1．（2分）若兩個(gè)相似多邊形的相似比為1：2，則它們面積之比為（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
2．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
3．（2分）下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值的增大而減小的是（ ）
A．y＝xB．y＝2x﹣1C．y＝D．y＝x2
4．（2分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2kx+3的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不對(duì)
5．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的兩實(shí)數(shù)根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
6．（2分）已知點(diǎn)A（1，a）與點(diǎn)B（3，b）都在反比例函數(shù)的圖象上，則a與b之間的關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)＝b
7．（2分）如果拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣3）和（5，﹣3），那么拋物線的對(duì)稱軸為（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．D．
8．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)過（1，﹣2），開口向下的二次函數(shù)表達(dá)式 ．
10．（2分）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 ．
11．（2分）若二次函數(shù)y＝2x2﹣3的圖象上有兩個(gè)點(diǎn)A（﹣3，m）、B（2，n），則m n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
12．（2分）已知，則＝ ．
13．（2分）二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣2）2+3向右平移2個(gè)單位，所得函數(shù)表達(dá)式為 ．
14．（2分）二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣3x+2沿x軸翻折的表達(dá)式為 ．
15．（2分）如圖，鐵路口欄桿短臂長1米，長臂長16米，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5米時(shí)，長臂端點(diǎn)升高 米．
16．（2分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，且圖象上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為2，請(qǐng)你在第三象限的圖象上取一個(gè)符合題意的點(diǎn)，并寫出它的坐標(biāo) ．
三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每小題5分，第27～28題每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（5分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．求證：DC2＝DA?DB．
18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，畫此函數(shù)圖象時(shí)，列表如下：
（1）求出b，c的值；
（2）在右邊的坐標(biāo)系中畫出y＝x2+bx+c的圖象；
（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是 ．
19．（5分）如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)mx＞時(shí)，x的取值范圍；
（3）計(jì)算線段AB的長．
20．（5分）如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）證明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的長．
21．（5分）已知拋物線y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法將y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
22．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣6x+k+3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為大于3的整數(shù)，且該函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求k的值．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，4），C（1，0），請(qǐng)?jiān)趛軸正半軸上找到點(diǎn)D，使得△AOB與△DOC相似，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，并說明理由．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，作AC⊥x軸于點(diǎn)C．
（1）求k的值；
（2）直線y＝ax+b（a≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)B，且OB＝2AC．求a的值．
25．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，反比例函數(shù)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值；
（2）若點(diǎn)P在圖象G上，且∠POB＝∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
26．（6分）如圖，在足夠大的空地上有一段長為20米的舊墻EF，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．
（1）所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所用舊墻AD的長；
（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．
27．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此拋物線上的兩點(diǎn)．
（1）若a＝1，
①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，則m的取值范圍是 ．
28．（7分）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 （只填序號(hào)即可），其上確界為 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
2022-2023學(xué)年北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)分校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
1．（2分）若兩個(gè)相似多邊形的相似比為1：2，則它們面積之比為（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算．
【解答】解：相似多邊形的相似比是1：2，
面積的比是相似比的平方，因而它們的面積比為1：4；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)；熟記相似多邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
2．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根據(jù)完全平方式和頂點(diǎn)式的意義，可直接得出二次函數(shù)的最小值．
【解答】解：由于（x﹣1）2≥0，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值為2，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，找到完全平方式的最小值即為函數(shù)的最小值．
3．（2分）下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值的增大而減小的是（ ）
A．y＝xB．y＝2x﹣1C．y＝D．y＝x2
【分析】分別利用一次函數(shù)以及二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)分析得出即可．
【解答】解：A、y＝x，y隨x的增大而增大，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、y＝2x﹣1，y隨x的增大而增大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、y＝，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值的增大而減小，此C選項(xiàng)正確；
D、y＝x2，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值的增大而增大，此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（2分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2kx+3的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不對(duì)
【分析】令函數(shù)值為0，得到一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷有幾個(gè)解就與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)．
【解答】解：當(dāng)與x軸相交時(shí)，函數(shù)值為0．
0＝﹣x2+2kx+3，
Δ＝b2﹣4ac＝4k2+12＞0，
∴方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴拋物線y＝﹣x2+2kx+3與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，令函數(shù)值為0，得到一元二次方程，根據(jù)根的判別式確定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的兩實(shí)數(shù)根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的兩實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)y＝x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣3x+m（m為常數(shù)），
∴該拋物線的對(duì)稱軸是：x＝．
又∵二次函數(shù)y＝x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)知，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），
∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的兩實(shí)數(shù)根分別是：x1＝1，x2＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解答該題時(shí)，也可以利用代入法求得m的值，然后來求關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的兩實(shí)數(shù)根．
6．（2分）已知點(diǎn)A（1，a）與點(diǎn)B（3，b）都在反比例函數(shù)的圖象上，則a與b之間的關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)＝b
【分析】把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出a與b的值，比較大小即可．
【解答】解：點(diǎn)A（1，a）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，a＝﹣12，
點(diǎn)（3，b）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，b＝﹣4，
∴a＜b．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積等于比例系數(shù)．
7．（2分）如果拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣3）和（5，﹣3），那么拋物線的對(duì)稱軸為（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．D．
【分析】根據(jù)圖象上函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得拋物線的對(duì)稱軸．
【解答】解：由點(diǎn)（﹣2，﹣3）和（5，﹣3）都是拋物線y＝ax2+bx+c上的點(diǎn)，
得（﹣2，﹣3）、（5，﹣3）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
即對(duì)稱軸過（﹣2，﹣3）、（5，﹣3）的中點(diǎn)，
∴對(duì)稱軸為直線x＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象上函數(shù)值相等點(diǎn)的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸．
8．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸x＝1計(jì)算2a+b與0的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本選項(xiàng)正確；
②由對(duì)稱軸為x＝1，一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
∴另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和3，故本選項(xiàng)正確；
③由對(duì)稱軸為x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，則2a+b＝0，故本選項(xiàng)正確；
④∵拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸求出2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)過（1，﹣2），開口向下的二次函數(shù)表達(dá)式 y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一） ．
【分析】由開口向下可知二次項(xiàng)系數(shù)小于0，由頂點(diǎn)在（1，﹣2）可設(shè)其為頂點(diǎn)式，可求得答案．
【解答】解：可設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），
∴拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵圖象開口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一）．
故答案為：y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
10．（2分）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 5：8 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE∥BC得到AE：EC＝AD：DB＝3：5，則利用比例性質(zhì)得到CE：CA＝5：8，然后利用EF∥AB可得到CF：CB＝5：8．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，
∴CE：CA＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．
故答案為5：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
11．（2分）若二次函數(shù)y＝2x2﹣3的圖象上有兩個(gè)點(diǎn)A（﹣3，m）、B（2，n），則m ＞ n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可求得m、n的值，再進(jìn)行比例大小即可．
【解答】解：
∵A（﹣3，m）、B（2，n）在函數(shù)y＝2x2﹣3的圖象上，
∴m＝2×（﹣3）2﹣3＝15，n＝2×22﹣3＝5，
∴m＞n，
故答案為：＞．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）已知，則＝ ．
【分析】根據(jù)比例的合比性質(zhì)可直接求解．
【解答】解：∵，
∴＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】熟練應(yīng)用比例的合比性質(zhì)對(duì)已知問題進(jìn)行化簡求值．
13．（2分）二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣2）2+3向右平移2個(gè)單位，所得函數(shù)表達(dá)式為 y＝（x﹣4）2+3 ．
【分析】根據(jù)左加右減的平移規(guī)律求解即可．
【解答】解：二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣2）2+3向右平移2個(gè)單位，所得函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣2﹣2）2+3＝（x﹣4）2+3，
故答案為：y＝（x﹣4）2+3，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣3x+2沿x軸翻折的表達(dá)式為 y＝﹣x2+3x﹣2 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣3x+2沿x軸翻折的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣）2+，
即y＝﹣x2+3x﹣2，
故答案為：y＝﹣x2+3x﹣2，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，鐵路口欄桿短臂長1米，長臂長16米，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5米時(shí)，長臂端點(diǎn)升高 8 米．
【分析】連接AB、CD，根據(jù)相似三角形的判定定理判斷出△AOB∽△COD，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD的長．
【解答】解：連接AB、CD，由題意可知，OA＝OB＝1米，OC＝OD＝16米，AB＝0.5米，
在△AOB與△COD中，
∵＝，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
解得CD＝8米．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意判斷出△AOB∽△COD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
16．（2分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，且圖象上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為2，請(qǐng)你在第三象限的圖象上取一個(gè)符合題意的點(diǎn)，并寫出它的坐標(biāo) 滿足y＝的第三象限點(diǎn)均可，如（﹣2，﹣1） ．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，2）可求出k的值，再根據(jù)在第三象限圖象內(nèi)找出符合條件的點(diǎn)即可．
【解答】解：點(diǎn)（1，2）代入得，k＝2，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝，
∵第三象限內(nèi)的點(diǎn)x＜0，y＜0，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1，
故答案為：滿足y＝的第三象限點(diǎn)均可，如（﹣2，﹣1）
【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入是常用的方法．
三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每小題5分，第27～28題每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（5分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．求證：DC2＝DA?DB．
【分析】根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD＝∠B，證明△ACD∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可證明．
【解答】證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴DC2＝DA?DB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握同角的余角相等、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，畫此函數(shù)圖象時(shí)，列表如下：
（1）求出b，c的值；
（2）在右邊的坐標(biāo)系中畫出y＝x2+bx+c的圖象；
（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是 ﹣1≤y＜3 ．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得對(duì)稱軸，即可求得b的值，由拋物線過點(diǎn)（0，3），即可求得c＝3；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連線，畫圖即可；
（3）根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）∵x＝1、x＝3時(shí)的函數(shù)值相等，都是0，
∴﹣＝，
∴b＝﹣4，
∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），
∴c＝3；
（2）描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象如圖：
（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是﹣1≤y＜3．
故答案為：﹣1≤y＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的作法是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)mx＞時(shí)，x的取值范圍；
（3）計(jì)算線段AB的長．
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案；
（2）求出直線的解析式，解組成的方程組求出B的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)結(jié)合圖象即可得出答案；
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)．利用勾股定理分別求出OA、OB，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝得：k＝2，
即反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝；
（2）把A（1，2）代入y＝mx得：m＝2，
即直線的解析式是y＝2x，
解方程組得出B點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），
∴當(dāng)mx＞時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）過A作AC⊥x軸于C，
∵A（1，2），
∴AC＝2，OC＝1，
由勾股定理得：AO＝＝，
同理求出OB＝，
∴AB＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和觀察圖象的能力，題目比較典型，難度不大．
20．（5分）如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）證明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的長．
【分析】（1）利用矩形和直角三角形的性質(zhì)得到∠AEB＝∠EAD、∠ADF＝∠EAB，從而證得兩個(gè)三角形相似．
（2）首先利用勾股定理求得線段AE的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得DF的長．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵DF⊥AE
∴∠ADF＝∠EAB
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵AB＝3，BE＝4，
∴由勾股定理得AE＝5，
∵△ABE∽△DFA；
∴
即：
∴DF＝3.6
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)的知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，但難度不是很大．
21．（5分）已知拋物線y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法將y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）由于二次項(xiàng)系數(shù)是1，所以直接加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸為x＝h求解即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．利用配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣6x+k+3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若k為大于3的整數(shù)，且該函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求出Δ的取值范圍，即可求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，且k為正整數(shù)，求出k的值，將k代入拋物線解析式，檢驗(yàn)是否與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可；
【解答】解：（1）根據(jù)題意知，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（k+3）＞0，
解得：k＜6；
（2）∵3＜k＜6，且k為整數(shù)，
∴k＝4或k＝5，
當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)解析式為y＝x2﹣6x+7，不符合題意，舍去；
當(dāng)k＝5時(shí)，函數(shù)解析式為y＝x2﹣6x+8，與x軸的交點(diǎn)為（0，2）、（4，0），符合題意，
故k＝5．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，4），C（1，0），請(qǐng)?jiān)趛軸正半軸上找到點(diǎn)D，使得△AOB與△DOC相似，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，并說明理由．
【分析】分△AOB∽△DOC和△AOB∽△COD兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長度，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：（0，）或（0，2）．理由如下：
若△AOB∽△DOC，點(diǎn)D在x軸上方：∠B＝∠OCD，
∴，即．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，點(diǎn)D在x軸上方：可得D（0，2）．
綜上所述，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）或（0，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)問題，能夠結(jié)合坐標(biāo)與圖形熟練求解．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，作AC⊥x軸于點(diǎn)C．
（1）求k的值；
（2）直線y＝ax+b（a≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)B，且OB＝2AC．求a的值．
【分析】（1）將A（2，2）代入y＝，即可求出k的值；
（2）首先根據(jù)OB＝2AC求出OB＝4．再分兩種情況進(jìn)行討論：①B（﹣4，0）；②B（4，0）．將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax+b，利用待定系數(shù)法即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），
∴k＝2×2＝4；
（2）∵OB＝2AC，AC＝2，
∴OB＝4．
分兩種情況：
①如果B（﹣4，0）．
∵直線y＝ax+b（a≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)B，
∴，解得；
②如果B（4，0）．
∵直線y＝ax+b（a≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)B，
∴，解得．
綜上，所求a的值為或﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，進(jìn)行分類討論是解（2）小題的關(guān)鍵．
25．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，反比例函數(shù)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值；
（2）若點(diǎn)P在圖象G上，且∠POB＝∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA＝BC，∠ABC＝90°，再證明△ABO≌△BCH得到CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，則C（4，1），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中可計(jì)算出k的值；
（2）畫出過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的的草圖，結(jié)合條件點(diǎn)P在圖象G上，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，
∴C（4，1），
∵點(diǎn)C落在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴k＝4×1＝4；
（2）過O作OP∥BC交y＝的圖象于點(diǎn)P，過P作PG⊥x軸于G，
∵∠POG＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠PGO，
∴△OAB∽△OGP，
∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，
∵點(diǎn)P在y＝上，
∴3yP?yP＝4，
∴yP＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）如圖，在足夠大的空地上有一段長為20米的舊墻EF，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．
（1）所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所用舊墻AD的長；
（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．
【分析】（1）設(shè)AD＝BC＝x米，知AB＝DC＝米，根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解之即可；
（2）設(shè)矩形菜園ABCD面積為y，根據(jù)矩形的面積公式得出y＝x?＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣50）2+1250，由0＜x≤20，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)AD＝BC＝x米，
則AB＝DC＝米，
根據(jù)題意，得：x?＝450，
解得x1＝10，x2＝90，
x＝90＞20，舍去，
∴所用舊墻AD的長為10米；
（2）設(shè)矩形菜園ABCD面積為y，
則y＝x?
＝﹣x2+50x
＝﹣（x﹣50）2+1250，
∵0＜x≤20，
∴當(dāng)x＝20時(shí)，y取得最大值，最大值為800，
答：矩形菜園ABCD面積的最大值為800平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的根本，根據(jù)題意知道如何表示矩形的面積，并配方成頂點(diǎn)式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．
27．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此拋物線上的兩點(diǎn)．
（1）若a＝1，
①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，則m的取值范圍是 m≥24 ．
【分析】（1）①把a(bǔ)＝1代入解析式求解．②用含m代數(shù)式求出x1，x2，進(jìn)而求解．
（2）用含m代數(shù)式表示PQ，然后解不等式求解．
【解答】解：（1）①把a(bǔ)＝1代入y＝x2﹣2ax+a2﹣1得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
②∵點(diǎn)P，Q關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且x1，x2為（x﹣1）2﹣1＝m的根，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，
∴2x2﹣x1＝1+3＝7，
解得m＝3．
（2）解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝m得x1＝a﹣，x2＝a+，
∴PQ＝x2﹣x1＝2，
∴2≥（b+7）﹣（b﹣3），
∴m≥24．
故答案為：m≥24．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握含參二次函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)的關(guān)系．
28．（7分）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函數(shù)的為 ② （只填序號(hào)即可），其上確界為 1 ；
（2）如果函數(shù)y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
【分析】（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的最大值即可求解；
（2）由題意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a≤1時(shí)，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；當(dāng)a≥5時(shí)，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；當(dāng)3＜a＜5時(shí)，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①無上確界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上確界，且上確界為1，
故答案為：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y隨x值的增大而減小，
∴當(dāng)a≤x≤b時(shí)，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上確界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函數(shù)的最小值不超過2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范圍為：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的對(duì)稱軸為直線x＝a，
當(dāng)a≤1時(shí)，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
當(dāng)a≥5時(shí)，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
當(dāng)1＜a≤3時(shí)，y的最大值為25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3為上確界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
當(dāng)3＜a＜5時(shí)，y的最大值為1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3為上確界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
綜上所述：a的值為2.4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/11 11:35:32；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111x
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