1．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．1，2，3D．1，2，4
3．（3分）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（ ）
A．線段AEB．線段BEC．線段BFD．線段CF
4．（3分）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
5．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
6．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，DE＝2，AC＝3，那么△ACD的面積是（ ）
A．2B．3C．6D．無法確定
7．（3分）請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意圖，請你根據(jù)圖形全等的知識，說明畫出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
9．（3分）如圖，直線l表示一條河，點A，B表示兩個村莊，想在直線l上的某點P處修建一個水泵站向A，B兩村莊供水．現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案（圖中實線表示鋪設(shè)的管道），則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空題
11．（3分）寫出點M（2，3）關(guān)于x軸對稱的點N的坐標(biāo) ．
12．（3分）一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數(shù)為 ．
13．（3分）如圖，蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使其不變形，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是 ．
14．（3分）如圖，BE與CD交于點A，且∠C＝∠D．添加一個條件： ，使得△ABC≌△AED．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過點E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB＝4，AC＝3，則△ADF周長為 ．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足為D．若AB＝6，則BD的長為 ．
17．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
18．（3分）如圖，D是△ABC內(nèi)部的一點，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列結(jié)論中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題
19．如圖，點B是線段AD上一點，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求證：△ABC≌△EDB．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D為頂點的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點D坐標(biāo)．
四、解答題
21．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．連接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求證：AB＝AC．
22．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．
23．如圖，已知△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF．猜想AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
24．為了解決某貧困地區(qū)兩村村民子女就近入學(xué)問題，某愛心企業(yè)捐資助學(xué)，計劃新建一所學(xué)校，如圖AB，AC表示兩條公路，點M，N表示兩個村莊，學(xué)校的位置需滿足三個條件：①到兩條公路的距離相等；②到兩個村莊的距離相等；③在∠BAC的內(nèi)部．請運用尺規(guī)作圖確定學(xué)校的位置，不寫作法，保留作圖痕跡并寫明結(jié)論．
五、解答題
25．已知：在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E在線段BD上（點E不與點B，D重合），且∠EAB＝2∠ECB．求證：AE+AB＝BC．
26．如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一點．
（1）以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點D、E在直線AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若過點C作CM∥AB，在CM上取一點F，連AF、DF，使得AF＝DF，試猜想△ADF的形狀，并證明你的結(jié)論．
2021-2022學(xué)年北京師大附屬實驗學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題〔每小題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。）
1．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故選項正確；
C、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故選項錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
2．（3分）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（ ）
A．1，2，1B．1，2，2C．1，2，3D．1，2，4
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，計算兩個較小的邊的和，看看是否大于第三邊即可．
【解答】解：A、1+1＝2，不能組成三角形，故A選項錯誤；
B、1+2＞2，能組成三角形，故B選項正確；
C、1+2＝3，不能組成三角形，故C選項錯誤；
D、1+2＜4，不能組成三角形，故D選項錯誤；
故選：B．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．
3．（3分）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（ ）
A．線段AEB．線段BEC．線段BFD．線段CF
【分析】利用三角形的高的定義可得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC邊上的高為AE，
故選：A．
【點評】此題主要考查了三角形的高，關(guān)鍵是掌握從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．
4．（3分）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（ ）
A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°
【分析】分這個角為底角和頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【解答】解：當(dāng)這個內(nèi)角為頂角時，則頂角為40°，
當(dāng)這個內(nèi)角為底角時，則兩個底角都為40°，此時頂角為：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故選：D．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根據(jù)圖形條件和全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】解：
根據(jù)圖形可知：△ABC≌△FDE，
所以∠A＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝72°，
所以∠1＝180°﹣∠F﹣∠E＝58°，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠F＝50°、∠C＝∠E＝72°是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等．
6．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，DE＝2，AC＝3，那么△ACD的面積是（ ）
A．2B．3C．6D．無法確定
【分析】過D作DF⊥AC，垂足為F，由角平分線的性質(zhì)可求得DF的長，再利用三角形的面積公式計算可求解．
【解答】解：過D作DF⊥AC，垂足為F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∵AC＝3，
∴S△ACD＝AC?DF＝×3×2＝3．
故選：B．
【點評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造△ACD中AC邊上的高是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意圖，請你根據(jù)圖形全等的知識，說明畫出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根據(jù)作圖過程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，所以運用的是三邊對應(yīng)相等，兩三角形全等作為依據(jù)．
【解答】解：根據(jù)作圖過程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
在△OCD與△O′C′D′中，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故選：A．
【點評】本題考查基本作圖“作一個角等于已知角”的相關(guān)知識，其理論依據(jù)是三角形全等的判定“邊邊邊”定理和全等三角形對應(yīng)角相等．從作法中找已知，根據(jù)已知條件選擇判定方法．
8．（3分）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【分析】根據(jù)全等三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可．
【解答】解：A．如圖Rt△ACB和Rt△ADB的斜邊都是AB，但是兩三角形不一定全等，故本選項不符合題意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
9．（3分）如圖，直線l表示一條河，點A，B表示兩個村莊，想在直線l上的某點P處修建一個水泵站向A，B兩村莊供水．現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案（圖中實線表示鋪設(shè)的管道），則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離即可．
【解答】解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接BA′交直線l于P．
根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道最短．
故選：D．
【點評】本題考查了最短路線問題，這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
10．（3分）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故選：C．
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．（3分）寫出點M（2，3）關(guān)于x軸對稱的點N的坐標(biāo) （2，﹣3） ．
【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)）解得即可．
【解答】解：點M（2，3）關(guān)于x軸對稱的點N的坐標(biāo)為（2，﹣3）．
故答案為：（2，﹣3）．
【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．（3分）一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數(shù)為 5 ．
【分析】利用多邊形的外角和360°，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．
【解答】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷72＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使其不變形，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是 三角形的穩(wěn)定性 ．
【分析】在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，則分成了兩個三角形，據(jù)此即可判斷．
【解答】解：在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，則分成了兩個三角形，利用了三角形的穩(wěn)定性．
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．
14．（3分）如圖，BE與CD交于點A，且∠C＝∠D．添加一個條件： 答案不唯一，但必須是一組對應(yīng)邊，如：AC＝AD ，使得△ABC≌△AED．
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠C＝∠D．∠BAC＝∠EAD（對頂角相等），則添加一組對應(yīng)邊相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必須是一組對應(yīng)邊，如：AC＝AD．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
15．（3分）如圖，在△ABC中，BE、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過點E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB＝4，AC＝3，則△ADF周長為 7 ．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根據(jù)等角對等邊可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周長＝AB+AC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：∵E是∠ABC，∠ACB平分線的交點，
∴∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，
∵DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，
∴DE＝BD，EF＝CF，
∴DF＝DE+EF＝BD+CF，
即DE＝BD+CF，
∴△ADF的周長＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴△ADF的周長＝4+3＝7，
故答案為7．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，主要利用了角平分線的定義，等角對等邊的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足為D．若AB＝6，則BD的長為 3 ．
【分析】利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝，
故答案為：3．
【點評】此題考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．
17．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】先設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，進(jìn)而得到∠AED，最后利用三角形的外角性質(zhì)列出方程求得α，即可求得∠ABC的大?。?br>【解答】解：設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，則∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折疊得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案為：72．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用折疊的性質(zhì)將其他角的度數(shù)用代數(shù)式表示．
18．（3分）如圖，D是△ABC內(nèi)部的一點，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列結(jié)論中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正確結(jié)論的序號是 ①③④ ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正確；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②錯誤；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正確；
∴BD平分∠ABC，故④正確；
故答案為：①③④．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判斷，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．如圖，點B是線段AD上一點，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求證：△ABC≌△EDB．
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D，然后根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△EDB．
【解答】證明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△EDB中
，
∴△ABC≌△EDB（SAS）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：靈活運用全等三角形的5種判定方法．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D為頂點的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點D坐標(biāo)．
【分析】（1）利用軸對稱變換，即可作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）依據(jù)以B、C、D為頂點的三角形與△ABC全等，可知兩個三角形有公共邊BC，運用對稱性即可得出所有符合條件的點D坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）當(dāng)△BCD與△BCA關(guān)于BC對稱時，點D坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)△BCA與△CBD關(guān)于BC的中點對稱時，點D坐標(biāo)為（ 0，﹣1），
△BCA與△CBD關(guān)于BC的中垂線對稱時，點D坐標(biāo)為當(dāng)（2，﹣1）．
【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖以及全等三角形的判定的運用，解題時注意，成軸對稱的兩個三角形或成中心對稱的兩個三角形全等．
四、解答題
21．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．連接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求證：AB＝AC．
【分析】由“AAS”可證△BAD≌△CAE，可得AB＝AC．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS），
∴AB＝AC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△BAD≌△CAE是本題的關(guān)鍵．
22．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC＝2∠ABE，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據(jù)∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD計算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，已知△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF．猜想AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】由“HL”可證Rt△BED≌Rt△CFD，可得∠B＝∠C，可得結(jié)論．
【解答】解：AB＝AC，理由如下：
∵點D是BC邊上的中點，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
24．為了解決某貧困地區(qū)兩村村民子女就近入學(xué)問題，某愛心企業(yè)捐資助學(xué)，計劃新建一所學(xué)校，如圖AB，AC表示兩條公路，點M，N表示兩個村莊，學(xué)校的位置需滿足三個條件：①到兩條公路的距離相等；②到兩個村莊的距離相等；③在∠BAC的內(nèi)部．請運用尺規(guī)作圖確定學(xué)校的位置，不寫作法，保留作圖痕跡并寫明結(jié)論．
【分析】先連接MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段MN的垂直平分線DE，再作出∠BAC的平分線AF，DE與AF相交于P點，則點P即為所求．
【解答】解：點P為線段MN的垂直平分線與∠BAC的平分線的交點，則點P到點M、N的距離相等，到AB、AC的距離也相等，作圖如下：
【點評】此題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練地應(yīng)用角平分線的作法以及線段垂直平分線作法是解決問題的關(guān)鍵．
五、解答題
25．已知：在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E在線段BD上（點E不與點B，D重合），且∠EAB＝2∠ECB．求證：AE+AB＝BC．
【分析】在BC上截取BF＝AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE，推AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，再根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的連個內(nèi)角的和這一定理，寫出∠EFB＝∠FEC+∠ECB，通過等量代換推∠ECB＝∠FEC，進(jìn)一步證明EF＝FC，再通過等量代換，證明AE+AB＝BC．
【解答】證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF，
∵BD平分∠ABC，
在△ABE與△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE＝EF，∠EAB＝∠EFB，
∵∠EAB＝2∠ECB，
∠EFB＝∠FEC+∠ECB，
∴2∠ECB＝∠FEC+∠ECB，
∴∠ECB＝∠FEC，
∴EF＝FC，
∵BC＝BF+FC，
∴AE+AB＝BC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在BC上截取BF＝AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE是解題的關(guān)鍵．
26．如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一點．
（1）以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點D、E在直線AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若過點C作CM∥AB，在CM上取一點F，連AF、DF，使得AF＝DF，試猜想△ADF的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）CE∥AB，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可得結(jié)論；
（2）延長BC至G，構(gòu)造等邊三角形CFG，證明∠DFG＝∠AFC，然后證明∠AFD＝∠CFG＝60°，從而證明△ADF為等邊三角形．
【解答】解：（1）CE∥AB，
證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）延長BC至點G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于點H，
作FN⊥AC于點N，
∵CM//AB，
∴∠FCG＝∠B＝60°，
∴△CFG是等邊三角形，
∴CF＝FG，
又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠FCN＝∠G＝60°，
∵∠FMC＝∠FHG＝90°，
∴△NFC≌△HFG（AAS），
∴NF＝FH，
又∵AF＝DF，
∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），
∴∠DFH＝∠AFN，
∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，
即∠AFC＝∠DFG，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，
∴∠AFD＝∠CFG＝60°，
∴△ADF是等邊三角形．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形額判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:57:27；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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