2x2﹣3x+9＞0．
22．（6分）先化簡，再求值，其中．
23．（6分）計算．
24．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求證：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的長．
25．（8分）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行社會實踐活動時，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點D用高1.5米的測角儀DA測得塔頂M的仰角為30°，然后沿DF方向前行40m到達點E處，在E處測得塔頂M的仰角為60°．請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求此塔MF的高．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
26．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＞0）的圖象交于點A（2，n），與y軸交于點B，與x軸交于點C（﹣4，0）．
（1）求k與m的值；
（2）P（a，0）為x軸上的一動點，當(dāng)△APB的面積為時，求a的值．
27．（14分）如圖，以D為頂點的拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y＝﹣x+6．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在直線BC上有一點P，使PO+PA的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
28．（14分）定義：對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點P（a，b）和拋物線y＝x2+ax+b，我們稱P（a，b）是拋物線y＝x2+ax+b的相伴點，拋物線y＝x2+ax+b是點P（a，b）的相伴拋物線．
如圖，已知點A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）點A的相伴拋物線的解析式為 ；過A，B兩點的拋物線y＝x2+ax+b的相伴點坐標(biāo)為 ；
（2）設(shè)點P（a，b）在直線AC上運動：
①點P（a，b）的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線Ω上，求拋物線Ω的解析式；
②當(dāng)點P（a，b）的相伴拋物線的頂點落在△ABC內(nèi)部時，請直接寫出a的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共48分，每小題4分）
1．（4分）若，則等于（ ）
A．﹣5B．5C．D．
【分析】由，得x＝y(tǒng)，再代入所求的式子化簡即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y(tǒng)，
∴＝＝﹣5．
故選：A．
【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，找出x、y的關(guān)系，代入所求式進行約分．
2．（4分）把拋物線y＝x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項系數(shù)可得新的拋物線解析式．
【解答】解：由題意得原拋物線的頂點為（0，1），
∴平移后拋物線的頂點為（3，﹣1），
∴新拋物線解析式為y＝（x﹣3）2﹣1，
故選：C．
【點評】考查二次函數(shù)的幾何變換；用到的知識點為：二次函數(shù)的平移不改變二次項的系數(shù)；得多新拋物線的頂點是解決本題的突破點．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解．
【解答】解：由題意，設(shè)BC＝4x，則AB＝5x，AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝．
故選：B．
【點評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值．
4．（4分）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，那么下面四個命題中錯誤的是（ ）
A．如果∠ADC＝∠ACB，那么△ACD∽△ABC
B．如果∠ACD＝∠B，那么△ACD∽△ABC
C．如果，那么△ACD∽△ABC
D．如果，那么△ACD∽△ABC
【分析】根據(jù)三角形相似的判定定理逐項判斷即可．
【解答】解：如果∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，則△ACD∽△ABC，故選項A正確，不符合題意；
如果∠ACD＝∠B，又∠A＝∠A，則△ACD∽△ABC，故選項B正確，不符合題意；
如果，又∠A＝∠A，則△ACD∽△ABC，故選項C正確，不符合題意；
由，不能得到△ACD∽△ABC，故選項D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．
5．（4分）一拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，頂點為（﹣2，1），則此拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先確定a的值，再利用頂點式即可解決問題．
【解答】解：∵拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，
∴a＝，
∵頂點為（﹣2，1），
∴拋物線解析式為y＝（x+2）2+1．
故選：C．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在解答時運用拋物線的性質(zhì)求出a值是關(guān)鍵．
6．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點 D．若BC＝24，csB＝，則AD的長為（ ）
A．12B．10C．6D．5
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵csB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故選：D．
【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求出BD與AB的長是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）如圖，D，E為△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC，若AD：DB＝1：3，AE＝2，則AC的長是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，然后求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝．
∵AE＝2，
∴AC＝8
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟記定理并準確識圖準確確定出對應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）若點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
【分析】先求出拋物線的對稱軸方程，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過比較A、B點到對稱軸的距離大小可得到y(tǒng)1，y2的大小關(guān)系．
【解答】解：拋物線y＝a（x+1）2+2（a＜0）的對稱軸為直線x＝﹣1，
而A（1，y1）到直線x＝﹣1的距離比點B（2，y2）到直線x＝﹣1的距離小，
所以2＞y1＞y2．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
9．（4分）若對于一切實數(shù)x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．m＜﹣4或m＞0B．m＜﹣4或m≥0C．﹣4＜m＜0D．﹣4＜m≤0
【分析】分m＝0和m≠0兩種情況分類討論，若m≠0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【解答】解：若m＝0，則﹣1＜0，顯然成立，
若m≠0，若不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解是一切實數(shù)，則拋物線y＝mx2﹣mx﹣1的開口向下，與x軸無交點，
∴，
解得：﹣4＜m＜0，
綜上，m的取值范圍是﹣4＜m≤0．
故選：D．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，注意分類討論是正確解答的關(guān)鍵．
10．（4分）下表是小紅填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容：
設(shè)鐵塔頂端到地面的高度FE為xm，根據(jù)以上條件，可以列出的方程為（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
【分析】過D作DH⊥EF于H，則四邊形DCEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：過D作DH⊥EF于H，
則四邊形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x﹣10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x﹣10，
∴CE＝x﹣10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x﹣10）tan 50°，
故選：A．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，由實際問題抽象出一元一次方程，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）如圖是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結(jié)論：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1，
其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
【分析】根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，于是可對②進行判斷；根據(jù)頂點坐標(biāo)對③進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當(dāng)1＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷．
【解答】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正確；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），
∴x＝1時，二次函數(shù)有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點為（4，0）
而拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣2，0），所以④錯誤；
∵拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點（4，0）
∴當(dāng)1＜x＜4時，y2＜y1，所以⑤正確．
故選：C．
【點評】本題考查了二次項系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
12．（4分）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分點Q在線段AD上，點Q在線段CD上，點Q在線段BC上，三種情況討論，由三角形面積公式可求解析式，即可求解．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F，
∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CFA＝90°，
∴四邊形DEFC是矩形，
∴DC＝EF＝3，
∵AD＝5，DE＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FCB＝∠ABC＝45°，
∴CF＝BF＝4，
∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，
當(dāng)點Q在線段AD上時，則0≤x≤3，y＝×x×x＝x2，
當(dāng)點Q在線段CD上時，則3＜x≤6，y＝×x×4＝2x，
當(dāng)點Q在線段BC上，則6＜x≤10，
如圖，
∵AP＝x，AB＝10，
∴BP＝10﹣x，
∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴PQ＝PB＝10﹣x，
∴y＝×x×（10﹣x）＝﹣x2+5x，
故選：B．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，三角形的面積公式，求出各段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共32分，每小題4分）
13．（4分）反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是 k＜2 ．
【分析】先根據(jù)當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴2﹣k＞0，
解得k＜2．
故答案為：k＜2．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)y＝（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，直線y＝kx+b與拋物線y＝﹣x2+2x+3交于點A，B，且點A在y軸上，點B在x軸上，則不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集為 x＜0或x＞3 ．
【分析】先求出點A，點B坐標(biāo)，結(jié)合圖象可求解．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+2x+3交y軸于點A，交x軸正半軸于點B，
∴點A（0，3），
當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴點B（3，0），
∴不等式﹣x2+2x+3＜kx+b的解集為x＜0或x＞3，
故答案為：x＜0或x＞3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體AB的高度為18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應(yīng)為 8 cm．
【分析】正確理解小孔成像的原理，因為AB∥CD所以△ABO∽△CDO，則有＝而AB的值已知，所以可求出CD．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO
∴＝，
又∵AB＝18cm，
∴CD＝8．
故答案為：8．
【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，相似比等于對應(yīng)高之比在相似中用得比較廣泛．
16．（4分）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 2 ．
【分析】根據(jù)雙曲線上的點向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S與k的關(guān)系：S＝|k|即可判斷．
【解答】解：延長BA交y軸于E，
∵AB∥x軸，
∴AE垂直于y軸，
∵點A在雙曲線上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴矩形ABCD的面積為3﹣1＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
17．（4分）若二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），則關(guān)于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的實數(shù)根是 ﹣1或3 ．
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)求出c＝﹣3a，再把c＝﹣3a代入方程ax2﹣2ax+c＝0得到方程的解．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
解得：c＝﹣3a，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0可轉(zhuǎn)化為ax2﹣2ax﹣3a＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的實數(shù)根是﹣1或3，
故答案為：﹣1或3．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)．
18．（4分）如圖，已知正方形OBCD的三個頂點坐標(biāo)分別為B（1，0），C（1，1），D（0，1）．若拋物線y＝（x﹣h）2與正方形OBCD的邊共有3個公共點，則h的取值范圍是 0＜h＜1 ．
【分析】由于函數(shù)y＝（x﹣h）2的圖象為開口向上，頂點在x軸上的拋物線，因為O、B點為拋物線與正方形ABCD有有3個公共點的臨界點，代入求出即可得解．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（x﹣h）2的圖象為開口向上，頂點在x軸上的拋物線，
∴其圖象與正方形OBCD的邊若有兩個公共點為點O和點B，
把點O坐標(biāo)代入y＝（x﹣h）2，
得0＝（0﹣h）2
∴h＝0；
把點B坐標(biāo)代入y＝（x﹣h）2，
得0＝（1﹣h）2
∴h＝1．
拋物線y＝（x﹣h）2與正方形OBCD的邊共有3個公共點，則h的取值范圍是0＜h＜1．
故答案為：0＜h＜1．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與正方形交點的問題，需要先判斷拋物線的開口方向，頂點位置及拋物線與正方形二者的臨界交點，需要明確臨界位置及其求法．
19．（4分）如圖，等邊△ABC中，AB＝4，點D在BC上，BD＝1，E是線段AB上的一個動點（點E不與B點重合），F(xiàn)在射線CA上，且∠EDF＝∠B．設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)，則自變量x的取值范圍是 0＜x≤4 ，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ ．
【分析】根據(jù)點E是線段AB上的一個動點（點E不與B點重合），即可得出自變量x的取值范圍；證明△BED∽△CDF，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：∵點E是線段AB上的一個動點（點E不與B點重合），BE＝x，AB＝4，
∴自變量x的取值范圍是0＜x≤4，
∵等邊△ABC中，AB＝4，BD＝1，
∴BC＝AB＝4，∠B＝∠C＝60°，
∴CD＝4﹣1＝3，
∵∠EDF＝∠B，∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴，即，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造x，y所在的兩個三角形相似．
20．（4分）設(shè)P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當(dāng)a≤x≤b，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：
①函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；
②函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；
③0≤x≤1是函數(shù)y1＝x2﹣1，y2＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；
④2≤x≤3是函數(shù)y1＝x﹣5，y2＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”
其中，正確的結(jié)論序號為 ②③ ．
【分析】根據(jù)當(dāng)a≤x≤b時，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”，逐項進行判斷即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，當(dāng)x＝1時，y1﹣y2最大值為﹣9，當(dāng)x＝2時，y1﹣y2最小值為﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”不正確；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，當(dāng)x＝3時，y1﹣y2最大值為1，當(dāng)x＝4時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”正確；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，當(dāng)x＝時，y1﹣y2最大值為﹣，當(dāng)x＝0或x＝1時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，當(dāng)然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”正確；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，當(dāng)x＝時，y1﹣y2最大值為，當(dāng)x＝2或x＝3時，y1﹣y2最小值為1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”不正確；
∴正確的有②③，
故答案為：②③．
【點評】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂“逼近函數(shù)”和“逼近區(qū)間”的含義，會求函數(shù)在某個范圍內(nèi)的最大、最小值．
三、解答題（本題共70分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.（答案寫在答題紙上）
21．（5分）解不等式：﹣2x2﹣3x+9＞0．
【分析】可將該不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象來解．
【解答】解：令y＝﹣2x2﹣3x+9，
當(dāng)y＝0時，﹣2x2﹣3x+9＝0
解得：x1＝，x2＝﹣3．
∴拋物線y＝﹣2x2﹣3x+9與x軸的交點為A（﹣3，0），B（，0），如圖所示．
∴當(dāng)﹣3＜x＜時，y＞0即﹣2x2﹣3x+9＞0．
∴不等式﹣2x2﹣3x+9＞0的解集為﹣3＜x＜．
【點評】本題考查了不等式組的解法、二次函數(shù)圖象的應(yīng)用等知識，考查了轉(zhuǎn)化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，其中將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
22．（6分）先化簡，再求值，其中．
【分析】先把括號內(nèi)的通分相加，然后因式分解再約分即可將所求式子化簡，再將x＝3y代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：原式＝（+）?
＝?
＝，
∵＝3，
∴x＝3y，
∴原式＝＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意分式混合運算的運算法則和運算順序．
23．（6分）計算．
【分析】先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加減．
【解答】解：原式＝4×﹣×++3
＝2﹣1+3+3
＝7．
【點評】本題考查特殊角三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，掌握特殊角三角函數(shù)值以及二次根式混合運算的運算順序和計算法則是解題關(guān)鍵．
24．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求證：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的長．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根據(jù)△EFB∽△CDA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出EB的長度．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠D＝∠EFB，
∴△EFB∽△CDA；
（2）∵△EFB∽△CDA，
∴，
∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，
∴BE＝16．
【點評】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．
25．（8分）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行社會實踐活動時，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點D用高1.5米的測角儀DA測得塔頂M的仰角為30°，然后沿DF方向前行40m到達點E處，在E處測得塔頂M的仰角為60°．請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求此塔MF的高．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】首先證明AB＝BM＝40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解決問題；
【解答】解：由題意：AB＝40米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°
∴∠AMB＝∠MAB
∴AB＝MB＝40，
在Rt△BCM中，
∵∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BC＝＝20（米），
∴（米），
∴MC≈34.64（米），
∴MF＝CF+CM＝36.14≈36.1（米）．
【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，本題的突破點是證明AB＝BM＝40，屬于中考?？碱}型．
26．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＞0）的圖象交于點A（2，n），與y軸交于點B，與x軸交于點C（﹣4，0）．
（1）求k與m的值；
（2）P（a，0）為x軸上的一動點，當(dāng)△APB的面積為時，求a的值．
【分析】（1）把點C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求出k，再求出點A的坐標(biāo)，把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)S△CAP＝S△ABP+S△CBP，構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）當(dāng)x＝0時，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）為x軸上的動點，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝?PC?OB＝×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP＝PC?yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
27．（14分）如圖，以D為頂點的拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y＝﹣x+6．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在直線BC上有一點P，使PO+PA的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先求出點B，C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）作點O關(guān)于BC的對稱點O′，則O′（6，6），則OP+AP的最小值為AO′的長，然后求得AP的解析式，聯(lián)立直線AP和BC的解析式可求得點P的坐標(biāo)；
（3）先判斷出△BCD是直角三角形，求出，，得出∠BDC＝∠CAO．分兩種情況由相似三角形的性質(zhì)可得出比例線段，求出AQ的長，則可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得：y＝6，
∴C（0，6），
把y＝0代入y＝﹣x+6得：x＝6，
∴B（6，0），
將C（0，6）、B（6，0）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得
∴拋物線的解析式為y＝﹣+2x+6；
（2）如圖1所示：作點O關(guān)于BC的對稱點O'，則O'（6，6），
∵O'與O關(guān)于BC對稱，
∴PO＝PO'．
∴PO+AP＝PO'+AP．
∴當(dāng)A、P、O'在一條直線上時，OP+AP有最小值．
∵y＝﹣+2x+6，
當(dāng)y＝0時，﹣+2x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），
設(shè)AP的解析式為y＝mx+n，
把A（﹣2，0）、O'（6，6）代入得：，
解得：，
∴AP的解析式為y＝
將y＝與y＝﹣x+6聯(lián)立，
解得：，
∴點P的坐標(biāo)為；
（3）如圖2，
∵y＝﹣+8，
∴D（2，8），
又∵C（0，6）、B（6，0），
∴CD＝2，BC＝6，BD＝4．
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠BDC＝＝3，
∵A（﹣2，0），C（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，AC＝2
∴tan∠CAO＝＝3，
∴∠BDC＝∠CAO．
當(dāng)△ACQ∽△DCB時，有，
即，解得AQ＝20，
∴Q（18，0）；
當(dāng)△ACQ∽△DBC時，有，
即，解得AQ＝2，
∴Q（0，0）；
綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（18，0）時，以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似．
【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
28．（14分）定義：對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點P（a，b）和拋物線y＝x2+ax+b，我們稱P（a，b）是拋物線y＝x2+ax+b的相伴點，拋物線y＝x2+ax+b是點P（a，b）的相伴拋物線．
如圖，已知點A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．
（1）點A的相伴拋物線的解析式為 y＝x2﹣2x﹣2 ；過A，B兩點的拋物線y＝x2+ax+b的相伴點坐標(biāo)為 （﹣2，﹣10） ；
（2）設(shè)點P（a，b）在直線AC上運動：
①點P（a，b）的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線Ω上，求拋物線Ω的解析式；
②當(dāng)點P（a，b）的相伴拋物線的頂點落在△ABC內(nèi)部時，請直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）a＝b＝﹣2，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣2，故答案為：y＝x2﹣2x﹣2；將點A、B坐標(biāo)代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10；
（2）①直線AC的表達式為：y＝2x+2，設(shè)點P（m，2m+2），則拋物線的表達式為：y＝x2+mx+2m+2，頂點為：（﹣m，﹣m2+2m+2），即可求解；
②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解．
【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣2，
故答案為：y＝x2﹣2x﹣2；
將點A、B坐標(biāo)代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，
故答案為：（﹣2，﹣10）；
（2）①由點A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達式為：y＝2x+2，
設(shè)點P（m，2m+2），則拋物線的表達式為：y＝x2+mx+2m+2，
頂點為：（﹣m，﹣m2+2m+2），
令x＝﹣m，則m＝﹣2x，
則y＝﹣m2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2，
即拋物線Ω的解析式為：y＝﹣x2﹣4x+2；
②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，
拋物線與直線AC的交點為點E（0，2）；
當(dāng)y＝﹣2時，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2，
故點F（﹣2，﹣2）；
故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x，
故：4﹣4＜a＜0．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，這種新定義類題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:38:38；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111題目
測量鐵塔頂端到地面的高度
測量目標(biāo)示意圖
相關(guān)數(shù)據(jù)
CD＝10m，α＝45°，β＝50°
題目
測量鐵塔頂端到地面的高度
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