注意事項：
1．答題前，先將自已的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合對元素的要求，求得集合，即得其真子集個數(shù).
【詳解】由且可知，可以取，則可取，
即，故集合的真子集個數(shù)為.
故選：C.
2. 若，則復(fù)數(shù)z的虛部（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，然后利用復(fù)數(shù)相等的概念求解．
【詳解】設(shè)，則，
，，解得或或
所以復(fù)數(shù)z的虛部為．
故選：C.
3. 已知，，，則的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，，，利用基本不等式求最值.
【詳解】因為，，，則，，
可得，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值是.
故選：A.
4. 在平面內(nèi)，設(shè)是直線的法向量，、為兩個定點，，為一動點，若點滿足：，則動點的軌跡是（ ）
A. 圓B. 拋物線C. 橢圓D. 雙曲線
【答案】B
【解析】
【分析】以為原點，為軸建立直角坐標系，設(shè)，，，Px,y，根據(jù)條件即可整理得到答案.
【詳解】由題意知，以為原點，為軸建立直角坐標系，
設(shè)，，，Px,y，
則，，
因為，
則，
整理可得，，
可知動點的軌跡為拋物線.
故選：B
5. 已知等差數(shù)列前項和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項和公式、等差數(shù)列性質(zhì)計算即得.
【詳解】在等差數(shù)列中，由，得.
故選：D
6. 已知直線與圓交于兩點，則線段的長度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圓的方程可得圓心坐標及半徑的值，再由直線的方程可得直線恒過定點，代入弦長公式可得當最小時弦長最大，當最大時弦長最小，求出的最大最小值，進而求出弦長的最小最大值.
【詳解】圓可得圓心，半徑，
因為直線，恒過直線和的交點，
即，解得：，，即直線恒過定點，
因為，所以定點在圓內(nèi)，
設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，
當時，弦長最大，這時過的最長弦長為圓的直徑2r=62，
當最大時，這時，
所以弦長的最小值為，
所以弦長AB的范圍為，
故選：B.
7. 若，，，則事件與的關(guān)系是（ ）
A. 事件與互斥B. 事件與對立
C 事件與相互獨立D. 事件與既互斥又相互獨立
【答案】C
【解析】
【分析】由條件概率計算公式得到，由得到事件與相互獨立.
【詳解】由得，
因為，，所以事件與相互獨立，
無法判斷事件與是否互斥.
故選：C.
8. 已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的周期為4C. 關(guān)于對稱D. 在單調(diào)遞減
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦函數(shù)的和、差角公式結(jié)合題目條件，可設(shè)，先求出，再對選項進行逐一驗證即可得出答案.
【詳解】由，
可得，可設(shè)
由，即，則可取，即進行驗證.
選項A： ，故選項A不正確.
選項B：由，則其最小正周期為,故選項B不正確.
選項D：由于為周期函數(shù)，則在不可能為單調(diào)函數(shù). 故選項D不正確.
選項C：,又，故此時為其一條對稱軸.
此時選項C正確,
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知的最小正周期是，下列說法正確的是（ ）
A. 在是單調(diào)遞增
B. 是偶函數(shù)
C. 的最大值是
D. 是的對稱中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，并求，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷選項.
【詳解】因為，
因為函數(shù)的最小正周期為，所以，則，
所以增區(qū)間由不等式，即，，
當時，A滿足條件，故正確；
是偶函數(shù)，故B正確；
的最大值是2，故C是錯的；
，，故D正確
故選：ABD.
10. 已知正方體外接球的體積為是空間中的一點，則下列命題正確的是（ ）
A. 若點在正方體表面上運動，且，則點軌跡的長度為
B. 若是棱上的點（不包括點），則直線與是異面直線
C. 若點在線段上運動，則始終有
D. 若點在線段上運動，則三棱錐體積定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的幾何特征可根據(jù)外接球的體積得棱長為2，即可由圓的周長求解A,根據(jù)異面直線的定義即可求解B，利用線面垂直即可求解C，利用等體積法即可求解D.
【詳解】方體外接球的體積為.設(shè)外接球的半徑為，則，解得.

設(shè)正方體的棱長為，則.
對于，在平面中，點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧；同理，在平面ABCD和平面中，點的軌跡都是以為圓心，2為半徑的圓弧.故點的軌跡的長度為.故錯誤；
對于B，利用異面直線的判定定理可以判斷直線與是異面直線.故正確；
對于，在正方體中，有平面平面平面平面.故C正確；

對于，在正方體中，平面為定值.故D正確.
故選：BCD
11. 如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，,且共焦點的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.
B. 若，則
C. 若，則的最小值為2
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用橢圓和雙曲線的定義，即可求解；B.應(yīng)用余弦定理，正確表示離心率，即可判斷；C.根據(jù)勾股定理，并表示離心率，最后應(yīng)用基本不等式，即可判斷；D.分別在橢圓和雙曲線中，在焦點三角形中，應(yīng)用余弦定理表示，建立等量關(guān)系，即可判斷.
【詳解】A.由題意可知，，，
得，故A正確；
B.中，若，設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，
根據(jù)余弦定理，，
整理為，
而，故B錯誤；
C. 若，則，則，
則，
，
當時，等號成立，這與矛盾，所以，故C錯誤；
D.在橢圓中，，
，
整理為，
在雙曲線中，，
整理為，
所以，即，
而，則，故D正確.
故選：AD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，并在兩個曲線中正確表示離心率，以及焦點三角形中應(yīng)用余弦定理.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知M是拋物線上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標原點．若，則線段MF的長為______.
【答案】8
【解析】
【分析】設(shè)出線段MF的長度，再由已知條件表達出M的坐標，代入拋物線即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖所示：
設(shè)，易求，作軸于點E，
因為 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因為M是拋物線 上一點，所以 ，即 ，
解得 或 (舍去
所以線段MF的長為8.
故答案為：8
13. 已知甲同學在上學途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4，則甲同學在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式列式計算即得.
【詳解】令“第一個路口遇到紅燈”，“第二個路口遇到紅燈”
則，于是，
所以所求概率為.
故答案為：
14. 已知點A是函數(shù)圖象上的動點，點B是函數(shù)圖象上的動點，過B點作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可將問題轉(zhuǎn)化為到上一點的最小距離即可，根據(jù)點點距離公式，得，利用導數(shù)求解最小值即可.
【詳解】由于是焦點在軸上的拋物線，故設(shè)其焦點為，
則,所以,
故求到上一點的最小距離即可，
設(shè)，則，
記，則
由于函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞增，且，
故當x∈0,1時，因此0,1單調(diào)遞減，
當x∈1,+∞時，因此在1,+∞單調(diào)遞增，
故，
因此，故，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等差數(shù)列的前n項和為．
（1）求的通項公式；
（2）數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列定義根據(jù)題意可求得首項和公差，即可得出通項公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式可得，裂項可得，即可求出.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
由可得，
解得，
所以；
因此的通項公式為，
【小問2詳解】
由（1）可得；
所以，
因此數(shù)列的前n項和;
即可得.
16. 古希臘數(shù)學家托勒密對凸四邊形(凸四邊形是指沒有角度大于的四邊形)進行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立．且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：
如圖，在凸四邊形中，
（1）若，，(圖1)，求線段長度的最大值；
（2）若，，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時角A余弦值，并求出四邊形面積的最大值．
【答案】（1）
（2）；，（其中）
【解析】
【分析】根據(jù)“任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立”表示出邊長的關(guān)系即可求出；
連接，分別在和利用余弦定理，再結(jié)合四點共圓后同角三角函數(shù)關(guān)系解出角A，最后由三角形的面積公式得到四邊形的面積．
【小問1詳解】
設(shè)，則，
由材料可知，，
即，解得，
所以線段長度的最大值為；
【小問2詳解】
由材料可知，當四點共圓時，四邊形的面積達到最大．
連接，分別在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
記，則上式，
于是四邊形的面積為：
.
【點睛】思路點睛：多邊形問題可分割為若干三角形，利用余弦定理及角的關(guān)系消元化簡即可.
17. 在中，把，，…，稱為三項式系數(shù).
（1）當時，寫出三項式系數(shù)，，，，的值；
（2）的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當，時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表；
（3）求的值（用組合數(shù)作答）.
【答案】（1），，，，
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）寫出展開式，即可得到相應(yīng)的系數(shù)；
（2）寫出（，）的展開式，即可得解；
（3）由表示出系數(shù)，再由，計算出系數(shù)，即可得解.
【小問1詳解】
因為，
所以，，，，；
【小問2詳解】
因為，
，
，
，
，
所以三項式的（，）次系數(shù)的數(shù)陣表如下：
【小問3詳解】
，
其中系數(shù)為，
又
而二項式的通項（且），
由，解得，
所以系數(shù)為，
由代數(shù)式恒成立，
所以.
18. 如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
（1）當側(cè)面底面時，求點到平面的距離；
（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點．使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）連接，由題意可得平面，則點到平面的距離與點到平面的距離相等，然后結(jié)合求解即可；
（2）過作交于點，則底面，作交于點，連接，則，即為二面角的平面角，然后求解即可.
【小問1詳解】
在中，，所以，
因為在直角梯形中，，，，
所以，所以四邊形為正方形，
所以，，
因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以底面，
連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，所以平面，
所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，
設(shè)點到平面的距離為，由題意得，
則，
因為，所以，
所以，解得，
所以點到平面的距離為；
【小問2詳解】
過作交于點，
因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以底面，
作交于點，連接，
因為底面，底面，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，
所以，所以為二面角的平面角，
則，所以，
所以，
連接，交于點，因為四邊形為正方形，所以，
所以，設(shè)，
由，得，得，
因為，所以，解得，
因為底面，底面，所以
所以，所以，即,
所以線段上存在一點．使得平面與平面夾角的余弦值為，
此時.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查點面距離的求解，考查二面角，考查平面圖形折疊成空間圖形問題，解題的關(guān)鍵是弄清折疊前后邊角間的關(guān)系，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
19. 已知橢圓，左?右焦點分別為，短軸的其中一個端點為，長軸端點為，且是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若雙曲線以為焦點，以為頂點，點為橢圓與雙曲線的一個交點，求的面積；
（3）如圖，直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點.當點運動時，求點Px,y的軌跡方程.
【答案】（1）橢圓 的方程為 , 離心率 .
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)為等邊三角形得到關(guān)系，求出其方程，再利用離心率公式即可；
（2）寫出雙曲線方程，聯(lián)立橢圓方程即可得到，再計算面積即可；
（3）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，根據(jù)相切得到，再求出點坐標，最后消元即可.
【小問1詳解】
是面積為的等邊三角形，，
橢圓的方程為，離心率.
【小問2詳解】
由題意得雙曲線中的，則，
所以雙曲線方程為，
聯(lián)立橢圓方程解得:，即，
.
【小問3詳解】
由題易知，則聯(lián)立，
得，
，即，
設(shè)為，則，
直線，令，解得，則，
令，則，則，
.
則點Px,y的軌跡方程為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)判別式為0得到，再根據(jù)直線垂直得到直線方程，從而得到坐標，即得到的坐標，最后消元即可得到軌跡方程.

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