1．（2分）的算術(shù)平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
2．（2分）如果分式的值為零，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝3
3．（2分）下列二次根式中，最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）實數(shù)﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2分）下列變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）若，估計m的值所在的范圍是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
7．（2分）下列運算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2分）如圖，大正方形的邊長均為a，圖（1）中白色小正方形的邊長為b，圖（2）中白色長方形的寬為b，設(shè)（a＞b＞0），則m的取值范圍為（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是 ．
10．（2分）約分：＝ ，＝ ．
11．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a2﹣7＝ ．
12．（2分）比較大?。? ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
13．（2分）若關(guān)于x的方程的解是x＝2，則m＝ ．
14．（2分）已知，則xy的值為 ．
15．（2分）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是 ．
16．（2分）觀察下面的規(guī)律：，，，，，．
（1） ；
（2）若，，則 ．
三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每小題5分，27、28題每小題5分）
17．（5分）計算：（1）?；
（2）；
（3）．
18．（5分）計算：（1）；
（2）．
19．（5分）計算：．
20．（5分）計算：．
21．（5分）解分式方程：．
22．（5分）已知，求x+y的平方根．
23．（6分）已知a2+2a﹣1＝0，求代數(shù)式（）÷的值．
24．（6分）已知一個正數(shù)m的兩個平方根為3a﹣7和a+3，求a和m的值．
25．（6分）A，B兩地相距60km．甲騎自行車從A地出發(fā)2小時后，乙騎摩托車從A地出發(fā)追趕甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同時到達(dá)B地，求甲、乙的速度．
26．（6分）在學(xué)習(xí)分式方程的解法時，王老師提出了這樣一個問題：解方程．
同學(xué)們在解答完成后，王老師介紹了另一種解法：
由，
從而可得，解得x＝20．
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解．
小雨同學(xué)對老師的解法很感興趣，于是再進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)由得成立，同時也成立，她又試了一些式子，由此發(fā)現(xiàn)了規(guī)律．
（1）請你將她發(fā)現(xiàn)的規(guī)律補(bǔ)充完整：
已知a，b，c，d均不為0，若，則，①： ②： ③： ④： ；
（2）請用上述規(guī)律，解分式方程．
27．（7分）數(shù)學(xué)王老師組織了“探究”的活動，下面是同學(xué)們的探究過程：
（1）到底有多大？
下面是小明探究的近似值的過程，請補(bǔ)充完整：
我們知道面積是2的正方形邊長是，且＞1.4．設(shè)＝1.4+x，畫出如下示意圖：
由面積公式，可得x2+ +1.96＝2
因為x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 ，
解得x≈ （保留到0.001），
即≈ ．
（2）怎樣畫出？
下面是小亮探索畫的過程，請補(bǔ)充完整：
現(xiàn)在有2個邊長為1的正方形，如圖（1），請把它們分割后拼成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格中畫出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：設(shè)新正方形的邊長為x（x＞0），割補(bǔ)前后圖形的面積相等，則x2＝2，結(jié)合實際解得x＝．把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請在圖（2）中畫出拼接成的新正方形．
請參考小亮的做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，如圖（3），請把它們分割后拼成一個邊長為的新的正方形，在圖（4）中畫出即可．
28．（7分）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個二次根式，除數(shù)是一個整式時，求得的商就會出現(xiàn)類似的形式，我們把形如的式子稱為根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， 是根分式（填寫序號即可）；
（2）寫出根分式中x的取值范圍 ；
（3）已知兩個根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，請直接寫出x的值： ．
2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)回天高未融合學(xué)區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共16分，每題2分）下列各題均有4個選項，其中只有一個是符合題意的．
1．（2分）的算術(shù)平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
【分析】利用算術(shù)平方根的定義即可求解．
【解答】解：＝3，3的算術(shù)平方根是．
故選：C．
【點評】本題考查了算術(shù)平方根的定義．解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．
2．（2分）如果分式的值為零，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝3
【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，從而可列出關(guān)于x的不等式組，故此可求得x的值．
【解答】解：∵分式的值為零，
∴．
解得：x＝2．
故選：A．
【點評】本題主要考查的是分式值為零的條件，掌握分式值為零的條件是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）下列二次根式中，最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最簡二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
【解答】解：A、中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最簡二次根式；
B、中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最簡二次根式；
C、中被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故是最簡二次根式；
D、中含能開得盡方的因數(shù)，故不是最簡二次根式；
故選：C．
【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
4．（2分）實數(shù)﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．
【解答】解：在實數(shù)﹣3.5，0.89，，，﹣π，0.010010001…中，無理數(shù)有，﹣π，0.010010001…，共3個．
故選：B．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
5．（2分）下列變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即分式的分子和分母都乘以或除以一個不為0的數(shù)或整式，分式的大小不變，可得，
A.不一定與相等，因此選項A不符合題意；
B.不一定與相等，因此選項B不符合題意；
C.＝＝，因此選項C符合題意；
D.，即≠，因此選項D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，掌握“分式的分子和分母都乘以或除以一個不為0的數(shù)或整式，分式的大小不變”是正確判斷的關(guān)鍵．
6．（2分）若，估計m的值所在的范圍是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
【分析】根據(jù)9＜13＜16，得出3＜＜4，從而估算出m所在的范圍．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴m的值所在的范圍是：3＜m＜4；
故選：D．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是估算出的范圍．
7．（2分）下列運算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．
【解答】解：A.＝＝﹣，因此選項A不符合題意；
B.＝＝，因此選項B不符合題意；
C.＝＝＝﹣，因此選項C符合題意；
D.是最簡分式，不能約分，因此選項D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)以及分解因式是正確解答的前提．
8．（2分）如圖，大正方形的邊長均為a，圖（1）中白色小正方形的邊長為b，圖（2）中白色長方形的寬為b，設(shè)（a＞b＞0），則m的取值范圍為（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
【分析】分別表示出圖（1）和圖（2）中的陰影部分的面積，再進(jìn)行分析即可．
【解答】解：圖（1）的陰影部分的面積為：a2﹣b2，
圖（2）的陰影部分的面積為：a2﹣ab，
∴m＝
＝
＝
＝1+，
∵a＞b＞0，
∴1＜1+＜2，
故選：B．
【點評】本題主要考查平方差公式的幾何背景，解答的關(guān)鍵是表示出相應(yīng)的陰影部分的面積．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是 x≥1 ．
【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【解答】解：∵二次根式有意義，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0．
10．（2分）約分：＝ ，＝ ．
【分析】將分子與分母的公因式約去即可．
【解答】解：＝，
＝＝．
故答案為：，．
【點評】本題考查了約分，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．
11．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a2﹣7＝ （a+）（a﹣） ．
【分析】在實數(shù)范圍內(nèi)利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2﹣7＝a2﹣（）2＝（a+）（a﹣），
故答案為：（a+）（a﹣）．
【點評】本題主要考查了實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，實數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實數(shù)的范圍（可用無理數(shù)的形式來表示）．
12．（2分）比較大?。?＞ ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先把2平方后移到根號內(nèi)，再根據(jù)比較實數(shù)大小的方法進(jìn)行比較即可．
【解答】解：∵2＝，
∴＞．
故答案為：＞
【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，首先運用二次根式的性質(zhì)把根號外的移到根號內(nèi)，再根據(jù)比較實數(shù)大小的方法進(jìn)行比較即可．
13．（2分）若關(guān)于x的方程的解是x＝2，則m＝ 7 ．
【分析】將x＝2代入原方程進(jìn)行求解即可．
【解答】解：當(dāng)x＝2時，
原方程為＝8，
解得m＝7，
故答案為：7．
【點評】此題考查了分式方程解的概念的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識．
14．（2分）已知，則xy的值為 9 ．
【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，進(jìn)而計算得出答案．
【解答】解：∵，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9．
故答案為：9．
【點評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．
15．（2分）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是 ．
【分析】先求＝4，＝2判斷是有理數(shù)，再進(jìn)一步求2的算數(shù)平方根，結(jié)果是無理數(shù)．
【解答】解：∵＝4，＝2是有理數(shù)，
∴是無理數(shù)，
故答案為：．
【點評】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算、代數(shù)式的求值，掌握混合運算的順序，理解題意把輸入的值代入那個式子是解題關(guān)鍵．
16．（2分）觀察下面的規(guī)律：，，，，，．
（1） 173.2 ；
（2）若，，則 0.2236 ．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則解決此題．
（2）根據(jù)二次根式的除法法則解決此題．
【解答】解：（1）∵，
∴≈173.2．
故答案為：173.2．
（2）∵，
∴≈0.2236．
故答案為：0.2236．
【點評】本題主要考查二次根式，熟練掌握二次根式的乘除運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每小題5分，27、28題每小題5分）
17．（5分）計算：（1）?；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計算即可；
（2）根據(jù)分式的除法法則計算即可；
（3）根據(jù)乘方運算法則計算即可．
【解答】解：（1）?＝；
（2）＝＝；
（3）＝．
【點評】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握分式的乘除運算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）計算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先通分成相同的分母，再進(jìn)行同分母的加法運算即可；
（2）先通分成相同的分母，再進(jìn)行同分母的減法運算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【點評】本題考查了分式的加減法，熟練掌握分式的加減法則是解題的關(guān)鍵．
19．（5分）計算：．
【分析】先算開方，再合并同類項即可．
【解答】解：原式＝2﹣+3
＝+3．
【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟知實數(shù)混合運算的法則是解題關(guān)鍵．
20．（5分）計算：．
【分析】先利用完全平方公式與乘法分配律將括號展開，再進(jìn)行加減運算即可．
【解答】解：
＝5﹣2+1+5+2
＝11．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）解分式方程：．
【分析】首先兩邊同時乘以2（x﹣2），去分母，再解整式方程，最后檢驗即可．
【解答】解：兩邊同時乘以2（x﹣2），去分母得：
2x﹣3＝x﹣2，
解得x＝1，
檢驗：把x＝1代入2（x﹣2），得﹣2≠0，
分式方程的解為x＝1．
【點評】本題考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．
22．（5分）已知，求x+y的平方根．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，從而可得x，y的值，再求得x+y的平方根．
【解答】解：由二次根式有意義可得：，
解得x＝3．
∴y＝5．
∴x+y＝3+5＝8．
故x+y的平方根為±2．
【點評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式有意義的條件，平方根，熟悉以上知識是正確解答的關(guān)鍵．
23．（6分）已知a2+2a﹣1＝0，求代數(shù)式（）÷的值．
【分析】原式小括號內(nèi)的式子先進(jìn)行通分計算，然后算括號外面的除法，最后利用整體思想代入求值．
【解答】解：原式＝[]?a（a﹣1）
＝（+）?a（a﹣1）
＝?a（a﹣1）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
【點評】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則，利用整體代入求值是關(guān)鍵．
24．（6分）已知一個正數(shù)m的兩個平方根為3a﹣7和a+3，求a和m的值．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)（一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)）解決此題．
【解答】解：由題意得，3a﹣7+a+3＝0．
∴a＝1．
∴a+3＝4．
∴m＝16．
【點評】本題主要考查平方根，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
25．（6分）A，B兩地相距60km．甲騎自行車從A地出發(fā)2小時后，乙騎摩托車從A地出發(fā)追趕甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同時到達(dá)B地，求甲、乙的速度．
【分析】設(shè)甲的速度是xkm/h，則乙的速度是3xkm/h，利用時間＝路程÷時間，結(jié)合甲比乙多用2小時，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后可得出甲的速度，再將其代入3x中可求出乙的速度．
【解答】解：設(shè)甲的速度是xkm/h，則乙的速度是3xkm/h，
依題意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，
∴3x＝3×20＝60．
答：甲的速度是20km/h，乙的速度是60km/h．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）在學(xué)習(xí)分式方程的解法時，王老師提出了這樣一個問題：解方程．
同學(xué)們在解答完成后，王老師介紹了另一種解法：
由，
從而可得，解得x＝20．
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解．
小雨同學(xué)對老師的解法很感興趣，于是再進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)由得成立，同時也成立，她又試了一些式子，由此發(fā)現(xiàn)了規(guī)律．
（1）請你將她發(fā)現(xiàn)的規(guī)律補(bǔ)充完整：
已知a，b，c，d均不為0，若，則，①： a+c ②： b+d ③： a﹣c ④： b﹣d ；
（2）請用上述規(guī)律，解分式方程．
【分析】（1）通過觀察所給的分式，直接寫出即可；
（2）仿照所給的例子，所求方程可變形為＝1，再解方程并對所求的根進(jìn)行檢驗即可求解．
【解答】解：（1）＝＝＝，
故答案為：a+c，b+d，a﹣c，b﹣d；
（2）＝＝1，
∴x2﹣4x+4＝1，
解得x＝1或x＝3，
經(jīng)檢驗，x＝1或x＝3是方程的解，
∴原方程的解為x＝1或x＝3．
【點評】本題考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法，理解所給的分式的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用性質(zhì)解方程是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）數(shù)學(xué)王老師組織了“探究”的活動，下面是同學(xué)們的探究過程：
（1）到底有多大？
下面是小明探究的近似值的過程，請補(bǔ)充完整：
我們知道面積是2的正方形邊長是，且＞1.4．設(shè)＝1.4+x，畫出如下示意圖：
由面積公式，可得x2+ 2.8x +1.96＝2
因為x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 2.8x+1.96＝2 ，
解得x≈ 0.014 （保留到0.001），
即≈ 1.414 ．
（2）怎樣畫出？
下面是小亮探索畫的過程，請補(bǔ)充完整：
現(xiàn)在有2個邊長為1的正方形，如圖（1），請把它們分割后拼成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格中畫出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：設(shè)新正方形的邊長為x（x＞0），割補(bǔ)前后圖形的面積相等，則x2＝2，結(jié)合實際解得x＝．把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請在圖（2）中畫出拼接成的新正方形．
請參考小亮的做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，如圖（3），請把它們分割后拼成一個邊長為的新的正方形，在圖（4）中畫出即可．
【分析】（1）通過面積建立方程求解即可；
（2）按要求，分割后拼成的圖形面積能夠用方程表示即可．
【解答】解：（1）圖中大正方形的邊長是，面積為：（）2＝2，
大正方形的面積還可以表示為：（x+1.4）2＝x2+2.8x+1.96．
∴x2+2.8x+1.96＝2，
略去x2得：2.8x＝2﹣1.96＝0.04，
∴x≈0.04÷2.8＝0.014．
∴≈1.414．
故答案為：2.8x，2.8x+1.96＝2，0.014，1.414．
（2）小亮同學(xué)的做法圖示為：
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，估算無理數(shù)的大小，勾股定理，乘法公式的幾何背景，找到面積的不同表示方法是求解本題的關(guān)鍵．
28．（7分）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個二次根式，除數(shù)是一個整式時，求得的商就會出現(xiàn)類似的形式，我們把形如的式子稱為根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填寫序號即可）；
（2）寫出根分式中x的取值范圍 x≥1且x≠2 ；
（3）已知兩個根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，請直接寫出x的值： 1 ．
【分析】（1）根據(jù)根分式的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)二次根式的定義，分式有意義的條件進(jìn)行分析即可；
（3）①對式子進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求解即可；
②對式子進(jìn)行化簡，結(jié)合分式有意義的條件及二次根式的定義進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）①不是根分式，
②不是根分式，
③是根分式，
故答案為：③；
（2）由題意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范圍是：x≥1且x≠2；
故答案為：x≥1且x≠2；
（3）當(dāng)，時，
①M2﹣N2＝1，
（）2﹣（）2＝1，
，
，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（）2+（）2
＝+
＝
＝
＝1+，
∵M(jìn)2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴是一個整數(shù)，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
經(jīng)檢驗，x＝1符合題意，
故答案為：1．
【點評】本題主要考查二次根式的化簡求值，分式有意義的條件，二次根式的定義，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:21:03；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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