1．（2分）剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一，被列入第四批《人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄》，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a5＝a10B．a(chǎn)2+a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．（﹣a2）4＝a8
3．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
5．（2分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，則DE的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2分）下列命題中正確的有（ ）個
①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
④等底等高的兩個三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
7．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，交AC于D點(diǎn)，連接BD，若DE＝2，則AC的值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．（2分）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
9．（2分）已知，如圖在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對稱，∠OBC＝35°，則∠OED的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．35°
10．（2分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點(diǎn)P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．1個
二、填空題（每小題2分，共16分）
11．（2分）計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是 ．
12．（2分）如圖，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個動點(diǎn)．若PA＝2，則PQ的最小值為 ，理論根據(jù)為 ．
13．（2分）如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊三角形ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，若AB＝15cm，則CM的長為 ．
14．（2分）若等腰三角形的一個外角為140°，則它的頂角的度數(shù)為 ．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是 ．
16．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是 ．
17．（2分）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．
根據(jù)上述規(guī)定，（2，8）＝ ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且滿足p+q＝r，則t＝ ．
18．（2分）如圖，點(diǎn)D是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，則∠ACB的度數(shù)為 ．
三、解答題（本題共20分）
19．（16分）計(jì)算：
（1）a?（a2）3?（﹣a2）；
（2）4xy2?（x2yz3）；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）；
（4）（3x﹣2）（x+5）．
20．（4分）先化簡，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
四、作圖題（6分）
21．（6分）下面是小蕓設(shè)計(jì)的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的邊BC上的高AD．
作法：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線BC于點(diǎn)M，N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；
③作直線AP交BC于點(diǎn)D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．
根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）AP是線段MN的 ．（填下列選項(xiàng)的序號）
①垂直平分線
②角平分線
點(diǎn)P在這條線上的依據(jù)是 ．
五、解答題（22-25每題6分，26-27每題7分，共38分）
22．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AE＝3，求BC的長．
解：∵AB＝AC，∠B＝30°．
∴∠C＝∠B＝30°（ ），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ ），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 ＝ ，
∴BC＝BE+EC＝ ．
23．（6分）已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM．
24．（6分）如圖，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC與BD相交于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：∠BEF＝∠CEF．
25．（6分）已知：如圖，D是△ABC的邊BA延長線上一點(diǎn)，且AD＝AB，E是邊AC上一點(diǎn)，且DE＝BC．求證：∠DEA＝∠C．
26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（t﹣1，1）與點(diǎn)B關(guān)于過點(diǎn)（t，0）且垂直于x軸的直線對稱．
（1）以AB為底邊作等腰三角形ABC，
①當(dāng)t＝2時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
②當(dāng)t＝0.5且直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O時，點(diǎn)C與x軸的距離為 ；
③若△ABC上所有點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離都不小于1，則t的取值范圍是 ．
（2）以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，直線m過點(diǎn)（0，b）且與x軸平行，若直線m上存在點(diǎn)P，△ABD上存在點(diǎn)K，滿足PK＝1，直接寫出b的取值范圍．
27．（7分）在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．點(diǎn)D在直線AM上，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時，
①請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形；
②∠CAM的度數(shù)為 ；
③求證：△ADC≌△BEC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線AM上時，直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O（點(diǎn)D與點(diǎn)M不重合，點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），直接寫出線段OE，OM與OD的數(shù)量關(guān)系．
2021-2022學(xué)年北京八中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題2分，共20分）下面各題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的。
1．（2分）剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一，被列入第四批《人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄》，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故錯誤；
B、是軸對稱圖形，故正確；
C、不是軸對稱圖形，故錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故錯誤．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a5＝a10B．a(chǎn)2+a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．（﹣a2）4＝a8
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：A、a2?a5＝a7，故A不符合題意；
B、a2+a2＝2a2，故B不符合題意；
C、（a2b）3＝a6b3，故C不符合題意；
D、（﹣a2）4＝a8，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
3．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項(xiàng)逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若AB＝AC，則△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合題意；
B、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合題意；
C、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠B＝∠C，則△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合題意；
D、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠BDA＝∠CDA，則△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
【分析】關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【解答】解：∵關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)
∴點(diǎn)P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣5）．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，明確關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，則DE的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等推知BD＝AC＝7，然后根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)已知條件找準(zhǔn)對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2分）下列命題中正確的有（ ）個
①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
④等底等高的兩個三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正確結(jié)論．
【解答】解：①三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，錯誤；
②三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；
③有兩角和一邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；
④等底等高的兩個三角形不一定全等，錯誤；
故選：B．
【點(diǎn)評】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做題時要按判定全等的方法逐個驗(yàn)證．
7．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，交AC于D點(diǎn)，連接BD，若DE＝2，則AC的值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到AD的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到CD的長，進(jìn)而得出AC的長．
【解答】解：∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，
∴AD＝BD＝4，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
即BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝2，
∴AC＝4+2＝6，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．（2分）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
【分析】根據(jù)題意可把陰影部分分成兩個長方形或一個長方形和一個正方形來計(jì)算面積，也可以用大長方形的面積減去空白處小長方形的面積來計(jì)算．
【解答】解：A、大長方形的面積為：（x+3）（x+2），空白處小長方形的面積為：2x，所以陰影部分的面積為（x+3）（x+2）﹣2x，故正確；
B、陰影部分可分為應(yīng)該長為x+3，寬為x和一個長為x+2，寬為3的長方形，他們的面積分別為x（x+3）和3×2＝6，所以陰影部分的面積為x（x+3）+6，故正確；
C、陰影部分可分為一個長為x+2，寬為3的長方形和邊長為x的正方形，則他們的面積為：3（x+2）+x2，故正確；
D、x2+5x，故錯誤；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了長方形和正方形的面積計(jì)算，難度適中．
9．（2分）已知，如圖在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對稱，∠OBC＝35°，則∠OED的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．35°
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)D恰好在BC上得出OB是線段AD的垂直平分線，故可得出∠BOD的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DOC的度數(shù)，由點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對稱可知BC是OE的垂直平分線，故可得出∠DOC＝∠OED．
【解答】解：連接OD，
∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，∠OBC＝35°，
∴∠AOB＝∠OBC＝35°，∠BOC＝90°﹣35°＝55°．
∵點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)D恰好在BC上，
∴OB是線段AD的垂直平分線，
∴∠BOD＝∠AOB＝35°，
∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝55°﹣35°＝20°．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對稱，
∴BC是OE的垂直平分線，
∴∠DOC＝∠OED＝20°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點(diǎn)P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．1個
【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部
在l上作點(diǎn)P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB＝BP，DC＝PC，
同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AP＝AB，PD＝DC．
【解答】解：如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，
如圖，在l上作點(diǎn)P，使PA＝AB，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC＝DC，
如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB＝BP，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使PD＝DC，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有5個．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形判定的理解和掌握，此題難度較大，需要利用分類討論的思想分析解答．
二、填空題（每小題2分，共16分）
11．（2分）計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是 ﹣2a3b ．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
【解答】解：a2?（﹣6ab）
＝×（﹣6）a2+1b
＝﹣2a3b．
故答案為：﹣2a3b．
【點(diǎn)評】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的掌握．
12．（2分）如圖，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個動點(diǎn)．若PA＝2，則PQ的最小值為 2 ，理論根據(jù)為 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，垂線段最短 ．
【分析】過P作PQ⊥OM于Q，此時PQ的長最短，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PQ＝PA＝2即可．
【解答】解：
過P作PQ⊥OM于Q，此時PQ的長最短（垂線段最短），
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝2，
∴PQ＝PA＝2（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），
故答案為：2，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，垂線段最短．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
13．（2分）如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊三角形ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，若AB＝15cm，則CM的長為 5cm ．
【分析】由△ABC是等邊三角形，MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC可證明△PMN是等邊三角形，得出PN＝PM＝MN，進(jìn)而證明△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，再由∠MPB＝90°，∠PMB＝30°，得出BM＝2PB，結(jié)合AB＝15cm，可求出PB＝MC＝5cm．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN＝30°，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP＝60°，
∴△PMN是等邊三角形，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝15cm，
∵∠MPB＝90°，∠PMB＝30°，
∴BM＝2PB，
∴2PB+PB＝15cm，
∴PB＝5cm，
∴MC＝5cm，
故答案為：5cm．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2分）若等腰三角形的一個外角為140°，則它的頂角的度數(shù)為 40°或100° ．
【分析】本題可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不確定，因此本題要分情況進(jìn)行討論．
【解答】解：本題可分兩種情況：
①如圖，當(dāng)∠DCA＝140°時，∠ACB＝40°，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝100°；
②如圖，當(dāng)∠EAC＝140°時，∠BAC＝40°，
因此等腰三角形的頂角度數(shù)為40°或100°．
故填40°或100°．
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是 a＞b＞c ．
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則求解．
【解答】解：a＝8131＝3124，
b＝2741＝3123，
c＝961＝3122，
∵a、b、c的底數(shù)相同，
∴a＞b＞c．
故答案為：a＞b＞c．
【點(diǎn)評】本題考查了冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則．
16．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是 4.8 ．
【分析】先作CE垂直AB交BD于點(diǎn)M，再作MN垂直BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可找到動點(diǎn)M和N，進(jìn)而求得CM+MN的最小值．
【解答】解：如圖所示：
過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，
過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB?CE＝AC?BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
故答案為4.8．
【點(diǎn)評】本題考查了最短路線問題、角分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到使CM+MN最小時的動點(diǎn)M和N．
17．（2分）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．
根據(jù)上述規(guī)定，（2，8）＝ 3 ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且滿足p+q＝r，則t＝ 80 ．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法解決此題．
【解答】解：∵23＝8，
∴（2，8）＝3．
∵（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t．
∴mp?mq＝mp+q＝80．
∵p+q＝r，
∴mp+q＝mr．
∴mr＝80＝t．
∴t＝80．
故答案為：3，80．
【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘法是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2分）如圖，點(diǎn)D是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，則∠ACB的度數(shù)為 34° ．
【分析】在AC上截取AE＝AB，連接DE，則可證明△ABD≌△AED，得出BD＝ED，DE＝EC，將∠ACB轉(zhuǎn)化為∠ABD進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，連接DE，
∵AC＝AB+BD，
∴EC＝BD，
在△ABD和△AED中，
AB＝AE，∠DAC＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝ED，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠ACB＝∠EDC+∠ECD＝∠AED＝∠ABD＝∠ABC＝34°．
故答案為34°．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，有一定難度，關(guān)鍵是仔細(xì)理解題意，作出輔助線，要熟練掌握全等三角形的判定定理．
三、解答題（本題共20分）
19．（16分）計(jì)算：
（1）a?（a2）3?（﹣a2）；
（2）4xy2?（x2yz3）；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）；
（4）（3x﹣2）（x+5）．
【分析】（1）先算乘方，再按同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算；
（2）按單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則計(jì)算；
（3）先按單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則計(jì)算乘法，再合并同類項(xiàng)；
（4）按多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算．
【解答】解：（1）a?（a2）3?（﹣a2）
＝a?a6?（﹣a2）
＝﹣a1+6+2
＝﹣a9；
（2）4xy2?（x2yz3）
＝（4×）?（x?x2）?（y2?y）?z3
＝x3y3z3；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）
＝2xy?x2﹣2xy?3y2﹣4xy?2x2﹣4xy?y2
＝2x3y﹣6xy3﹣8x3y﹣4xy3
＝﹣6x3y﹣10xy3；
（4）（3x﹣2）（x+5）
＝3x?x+3x×5﹣2?x﹣2×5
＝3x2+15x﹣2x﹣10
＝3x2+13x﹣10．
【點(diǎn)評】本題考查了整式的計(jì)算，掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．
20．（4分）先化簡，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
【分析】先利用整式的乘法計(jì)算，合并化簡，最后代入求得數(shù)值即可．
【解答】解：原式＝2x3﹣4x2﹣6x3+3x2+4x3
＝﹣x2，
當(dāng)x＝﹣時，
原式＝﹣．
【點(diǎn)評】此題考查整式的混合運(yùn)算與化簡求值，掌握計(jì)算方法與合并同類項(xiàng)的方法是解決問題的關(guān)鍵．
四、作圖題（6分）
21．（6分）下面是小蕓設(shè)計(jì)的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的邊BC上的高AD．
作法：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線BC于點(diǎn)M，N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；
③作直線AP交BC于點(diǎn)D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．
根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）AP是線段MN的 ① ．（填下列選項(xiàng)的序號）
①垂直平分線
②角平分線
點(diǎn)P在這條線上的依據(jù)是 到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上． ．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）利用線段的垂直平分線的判定解決問題即可．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）直線AP是線段MN的垂直平分線，理由是到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
故答案為：①，到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
五、解答題（22-25每題6分，26-27每題7分，共38分）
22．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE．若AE＝3，求BC的長．
解：∵AB＝AC，∠B＝30°．
∴∠C＝∠B＝30°（ 等邊對等角 ），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等 ），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ 90 °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 AE ＝ 6 ，
∴BC＝BE+EC＝ 9 ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠B＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出EC＝EA＝3，求出∠EAC＝∠C＝30°，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BE＝2AE＝6，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°（等邊對等角），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+3＝9，
故答案為：等邊對等角，線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等，90，AE，6，9．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
23．（6分）已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM．
【分析】由∠BAC＝∠DAM可得出∠BAD＝∠NAM，結(jié)合AB＝AN、AD＝AM即可證出△BAD≌△NAM（SAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠B＝∠ANM．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B＝∠ANM．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS證出△BAD≌△NAM是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）如圖，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC與BD相交于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：∠BEF＝∠CEF．
【分析】先利用AAS證明△ABE≌△DCE，再利用SSS證明△BFE≌△CFE即可．
【解答】證明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴BF＝CF，
在△BFE和△CFE中，
，
∴△BFE≌△CFE，
∴∠BEF＝∠CEF．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用AAS和SSS證明三角形全等，此題難度不大．
25．（6分）已知：如圖，D是△ABC的邊BA延長線上一點(diǎn)，且AD＝AB，E是邊AC上一點(diǎn)，且DE＝BC．求證：∠DEA＝∠C．
【分析】過點(diǎn)D作BC的平行線交CA的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．
【解答】證明：過點(diǎn)D作BC的平行線交CA的延長線于點(diǎn)F，
∴∠C＝∠F．
∵點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，
∴AD＝AB．
在△ADF和△ABC中，
∴△ADF≌△ABC（AAS）
∴DF＝BC，
∵DE＝BC，
∴DE＝DF．
∴∠F＝∠DEA．
又∵∠C＝∠F，
∴∠C＝∠DEA．
【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明是解題關(guān)鍵．
26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（t﹣1，1）與點(diǎn)B關(guān)于過點(diǎn)（t，0）且垂直于x軸的直線對稱．
（1）以AB為底邊作等腰三角形ABC，
①當(dāng)t＝2時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （3，1） ；
②當(dāng)t＝0.5且直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O時，點(diǎn)C與x軸的距離為 1 ；
③若△ABC上所有點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離都不小于1，則t的取值范圍是 t≥2或t≤﹣2 ．
（2）以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，直線m過點(diǎn)（0，b）且與x軸平行，若直線m上存在點(diǎn)P，△ABD上存在點(diǎn)K，滿足PK＝1，直接寫出b的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)A，B關(guān)于直線x＝2對稱解決問題即可．
②求出直線OA與直線x＝0.5的交點(diǎn)C的坐標(biāo)即可判斷．
③由題意A（t﹣1，1），B（t+1，1），根據(jù)△ABC上所有點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離都不小于1，構(gòu)建不等式即可解決問題．
（2）由題意AB＝t+1﹣（t﹣1）＝2，由△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，推出點(diǎn)D到AB的距離為1，分兩種情形分別求解即可解決問題．
【解答】解：（1）①如圖1中，
由題意A（1，1），A，B關(guān)于直線x＝2對稱，
∴B（3，1）．
故答案為（3，1）．
②如圖2中，
由題意A（﹣0.5，1），直線l：x＝0.5，
∵直線AC的解析式為y＝﹣2x，
∴C（0.5，﹣1），
∴點(diǎn)C到x軸的距離為1，
故答案為1．
③由題意A（t﹣1，1），B（t+1，1），
∵△ABC上所有點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離都不小于1，
∴t﹣1≥1或t+1≤﹣1，
解得t≥2或t≤﹣2．
故答案為t≥2或t≤﹣2．
（2）如圖3中，
∵A（t﹣1，1），B（t+1，1），
∴AB＝t+1﹣（t﹣1）＝2，
∵△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，
∴點(diǎn)D到AB的距離為1，
∴當(dāng)點(diǎn)D在AB上方時，若直線m上存在點(diǎn)P，△ABD上存在點(diǎn)K，滿足PK＝1，則0≤b≤3．
當(dāng)點(diǎn)D在AB下方時，若直線m上存在點(diǎn)P，△ABD上存在點(diǎn)K，滿足PK＝1，則﹣1≤b≤2．
綜上所述，﹣1≤b≤3．
【點(diǎn)評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)根據(jù)不等式解決問題，屬于中考壓軸題．
27．（7分）在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．點(diǎn)D在直線AM上，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時，
①請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形；
②∠CAM的度數(shù)為 30° ；
③求證：△ADC≌△BEC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線AM上時，直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O（點(diǎn)D與點(diǎn)M不重合，點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），直接寫出線段OE，OM與OD的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可；
②利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求解即可；
③根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）根據(jù)要求作出圖形，結(jié)論：OE+OD＝2OM．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：（1）①圖形如圖1中所示：
②∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AM是△ABC的中線，
∴∠CAM＝∠BAM＝∠BAC＝30°．
故答案為：30°；
③∵△ABC，△DCE都是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的下方BE的上方時，如圖2中所示．結(jié)論：OE+OD＝2OM．
理由：同法可證，△ACD≌△BCE，
∵BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴OB＝2OM，AO＝2OB，
∴OB+OE＝AO﹣OD，
∵2OM+OE＝2OB﹣OD，
∴2OM+OE＝4OM﹣OD，
∴OE+OD＝2OM．
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的上方時，同法可得OD＝OE+2OM．
如圖4中，當(dāng)點(diǎn)D在BE的下方時，同法可得2OM＝OE﹣OD．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30°角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:57:16；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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