1．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奧會會徽“冬夢”正式發(fā)布．以下是參選的會徽設(shè)計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B間的距離，可先在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點A和B的點C，連接AC并延長至D，使CD＝CA，連接BC并延長至E，使CE＝CB，連接ED．若量出DE＝58米，則A，B間的距離即可求．依據(jù)是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
3．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和8，則第三邊長可能是（ ）
A．4B．5C．8D．11
4．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）要使如圖的六邊形框架形狀穩(wěn)定，至少需要添加對角線的條數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）若一個正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)都為108°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．5B．6C．8D．10
7．（3分）如圖，B島在A島南偏西55°方向，B島在C島北偏西60°方向，C島在A島南偏東30°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
8．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，這四個關(guān)系中可以選擇的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（3分）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（ ）
A．62°B．152°C．208°D．236°
10．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為24cm和30cm的兩部分，則BC的長為（ ）
A．14B．16或22C．22D．14或22
二、填空題：（每空3分，共30分）
11．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，這個多邊形的邊數(shù)是 ．
12．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么點D到直線AB的距離是 cm．
13．（3分）等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為 ．
14．（3分）若一個正多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)相等，則此正多邊形對稱軸條數(shù)為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E．若△ABC的周長為30，BE＝5，則△ABD的周長為 ．
16．（3分）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為 ．
17．（3分）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，3），則B點的坐標(biāo)是 ．
18．（3分）如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個工廠，位置的選擇要滿足到河流和公路的距離相等，小紅說工廠應(yīng)該建在河流與公路夾角的平分線上，請你幫小紅說出她的理由 ．
19．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
20．（3分）非Rt△ABC中，已知∠A＝45°，高BD和CE所在直線交于點H，則∠BHC的度數(shù)是 ．
三、解答題：（21—25每題5分，26題7分，27題8分，共40分）
21．（5分）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度數(shù)．
22．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求證：EA＝FD．
23．（5分）下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的邊BC上的高AD．
作法：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線BC于點M，N；
②分別以點M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；
③作直線AP交BC于點D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．
根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵AM＝AN，MP＝ ，
∴AP是線段MN的垂直平分線．（ ）（填推理的依據(jù)）
∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．
24．（5分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求證：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的長．
25．（5分）如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F，且BD＝AD，F(xiàn)D＝CD．問：BE與AC有何位置關(guān)系？并說明理由．
26．（7分）在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的兩條角平分線，且BD，CE交于點F．
（1）用等式表示BE，BC，CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)∠ABC＝ °時，BF＝CA．
27．（8分）△ABC中，∠C＝60°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是直線AB上一動點，連接PD，PE，設(shè)∠DPE＝α．
（1）如圖①所示，如果點P在線段BA上，且α＝30°，那么∠PEB+∠PDA＝ ；
（2）如圖②所示，如果點P在線段BA上運(yùn)動，
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
②寫出∠PEB+∠PDA的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；并說明理由．
（3）如果點P在線段BA的延長線上運(yùn)動，直接寫出∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．那么∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
2021-2022學(xué)年北京十九中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（每題3分，共30分）
1．（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奧會會徽“冬夢”正式發(fā)布．以下是參選的會徽設(shè)計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根據(jù)軸對稱圖形的概念分別解答得出答案．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不合題意；
D、不是軸對稱圖形，不合題意．
故選：B．
【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B間的距離，可先在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點A和B的點C，連接AC并延長至D，使CD＝CA，連接BC并延長至E，使CE＝CB，連接ED．若量出DE＝58米，則A，B間的距離即可求．依據(jù)是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，，
△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE＝58米，
故選：A．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和8，則第三邊長可能是（ ）
A．4B．5C．8D．11
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出第三邊的取值范圍，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵一個三角形的兩邊長分別為3和8，
∴5＜第三邊長＜11，
則第三邊長可能是：8．
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，正確得出第三邊的取值范圍是解題關(guān)鍵．
4．（3分）若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計算出邊a所對的角為50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【解答】解：在左圖中，邊a所對的角為180°﹣60°﹣70°＝50°，
因為圖中的兩個三角形全等，
所以∠1的度數(shù)為50°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．
5．（3分）要使如圖的六邊形框架形狀穩(wěn)定，至少需要添加對角線的條數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，只要使六邊形框架變成三角形的組合體即可．
【解答】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，得要使框架穩(wěn)固且不活動，至少需要添加對角線的條數(shù)是3條．
故選：C．
【點評】本題主要考查的是多邊形的對角線，掌握三角形的穩(wěn)定性是解答本題的關(guān)鍵．
6．（3分）若一個正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)都為108°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】先求出多邊形的每一個外角的度數(shù)，再利用多邊形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵多邊形的每一個內(nèi)角都等于108°，多邊形的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，
∴每個外角是：180°﹣108°＝72°，
∴多邊形中外角的個數(shù)是360°÷72°＝5，則多邊形的邊數(shù)是5．
故選：A．
【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟練掌握的內(nèi)容．
7．（3分）如圖，B島在A島南偏西55°方向，B島在C島北偏西60°方向，C島在A島南偏東30°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根據(jù)方向角的定義和三角形的內(nèi)角和求出答案即可．
【解答】解：根據(jù)方向角的意義可知，∠BAS＝55°，∠SAC＝30°，∠NCB＝60°，
∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝55°+30°＝85°，
∠ACB＝∠BCN﹣∠ACN＝60°﹣30°＝30°，
在△ABC中，
∠ABC＝180°﹣85°﹣30°＝65°，
故選：D．
【點評】本題考查方向角，理解方向角的意義，掌握三角形的內(nèi)角和為180°是正確計算的前提．
8．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，這四個關(guān)系中可以選擇的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】由∠1＝∠2結(jié)合等式的性質(zhì)可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
①加上條件AB＝AE可利用SAS定理證明△ABC≌△AED；
②加上BC＝ED不能證明△ABC≌△AED；
③加上∠C＝∠D可利用ASA證明△ABC≌△AED；
④加上∠B＝∠E可利用AAS證明△ABC≌△AED；
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，解題時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
9．（3分）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（ ）
A．62°B．152°C．208°D．236°
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后證明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后結(jié)合題干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)．
【解答】解：∵如圖可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，
故選：C．
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，此題難度不大．
10．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為24cm和30cm的兩部分，則BC的長為（ ）
A．14B．16或22C．22D．14或22
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成24cm和30cm兩部分，可得|AB﹣BC|＝30﹣24＝6，AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54，然后分別從AB＞BC與AB＜BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如圖，∵AB＝AC，BD是AC邊上的中線，
即AD＝CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝30﹣24＝6（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54（cm），
若AB＞BC，則AB﹣BC＝6（cm），
又∵2AB+BC＝54（cm），
聯(lián)立方程組：，解得：AB＝20cm，BC＝14cm，
20、20、14三邊能夠組成三角形；
若AB＜BC，則BC﹣AB＝6（cm），
又2AB+BC＝54（cm），
聯(lián)立方程組：，解得：AB＝16，BC＝22，
16、16、22三邊能夠組成三角形；
∴BC＝14或22．
故選：D．
【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二、填空題：（每空3分，共30分）
11．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，這個多邊形的邊數(shù)是 8 ．
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．
【解答】解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案為：8．
【點評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（n﹣2）?180 （n≥3）．
12．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么點D到直線AB的距離是 4 cm．
【分析】先求出CD的長，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得DE＝CD，從而得解．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵BC＝11cm，BD＝7cm，
∴CD＝BC﹣BD＝11﹣7＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即點D到直線AB的距離是4cm．
故答案為：4．
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為 15 ．
【分析】由三角形的三邊關(guān)系可知，其兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
【解答】解：由三角形的三邊關(guān)系可知，由于等腰三角形兩邊長分別是3和6，
所以其另一邊只能是6，
故其周長為6+6+3＝15．
故答案為15．
【點評】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系問題，能夠利用三角形的三邊關(guān)系求解一些簡單的計算、證明問題．
14．（3分）若一個正多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)相等，則此正多邊形對稱軸條數(shù)為 4 ．
【分析】設(shè)此正多邊形邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和等于外角和，可得方程180（n﹣2）＝360，再解即可得到該正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而得出此正多邊形對稱軸條數(shù)．
【解答】解：設(shè)此正多邊形邊數(shù)為n，由題意得：
180（n﹣2）＝360，
解得：n＝4，
∴該正多邊形為正方形，
∴此正多邊形對稱軸條數(shù)為4．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3）且n為整數(shù)），多邊形的外角和等于360度．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E．若△ABC的周長為30，BE＝5，則△ABD的周長為 20 ．
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明△ABD的周長＝AB+AC即可解決問題．
【解答】解：∵BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABC的周長為30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AB+AC＝20，
∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故答案為20．
【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
16．（3分）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為 140° ．
【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出求出∠DFB，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠α即可．
【解答】解：如圖，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案為：140°．
【點評】本題考查了直角三角形和三角形的外角的性質(zhì)，能靈活根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
17．（3分）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，3），則B點的坐標(biāo)是 （1，4） ．
【分析】過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知條件可證明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性質(zhì)和已知數(shù)據(jù)即可求出B點的坐標(biāo)．
【解答】解：過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴則B點的坐標(biāo)是（1，4），
故答案為：（1，4）．
【點評】本題借助于坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，重點考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做高線各種全等三角形．
18．（3分）如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個工廠，位置的選擇要滿足到河流和公路的距離相等，小紅說工廠應(yīng)該建在河流與公路夾角的平分線上，請你幫小紅說出她的理由 角平分線上的點到角兩邊的距離相等． ．
【分析】由已知條件及要求滿足的條件，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作答．
【解答】解：理由：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
故答案為：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
【點評】此題考查角平分線的性質(zhì)：熟練掌握角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】先設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，進(jìn)而得到∠AED，最后利用三角形的外角性質(zhì)列出方程求得α，即可求得∠ABC的大?。?br>【解答】解：設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，則∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折疊得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案為：72．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用折疊的性質(zhì)將其他角的度數(shù)用代數(shù)式表示．
20．（3分）非Rt△ABC中，已知∠A＝45°，高BD和CE所在直線交于點H，則∠BHC的度數(shù)是 135°或45° ．
【分析】①△ABC是銳角三角形時，先根據(jù)高線的定義求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進(jìn)行計算即可得解；
②△ABC是鈍角三角形時，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BHC＝∠A，從而得解．
【解答】解：①如圖1，△ABC是銳角三角形時，
∵BD、CE是△ABC的高線，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如圖2，△ABC是鈍角三角形時，
∵BD、CE是△ABC的高線，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（對頂角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
綜上所述，∠BHC的度數(shù)是135°或45°．
故答案為：135°或45°．
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，難點在于要分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論，作出圖形更形象直觀．
三、解答題：（21—25每題5分，26題7分，27題8分，共40分）
21．（5分）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度數(shù)．
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC的度數(shù)，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度數(shù)，AE是角平分線，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC＝∠BAC＝34°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，
∠AEC＝90°﹣14°＝76°．
【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，高線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理．
22．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求證：EA＝FD．
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出AC＝DB，利用平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝∠FBD，再根據(jù)AAS證明△AEC≌△DFB，進(jìn)而解答即可．
【解答】證明：∵AB＝DC（已知），
∴AC＝DB（等量加等量，和相等）．
∵EC∥FB（已知），
∴∠ECA＝∠FBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
在△AEC和△DFB中，
∴△AEC≌△DFB（AAS）．
∴EA＝FD（ 全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
23．（5分）下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的邊BC上的高AD．
作法：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線BC于點M，N；
②分別以點M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；
③作直線AP交BC于點D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．
根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵AM＝AN，MP＝ PN ，
∴AP是線段MN的垂直平分線．（ 到線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 ）（填推理的依據(jù)）
∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）利用線段的垂直平分線的判定解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖，線段AD即為所求．
（2）∵AM＝AN，MP＝PN，
∴AP是線段MN的垂直平分線．（到線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）
∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．
故答案為：PN，到線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．
【點評】本題考查作圖﹣線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
24．（5分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求證：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的長．
【分析】（1）連接DB、DC，先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE＝DF，再證明△DBE≌△DCF就可以得出結(jié)論；
（2）由條件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，進(jìn)而就可以求出結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：
接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE，
∵AB＝8，AC＝6，
∴6+BE＝8﹣BE，
∴BE＝1，
∴AE＝8﹣1＝7．
即AE＝7，BE＝1．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．
25．（5分）如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F，且BD＝AD，F(xiàn)D＝CD．問：BE與AC有何位置關(guān)系？并說明理由．
【分析】由“SAS”可證△BDF≌△ADC，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠DBF，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：BE⊥AC，理由如下：
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴∠DAC＝∠DBF，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．
26．（7分）在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的兩條角平分線，且BD，CE交于點F．
（1）用等式表示BE，BC，CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)∠ABC＝ 40 °時，BF＝CA．
【分析】（1）利用角平分線得出∠EBF＝∠MBF，進(jìn)而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判斷出∠CFM＝∠CFD，即可判斷出△FCM≌△FCD，即可得出結(jié)論；
（2）先求出相關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而判斷出BG＝CE，進(jìn)而判斷出△BGF≌△CEA，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）BE+CD＝BC，理由如下：
在BC上取一點M，使BM＝BE，
∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，
∴∠FBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFD＝∠BFE＝60°
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠EBF＝∠MBF，
在△BEF和△BMF中，
，
∴△BEF≌△BMF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFM＝60°，
∴∠CFM＝∠BFC﹣∠BFM＝60°，
∴∠CFM＝∠CFD＝60°，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠FCM＝∠FCD，
在△FCM和△FCD中，
，
∴△FCM≌△FCD（ASA），
∴CM＝CD，
∴BC＝CM+BM＝CD+BE；
（2）當(dāng)∠ABC＝40°時，BF＝CA，理由如下：
在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝80°，
∵BD，CE是△ABC的兩條角平分線，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝40°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝80°，∠ABC＝∠BCE，
∴BE＝CE，
在△ABC的邊AB左側(cè)作∠ABG＝20°，交CE的延長線于G，
∴∠FBG＝∠ABD+∠ABG＝40°＝∠ACE．
∵∠AEC＝80°，
∴∠BEG＝80°，
∴∠G＝180°﹣∠ABG﹣∠BEG＝80°＝∠BEG＝∠AEC，
∴BG＝BE，
∴BG＝CE，
在△BGF和△CEA中，
，
∴△BGF≌△CEA（ASA），
∴BF＝AC．
故答案為：40．
【點評】主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是（1）判斷出∠CFM＝∠CFD，（2）作出輔助線，判斷出BG＝CE．
27．（8分）△ABC中，∠C＝60°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是直線AB上一動點，連接PD，PE，設(shè)∠DPE＝α．
（1）如圖①所示，如果點P在線段BA上，且α＝30°，那么∠PEB+∠PDA＝ 90° ；
（2）如圖②所示，如果點P在線段BA上運(yùn)動，
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
②寫出∠PEB+∠PDA的大小（用含α的式子表示）；并說明理由．
（3）如果點P在線段BA的延長線上運(yùn)動，直接寫出∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．那么∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系是 60°+α或60°﹣α或60°； ．
【分析】（1）連接PC，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況討論，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；
連接PC，如圖1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠C+∠DPE＝60°+30°＝90°
故答案為：90°；
（2）①如圖2所示；
②連接PC，如圖3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠C+∠DPE＝60°+α；
∴∠PEB+∠PDA＝60°+α；
（3）分三種情況：
①如圖4所示：
連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA＝∠1+∠2
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠3＝60°+α；
②如圖5所示：連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2，∠PDA＝∠1+∠2+∠3，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠3＝60°﹣α；
③如圖6所示：P、D、E在同一條直線上，連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠PEB＝∠ACB+∠1+∠2，∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝60°；
綜上所述：如果點P在線段BA的延長線上運(yùn)動，
∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關(guān)系是60°+α或60°﹣α或60°；
故答案為：60°+α或60°﹣α或60°．
【點評】本題是三角形綜合題目，考查了三角形的外角性質(zhì)、角之間的數(shù)量關(guān)系；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，注意（3）中分類討論．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:50:23；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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