1．（3分）低碳環(huán)保理念深入人心，共享單車已成為出行新方式．下列共享單車圖標(biāo)，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
3．（3分）小明用長(zhǎng)度分別為5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個(gè)三角形，則a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
4．（3分）如圖所示，△ABC的邊AC上的高是（ ）
A．線段AEB．線段BAC．線段BDD．線段DA
5．（3分）在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③
6．（3分）如圖，將△ABC沿DH、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處．若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．90°D．140°
7．（3分）如圖，△ABC中，AC＜BC，如果用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定點(diǎn)P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，3）、（4，3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
二、填空題（每小題2分，共16分）
11．（2分）M（3，﹣1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
12．（2分）一個(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為60°，則邊數(shù)n為 ．
13．（2分）如圖，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝CD，請(qǐng)你再添加一個(gè)邊或角的條件使△ABC≌△DCB，添加的條件是： ．（添加一個(gè)即可）
14．（2分）如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，則△APC的面積是 cm2．
15．（2分）等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則周長(zhǎng)是 ．
16．（2分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ ．
17．（2分）如圖，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，則∠A＝ （用含α的式子表示）．
18．（2分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
三、解答題（19題～26題，每題5分，27題6分，28題8分，共54分）
19．（5分）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
20．（5分）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式發(fā)布，并在2020年5月1日起正式實(shí)施，這標(biāo)志著北京市生活垃圾分類將正式步入法制化、常態(tài)化、系統(tǒng)化軌道，目前，相關(guān)配套設(shè)施的建設(shè)已經(jīng)開啟．如圖，計(jì)劃在某小區(qū)道路l上建一個(gè)智能垃圾分類投放點(diǎn)O，使得道路l附近的兩棟住宅樓A，B到智能垃圾分類投放點(diǎn)O的距離相等．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），確定點(diǎn)O的位置；
（2）得到OA＝OB的依據(jù)為： ．
21．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度數(shù)．
22．（5分）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
23．（5分）如圖1是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形．
（1）可能的位置有 種．
（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中利用陰影標(biāo)出所有可能情況．
24．（5分）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過(guò)B、C．
（1）若∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，則∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系 ．
25．（5分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．
26．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)．
27．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上確定點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊BC的距離等于DA的長(zhǎng)；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證：BC＝AB+AD．
28．（8分）如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC＝ED．則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)，點(diǎn)E稱為反稱中心．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱中心E在直線AO上，反稱點(diǎn)D在直線OC上．
①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)： ；
②若AE＝2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點(diǎn)D在直線BC上，且2≤AE＜3．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍： （用含n的代數(shù)式表示）．
2021-2022學(xué)年北京171中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題3分，共30分）
1．（3分）低碳環(huán)保理念深入人心，共享單車已成為出行新方式．下列共享單車圖標(biāo)，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形．故選項(xiàng)正確；
B、不是軸對(duì)稱圖形．故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱圖形．故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形．故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．
2．（3分）如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出．
【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）小明用長(zhǎng)度分別為5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個(gè)三角形，則a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形任何兩邊之和都大于第三邊，任何兩邊之差都小于第三邊，可判定求解．
【解答】解：由題意得9﹣5＜a＜9+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是6，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖所示，△ABC的邊AC上的高是（ ）
A．線段AEB．線段BAC．線段BDD．線段DA
【分析】根據(jù)三角形高線的定義，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則BD為AC邊上的高．
【解答】解：由題意可知，△ABC的邊AC上的高是線段BD．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的高線，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．
5．（3分）在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③
【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．
【解答】解：①因?yàn)椤螦+∠B＝∠C，則2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因?yàn)椤螦：∠B：∠C＝1：2：3，設(shè)∠A＝x，則x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因?yàn)椤螦＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，則∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因?yàn)椤螦＝∠B＝∠C，所以三角形為等邊三角形．
所以能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解答此題要用到三角形的內(nèi)角和為180°，若有一個(gè)內(nèi)角為90°，則△ABC是直角三角形．
6．（3分）如圖，將△ABC沿DH、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處．若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．90°D．140°
【分析】根據(jù)翻折變換前后對(duì)應(yīng)角不變，故∠B＝∠EOF，∠A＝∠DOH，∠C＝∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG＝360°，進(jìn)而求出∠1+∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵將△ABC三個(gè)角分別沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，
∴∠B＝∠EOF，∠A＝∠DOH，∠C＝∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG＝360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣180°＝180°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝140°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG＝∠A+∠B+∠C＝180°是解題關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，△ABC中，AC＜BC，如果用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定點(diǎn)P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，
即點(diǎn)P為AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
8．（3分）圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求第一個(gè)圖形中，邊a，c的夾角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，由全等三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：由圖形可得：第一個(gè)圖形中，邊a，c的夾角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵兩個(gè)三角形全等，
∴α＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝EC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解．
【解答】解：如圖，連接BE，
∵EF是BC的垂直平分線，
∴BE＝CE，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
所以PA+PB的最小值即為AC的長(zhǎng)，為4．
所以PA+PB的最小值為4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用線段的垂直平分線的性質(zhì)．
10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，3）、（4，3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過(guò)畫圖就可解決問(wèn)題．
【解答】解：①若AC＝AB，則以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；
②若BC＝BA，則以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）；
③若CA＝CB，則點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x軸，
∴AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸只有1個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有7個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識(shí)，還考查了動(dòng)手操作的能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題2分，共16分）
11．（2分）M（3，﹣1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．
【解答】解：點(diǎn)M（3，﹣1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1），
故答案為：（﹣3，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．
12．（2分）一個(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為60°，則邊數(shù)n為 6 ．
【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理可直接求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：
n＝360°÷60°＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的外角，掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝CD，請(qǐng)你再添加一個(gè)邊或角的條件使△ABC≌△DCB，添加的條件是： （∠ABC＝∠DCB）答案不唯一 ．（添加一個(gè)即可）
【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的條件是∠ABC＝∠DCB，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案為：∠ABC＝∠DCB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
14．（2分）如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，則△APC的面積是 30 cm2．
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得點(diǎn)P到AC的距離等于5，從而求得△APC的面積．
【解答】解：∵AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，∠ABC＝90°，PB＝5cm，
∴點(diǎn)P到AC的距離等于5cm，
∵AC＝12cm，∴△APC的面積＝12×5÷2＝30cm2，
故答案為30．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，難度適中．
15．（2分）等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則周長(zhǎng)是 18或21 ．
【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為5和8，但沒(méi)有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．
【解答】解：當(dāng)5為底時(shí)，其它兩邊都為8，5、8、8可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為21；
當(dāng)5為腰時(shí)，其它兩邊為5和8，5、5、8可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為18，
所以答案是18或21．
故填18或21．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論
16．（2分）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ 3 ．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解AB的長(zhǎng)，再利用BD＝AB﹣AD計(jì)算可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2AD，
∴AB＝4AD，
∵AD＝1，
∴AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求解AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
17．（2分）如圖，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，則∠A＝ 2α （用含α的式子表示）．
【分析】根據(jù)已知可表示得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得∠A的度數(shù)；
【解答】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，
∴∠C＝（90﹣α）°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，
∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°
∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；
故答案為2α．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般．
18．（2分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案為72
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（19題～26題，每題5分，27題6分，28題8分，共54分）
19．（5分）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB與△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式發(fā)布，并在2020年5月1日起正式實(shí)施，這標(biāo)志著北京市生活垃圾分類將正式步入法制化、常態(tài)化、系統(tǒng)化軌道，目前，相關(guān)配套設(shè)施的建設(shè)已經(jīng)開啟．如圖，計(jì)劃在某小區(qū)道路l上建一個(gè)智能垃圾分類投放點(diǎn)O，使得道路l附近的兩棟住宅樓A，B到智能垃圾分類投放點(diǎn)O的距離相等．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），確定點(diǎn)O的位置；
（2）得到OA＝OB的依據(jù)為： 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ．
【分析】（1）連接AB，作線段AB的垂直平分線EF，交直線l于點(diǎn)O，連接OA，OB，點(diǎn)O即為所求；
（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)O即為所求；
（2）∵EF垂直平分線段AB，
∴OA＝OB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），
故答案為：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
21．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度數(shù)．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因?yàn)椤鰾DE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠CDE的度數(shù)．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求出∠ACB與∠E的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】（1）證明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC與△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．
23．（5分）如圖1是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形．
（1）可能的位置有 4 種．
（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中利用陰影標(biāo)出所有可能情況．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念分別找出各個(gè)能成軸對(duì)稱圖形的小方格即可．
【解答】解：（1）可能的位置有4個(gè)．
故答案為：4；
（2）如圖所示：
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．
24．（5分）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過(guò)B、C．
（1）若∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°，則∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系 ∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，則∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案為：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案為：35；
（3）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．證明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解答的關(guān)鍵．
25．（5分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：AD是△ABC的角平分線．
【分析】首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根據(jù)三角形角平分線的逆定理求得AD是角平分線即可．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分線．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的逆定理，綜合運(yùn)用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正確解答本題的關(guān)鍵．
26．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)．
【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換，即可作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）依據(jù)以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，可知兩個(gè)三角形有公共邊BC，運(yùn)用對(duì)稱性即可得出所有符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）當(dāng)△BCD與△BCA關(guān)于BC對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)△BCA與△CBD關(guān)于BC的中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)為（ 0，﹣1），
△BCA與△CBD關(guān)于BC的中垂線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)為當(dāng)（2，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用軸對(duì)稱變換作圖以及全等三角形的判定的運(yùn)用，解題時(shí)注意，成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形或成中心對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等．
27．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上確定點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊BC的距離等于DA的長(zhǎng)；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證：BC＝AB+AD．
【分析】（1）依據(jù)尺規(guī)作圖，作∠ABC的平分線BD即可解決問(wèn)題．
（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
由（1）知DA＝DE．
又∵∠A＝90°，BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∴CE＝AD，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
28．（8分）如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC＝ED．則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)，點(diǎn)E稱為反稱中心．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱中心E在直線AO上，反稱點(diǎn)D在直線OC上．
①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)： （﹣1，0） ；
②若AE＝2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點(diǎn)D在直線BC上，且2≤AE＜3．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍： n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3 （用含n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF＝FC＝，OF＝，即可求OD＝1，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；
②分點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，根據(jù)反稱點(diǎn)定義可求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）分點(diǎn)E在點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，可求CF＝DF的值，即可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍．
【解答】解：（1）①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，
∵EC＝ED，EF⊥OC
∴DF＝FC，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴AO＝CO＝2，
∵點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，
∴OE＝1，
∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2OF＝1
∴OF＝，
∵OC＝2，
∴CF＝＝DF，
∴DO＝1
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，0）
故答案為：（﹣1，0）
②∵等邊三角形AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O（0，0），C（2，0），
∴OC＝2．
∴AO＝OC＝2．
∵E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點(diǎn)，且AE＝2，
∴點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，
如圖，若點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，
∵EC＝ED，EC＝2，
∴ED＝2．
∵D是邊OC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）
如圖，若點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，且AE＝2，
∵AC＝AE＝2，
∴∠E＝∠ACE．
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠OAC＝∠ACO＝60°．
∴∠E＝∠ACE＝30°．
∴∠OCE＝90°．
∵EC＝ED，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合．
這與題目條件中的D與C不重合矛盾，故這種情況不合題意，舍去，
綜上所述：D（﹣2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC＝1，
∴AB＝AC＝1
∵2≤AE＜3，
∴點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，
如圖點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
∴
若AE＝2，AB＝1
∴BE＝1，
∴＝1
∴BH＝BF＝
∴CF＝＝DF
∴D的橫坐標(biāo)為：n﹣﹣＝n﹣2，
若AE＝3，AB＝1
∴BE＝2，
∴＝
∴BF＝2BH＝1
∴CF＝DF＝2
∴D的橫坐標(biāo)為：n﹣1﹣2＝n﹣3，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n﹣3＜t≤n﹣2，
如圖點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，
同理可求：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n+2≤t＜n+3，
綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．
故答案為：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，閱讀理解題意是本題的關(guān)鍵，是中考?jí)狠S題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:59:13；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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