1．（2分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（﹣2，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，4）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣2，﹣4）
3．（2分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．b2+b2＝2b2C．xm?x5＝x5mD．（3x）3＝9x3
4．（2分）下列條件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．三條邊分別相等
B．兩邊和其中一角分別相等
C．兩邊和夾角分別相等
D．兩角和它們的夾邊分別相等
5．（2分）如圖所示，三角形紙片被正方形紙板遮住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了一個(gè)與該三角形完全重合的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全重合的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（2分）若把一個(gè)正方形紙片按下圖所示方法三次對(duì)折后再沿虛線剪開，則剩余部分展開后得到的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）下列命題中，不正確的是（ ）
A．有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形
B．一條線段可以看成是以它的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形
C．等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的中線
D．等邊三角形有3條對(duì)稱軸
8．（2分）如圖，將三角形紙片ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕分別交BC，AB于點(diǎn)D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周長(zhǎng)為17cm，那么BC的長(zhǎng)為（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
9．（2分）如圖，∠BAC＝130°，若MP和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
10．（2分）如圖，將Rt△ABC過點(diǎn)B折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，折痕為BD，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等邊三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
二、填空題（第11-18題每題3分，第19題4分，共28分）
11．（3分）計(jì)算：2a?3a2b＝ ，（﹣2x）3＝ ，3a（5a﹣2b）＝ ．
12．（3分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和6，則三角形周長(zhǎng)為 ．
13．（3分）等腰三角形的一個(gè)外角是110°，則它的頂角的度數(shù)是 ．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，則△ABC的周長(zhǎng)是 ．
15．（3分）若a5?（ay）3＝a17，則y＝ ，若3×9m×27m＝311，則m的值為 ．
16．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)F在BC邊上，AB與EF相交于點(diǎn)P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，則∠APF＝ °．
17．（3分）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，并連接AE、AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，則∠EAF的度數(shù)為 ．
18．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝ ，PD＝ ．
19．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），B（0，3），C（0，2），點(diǎn)D在第二象限，且△AOB≌△OCD．在坐標(biāo)系中畫草圖分析可得：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
（2）點(diǎn)P在y軸上，且△PAC是等腰三角形，則∠CPA的大小為 ．
三、解答題（本大題共8道小題，共52分）
20．（12分）計(jì)算：
（1）x2y3?（﹣x）；
（2）（﹣2ab）3?a4b2；
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）；
（4）（﹣3x2）2?（﹣x2+2x﹣1）．
21．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
22．（5分）已知BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求證：AC∥DF．
23．（4分）如圖，在4×4的正方形方格中，陰影部分是涂黑5個(gè)小正方形所形成的圖案．將方格內(nèi)空白的兩個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)谌鐖D的圖中至少畫出四個(gè)方案，并畫出對(duì)稱軸．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)：A1（ ， ）．
（2）△ABC的面積為 ．
（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（ ， ）．
25．（6分）尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，已知△ABC，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線BP上，求作△A'C'B．
作法：在射線BP上截BA'＝BA，以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)A'為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在射線BP的右側(cè)交于點(diǎn)C'，則△A'C'B即為所求．
上述操作的作圖原理是： ．
（2）如圖2，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA，OB的距離相等．
結(jié)論： ．
26．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AE＝3，求BC的長(zhǎng)．
解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（ ）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝ °．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ ）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 ＝ ．
∴BC＝BE+EC＝ ．
27．（7分）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點(diǎn)E，P．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若∠ACN＝α，直接寫出∠BDC的大小 （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示線段PB，PC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（第（2）問中的結(jié)論可以直接使用）
四、附加題（本大題共2道小題，共10分）
28．（4分）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．
根據(jù)上述規(guī)定，（2，8）＝ ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且滿足p+q＝r，則t＝ ．
29．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．
2021-2022學(xué)年北京十四中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題2分，共20分）
1．（2分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．
2．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（﹣2，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，4）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣2，﹣4）
【分析】利用關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得答案．
【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣4），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
3．（2分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．b2+b2＝2b2C．xm?x5＝x5mD．（3x）3＝9x3
【分析】根據(jù)積的乘方與冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法解決此題．
【解答】解：A．根據(jù)積的乘方，（x2）3＝x6，故A不正確，那么A不符合題意．
B．根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，b2+b2＝2b2，故B正確，那么B符合題意．
C．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，xm?x5＝xm+5，故C不正確，那么C不符合題意．
D．根據(jù)積的乘方與冪的乘方，（3x）3＝27x3，故D不正確，那么D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方與冪的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握積的乘方與冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2分）下列條件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．三條邊分別相等
B．兩邊和其中一角分別相等
C．兩邊和夾角分別相等
D．兩角和它們的夾邊分別相等
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．三邊對(duì)應(yīng)相等，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．兩邊相等，假如是一個(gè)三角形是這兩邊的夾角，二另一個(gè)三角形是其中一邊的對(duì)角相等，那么這時(shí)的兩個(gè)三角形不全等，故本選項(xiàng)符合題意；
C．兩邊和夾角分別相等，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．兩角和它們的夾邊分別相等，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出兩三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
5．（2分）如圖所示，三角形紙片被正方形紙板遮住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了一個(gè)與該三角形完全重合的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全重合的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】圖中三角形沒被污染的部分有兩角及夾邊，根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由圖可知，三角形兩角及夾邊還存在，
∴根據(jù)可以根據(jù)三角形兩角及夾邊作出圖形，
所以，依據(jù)是ASA．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）若把一個(gè)正方形紙片按下圖所示方法三次對(duì)折后再沿虛線剪開，則剩余部分展開后得到的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】拿正方形紙片先沿對(duì)角線向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一個(gè)等腰直角三角形，展開即可得到正確答案．
【解答】解：動(dòng)手操作后可得第一個(gè)圖案．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了剪紙問題；主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)動(dòng)手操作能力．
7．（2分）下列命題中，不正確的是（ ）
A．有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形
B．一條線段可以看成是以它的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形
C．等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的中線
D．等邊三角形有3條對(duì)稱軸
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理、軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．
【解答】解：A、一個(gè)三角形的外角是120°，
則內(nèi)角為60°，
∴這個(gè)三角形是等邊三角形，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
B、一條線段可以看成是以它的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
C、等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的中線所在的直線，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
D、等邊三角形有3條對(duì)稱軸，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
8．（2分）如圖，將三角形紙片ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕分別交BC，AB于點(diǎn)D，E．如果AC＝5cm，△ADC的周長(zhǎng)為17cm，那么BC的長(zhǎng)為（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
【分析】利用翻折變換的性質(zhì)得出AD＝BD，進(jìn)而利用AD+CD＝BC得出即可．
【解答】解：∵將△ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，△ADC的周長(zhǎng)為17cm，
∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)題意得出AD＝BD是解題關(guān)鍵．
9．（2分）如圖，∠BAC＝130°，若MP和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
【分析】由MP和QN分別垂直平分AB和AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得PA＝PB，QA＝QC，繼而可得∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，則可求得答案．
【解答】解：∵M(jìn)P和QN分別垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝80°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，將Rt△ABC過點(diǎn)B折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，折痕為BD，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①DE⊥AB；
②BC＝BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等邊三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤
【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，可得DE⊥AB，BD平分∠ABC，由線段垂直平分線的判定可得BD垂直平分EC，由∠ABC不一定等于60°，可得△BEC不一定是等邊三角形，即可求解．
【解答】解：∵將Rt△ABC過點(diǎn)B折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，BC＝BE，∠CBD＝∠EBD，DE＝DC，
∴DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正確，
∵DE＝DC，BE＝BC，
∴BD垂直平分EC，故⑤正確，
∵∠ABC不一定等于60°，
∴△BEC不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（第11-18題每題3分，第19題4分，共28分）
11．（3分）計(jì)算：2a?3a2b＝ 6a3b ，（﹣2x）3＝ ﹣8x3 ，3a（5a﹣2b）＝ 15a2﹣6ab ．
【分析】單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘；
積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；
【解答】解：2a?3a2b＝6a3b；
（﹣2x）3＝﹣8x3；
3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab．
故答案為：6a3b；﹣8x3；15a2﹣6ab．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、積的乘方、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，掌握這三個(gè)法則的熟練應(yīng)用，正確運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
12．（3分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和6，則三角形周長(zhǎng)為 14 ．
【分析】根據(jù)2和6可分別作等腰三角形的腰，結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理，分別討論求解．
【解答】解：當(dāng)2為腰時(shí)，三邊為2，2，6，由三角形三邊關(guān)系定理可知，不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)6為腰時(shí)，三邊為6，6，2，符合三角形三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：6+6+2＝14．
故答案為：14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理．關(guān)鍵是根據(jù)2，6分別作為腰，由三邊關(guān)系定理，分類討論．
13．（3分）等腰三角形的一個(gè)外角是110°，則它的頂角的度數(shù)是 70°或40° ．
【分析】根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角的和為180°求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再分這個(gè)角是頂角與底角兩種情況討論求解．
【解答】解：∵一個(gè)外角是110°，
∴與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是180°﹣110°＝70°，
①當(dāng)70°角是頂角時(shí)，它的頂角度數(shù)是70°，
②當(dāng)70°角是底角時(shí)，它的頂角度數(shù)是180°﹣70°×2＝40°，
綜上所述，它的頂角度數(shù)是70°或40°．
故答案為：70°或40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，要注意分兩種情況討論求解．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，則△ABC的周長(zhǎng)是 15 ．
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為15，
故答案為15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
15．（3分）若a5?（ay）3＝a17，則y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，則m的值為 2 ．
【分析】先利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算a5?（ay）3、3×9m×27m，再根據(jù)底數(shù)與指數(shù)分別相等時(shí)冪也相等得方程，求解即可．
【解答】解：∵a5?（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，
∴a5+3y＝a17．
∴5+3y＝17．
∴y＝4．
∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，
∴31+5m＝311．
∴1+5m＝11．
∴m＝2．
故答案為：4；2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法法則，根據(jù)底數(shù)、指數(shù)分別相等時(shí)其冪也相等得到關(guān)于y和m的方程是解決本題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)F在BC邊上，AB與EF相交于點(diǎn)P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，則∠APF＝ 74 °．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠B＝37°，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PFB＝∠B＝37°，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠APF的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝37°，
∵PB＝PF，
∴∠PFB＝∠B＝37°，
∴∠APF＝37°+37°＝74°，
故答案為：74．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
17．（3分）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，并連接AE、AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，則∠EAF的度數(shù)為 134° ．
【分析】連接AD，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：連接AD，
∵D點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣51°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，
故答案為134°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答．
18．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝ 10 ，PD＝ 5 ．
【分析】求出∠COP＝∠CPO＝∠BOP，即可得出PC＝OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PD＝PE，求出PE，即可求出PD．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，
∴PC＝OC，
∵PC＝10，
∴OC＝PC＝10，
過P作PE⊥OA于點(diǎn)E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OB，∠AOB＝30°
∴∠ECP＝∠AOB＝30°
在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，
∴PD＝PE＝5，
故答案為：10，5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．
19．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），B（0，3），C（0，2），點(diǎn)D在第二象限，且△AOB≌△OCD．在坐標(biāo)系中畫草圖分析可得：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （﹣3，2） ；
（2）點(diǎn)P在y軸上，且△PAC是等腰三角形，則∠CPA的大小為 22.5°或45°或67.5°或90° ．
【分析】（1）根據(jù)△AOB≌△OCD可得DC＝BO，再根據(jù)B（0，3），C（0，2）可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A（2，0），C（0，2），得到OA＝OC＝2，求得∠ACO＝∠CAO＝45°，當(dāng)AC＝AP時(shí)，當(dāng)CA＝CP時(shí)，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)P重合時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）正確畫出△COD，
∵△AOB≌△OCD，
∴DC＝BO，
∵B（0，3），C（0，2），
∴D（﹣3，2）；
（2）∵點(diǎn)A（2，0），C（0，2），
∴OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
當(dāng)AC＝AP時(shí)，∠CPA＝∠ACP＝45°；
當(dāng)CA＝CP時(shí)，∠CPA＝∠CAP＝（180°﹣45°）＝67.5°，或∠CPA＝∠CAP＝∠ACO＝22.5°；
當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)P重合時(shí)，PC＝PA，∠CPA＝∠COA＝90°，
綜上所述，∠CPA的大小為22.5°或45°或67.5°或90°
故答案為：（1）（﹣3，2）；（2）22.5°或45°或67.5°或90°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．
三、解答題（本大題共8道小題，共52分）
20．（12分）計(jì)算：
（1）x2y3?（﹣x）；
（2）（﹣2ab）3?a4b2；
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）；
（4）（﹣3x2）2?（﹣x2+2x﹣1）．
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式乘法法則解決此題．
（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式乘法法則解決此題．
（3）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法法則解決此題．
（4）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法法則解決此題．
【解答】解：（1）x2y3?（﹣x）＝﹣2x3y3．
（2）（﹣2ab）3?a4b2
＝﹣8a3b3?a4b2
＝﹣8a7b5．
（3）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）
＝﹣2a2?3ab2﹣2a2?（﹣5ab3）
＝﹣6a3b2+10a3b3．
（4）（﹣3x2）2?（﹣x2+2x﹣1）
＝9x4?（﹣x2+2x﹣1）
＝9x4?（﹣x2）+9x4?2x﹣9x4
＝﹣9x6+18x5﹣9x4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式乘法法則、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
21．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
【分析】先利用整式的乘法計(jì)算，合并化簡(jiǎn)，最后代入求得數(shù)值即可．
【解答】解：原式＝2x3﹣4x2﹣6x3+3x2+4x3
＝﹣x2，
當(dāng)x＝﹣時(shí)，
原式＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，掌握計(jì)算方法與合并同類項(xiàng)的方法是解決問題的關(guān)鍵．
22．（5分）已知BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求證：AC∥DF．
【分析】根據(jù)題意可以證得△ABC≌△DEF，從而可以解答本題．
【解答】證明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)解答．
23．（4分）如圖，在4×4的正方形方格中，陰影部分是涂黑5個(gè)小正方形所形成的圖案．將方格內(nèi)空白的兩個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)谌鐖D的圖中至少畫出四個(gè)方案，并畫出對(duì)稱軸．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫出圖形即可．
【解答】解：方案如圖所示，對(duì)稱軸如圖所示．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)：A1（ ﹣3 ， ﹣2 ）．
（2）△ABC的面積為 ．
（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（ ﹣2 ， 0 ）．
【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（2）用矩形的面積減去四周三個(gè)三角形的面積；
（3）連接A1B，與x軸的交點(diǎn)即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，A1（﹣3，﹣2）；
故答案為：﹣3、﹣2；
（2）△ABC的面積為4×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×1×4
＝12﹣3﹣﹣2
＝，
故答案為：．
（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求，其坐標(biāo)為（﹣2，0），
故答案為：﹣2、0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義與性質(zhì)．
25．（6分）尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，已知△ABC，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線BP上，求作△A'C'B．
作法：在射線BP上截BA'＝BA，以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)A'為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在射線BP的右側(cè)交于點(diǎn)C'，則△A'C'B即為所求．
上述操作的作圖原理是： SSS ．
（2）如圖2，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA，OB的距離相等．
結(jié)論： 點(diǎn)P為∠AOB的平分線與MN的交點(diǎn) ．
【分析】（1）根據(jù)題中作法畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，再利用三角形全等的判定方法可判斷△A'C'B≌△ACB，于是得到△A′BC′滿足條件；
（2）利用角平分線的性質(zhì)畫圖．
【解答】解：（1）如圖，△A'C'B即為所求．
由作法得BA′＝BA，BC′＝BC，A′C′＝AC，
根據(jù)“SSS”可判斷△A'C'B≌△ACB，
∴∠A′BC′＝∠ABC，
∴∠A′BA＝∠C′BC，
∴△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'C'B．
故答案為：SSS；
（2）如圖，點(diǎn)P為所作，
根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點(diǎn)P到射線OA，OB的距離相等．
故答案為：點(diǎn)P為∠AOB的平分線與MN的交點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了角平分線的性質(zhì)．
26．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AE＝3，求BC的長(zhǎng)．
解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（ 等邊對(duì)等角 ）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝ 120° °．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等 ）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ 90 °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 AE ＝ 6 ．
∴BC＝BE+EC＝ 9 ．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EC＝EA＝3．∠EAC＝∠C＝30°．從而可得∠BAE＝90°，Rt△ABE中，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，可求得BE＝2AE＝6；由此可求得BC的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB＝AC．
∴∠C＝∠B（等邊對(duì)等角）．
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）．
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝6．
∴BC＝BE+EC＝9．
故答案為：等邊對(duì)等角，120°，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，90，AE，6，9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
27．（7分）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點(diǎn)E，P．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若∠ACN＝α，直接寫出∠BDC的大小 60°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示線段PB，PC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（第（2）問中的結(jié)論可以直接使用）
【分析】（1）按要求畫圖即可；
（2）由軸對(duì)稱可得CA＝CD，再由等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）在PB上截取PF＝PC，如圖所示，連接CF，先證明△PCF為等邊三角形，再證明△BFC≌△DPC，則BF＝PA，由此可解決問題．
【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示．
（2）∵點(diǎn)A、D關(guān)于CN對(duì)稱，
∴CN為AD中垂線，
∴CA＝CD，∠ACN＝∠DCN＝α．
∴∠ACD＝2α，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴BC＝CD．
∴∠BCD＝60°+2α，∠BDC＝∠DBC．
∴∠BDC＝＝60°﹣α．
故答案為：60°﹣α．
（3）PB＝PC+2PE．
證明：在PB上截取PF＝PC，如圖所示，連接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2α，CN⊥AD，
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α，
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝（90°﹣α）﹣（60°﹣α）＝30°，
∴PD＝2PE，∠DPE＝60°＝∠CPF，
∵PF＝PC，
∴△PCF為等邊三角形，
∠BFC＝∠DPC＝120°，
在△BFC和△DPC中，
，
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．
即PB＝PC+2PE．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合理的輔助線構(gòu)造等邊三角形轉(zhuǎn)移線段解題是關(guān)鍵．
四、附加題（本大題共2道小題，共10分）
28．（4分）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．
根據(jù)上述規(guī)定，（2，8）＝ 3 ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且滿足p+q＝r，則t＝ 80 ．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法解決此題．
【解答】解：∵23＝8，
∴（2，8）＝3．
∵（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t．
∴mp?mq＝mp+q＝80．
∵p+q＝r，
∴mp+q＝mr．
∴mr＝80＝t．
∴t＝80．
故答案為：3，80．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法是解決本題的關(guān)鍵．
29．（6分）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．
【分析】（1）已知角度，要分割成兩個(gè)等腰三角形，可以運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，先計(jì)算出可能的角度，或者先從草圖中確認(rèn)可能的情況，及角度，然后畫上．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖（共有2種不同的分割法）．
（2）設(shè)∠ABC＝y(tǒng)，∠C＝x，過點(diǎn)B的直線交邊AC于D．在△DBC中，
①若∠C是頂角，如圖1，則∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此時(shí)只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y(tǒng)﹣（90°﹣x）
即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；
②若∠C是底角，
第一種情況：如圖2，當(dāng)DB＝DC時(shí)，則∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y(tǒng)﹣x．
由AB＝AD，得2x＝y(tǒng)﹣x，此時(shí)有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．
由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此時(shí)3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y(tǒng)﹣x，此時(shí)y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C為小于等于45°的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當(dāng)BD＝BC時(shí)，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此時(shí)只能有AD＝BD，
從而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾．
∴當(dāng)∠C是底角時(shí)，BD＝BC不成立．
綜上，∠ABC與∠C之間的關(guān)系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；第（1）問是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索．本問對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力都有較高的要求．
第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，“分類討論”把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形并結(jié)合“方程思想”探究角與角之間的關(guān)系．本題不僅趣味性強(qiáng)，創(chuàng)造性強(qiáng)，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”、“方程思想”、“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學(xué)思想，是一道不可多得的好題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:59:55；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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這是一份2021-2022學(xué)年北京人大附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共30頁(yè)。

2021-2022學(xué)年北京二十中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】：

這是一份2021-2022學(xué)年北京二十中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共28頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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