新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第21講 空間幾何體（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知識梳理
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：
(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
考點和典型例題
1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【典例1-1】（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺形容器的高為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 cmB．1cmC． SKIPIF 1 < 0 cmD． SKIPIF 1 < 0 cm
【典例1-2】（2022·河南·模擬預(yù)測（文））在正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-3】（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側(cè)面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，梯形 SKIPIF 1 < 0 是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則原圖形的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且 SKIPIF 1 < 0 ，. SKIPIF 1 < 0 ，O分別為上?下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（ ）
A．9?B．12?C．16?D．18?
2、空間幾何體的表面積、體積
【典例2-1】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）在底面是正方形的四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ，則四棱錐 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球的表面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔 SKIPIF 1 < 0 時，相應(yīng)水面的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；水位為海拔 SKIPIF 1 < 0 時，相應(yīng)水面的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 時，增加的水量約為（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】（2022·全國·高考真題（理））甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面積分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，體積分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（2022·山東臨沂·三模）戰(zhàn)國時期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、與球有關(guān)的切、接問題
【典例3-1】（2022·北京·101中學(xué)三模）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該四棱柱的高為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
設(shè)四棱柱的高為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故選：C
【典例3-2】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）若正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有頂點都在同一個球O的表面上，且球O的體積的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則該三棱柱的側(cè)面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-3】（2022·湖北·模擬預(yù)測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點和底面上各點均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】（2022·山東聊城·三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐的底面圓周和頂點都在同一球面上，則該球的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-5】（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開
圖
側(cè)面積公
式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3